§5.5波動(dòng)的基本特征平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)(Thebasiccharacterofwavemotionandwavefunctionofsimpleharmonicplanewave)5.5.1波的產(chǎn)生與傳播5.5.2波動(dòng)的幾何描述5.5.3描述波動(dòng)的物理量5.5.4平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)(1),5.5.1波的產(chǎn)生與傳播(Theformandpropagationofwave)1.機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播?機(jī)械波產(chǎn)生與傳播的條件:波源(sourceofwaves)媒質(zhì)(medium)(2)所謂波動(dòng)就是振動(dòng)在空間的傳播,波傳播到的空間稱為波場(chǎng)(wavefield),波場(chǎng)中任意點(diǎn)的物理狀態(tài)隨時(shí)間作周期性的變化。彈性媒質(zhì)中，機(jī)械振動(dòng)由近及遠(yuǎn)地傳播出去，形成機(jī)械波。,橫波質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向?波的傳播方向(僅在固體中)注意波的傳播是振動(dòng)狀態(tài)或相位、能量(而不是質(zhì)點(diǎn))的遷移?橫波與縱波(transverseandlongitudinalwaves)(3)縱波質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向//波的傳播方向（固液氣中）,1.波面(wavesurface)和波前(wavefront):在波場(chǎng)中某一時(shí)刻,振動(dòng)相位相同的點(diǎn)形成的曲面稱為波面,最前面的波面稱為波前(也叫波陣面)。2.波線(waveline):波的傳播方向稱為波射線,簡(jiǎn)稱波線。各向同性均勻媒質(zhì)中波線總是垂直于波面5.5.2波動(dòng)的幾何描述(Geometricaldescriptionofwavemotion)(4)平面波波線球面波柱面波波面波線波面波線波面,1.波長(zhǎng)(wavelength)?:同一波線上相位差為2?的兩點(diǎn)之間的距離。2.周期T:波傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所需的時(shí)間或一個(gè)完整波通過波線上某一點(diǎn)所用時(shí)間(5)5.5.3描述波動(dòng)的物理量(Thephysicalquantumofdescribingwavemotion)3.頻率?:單位時(shí)間內(nèi)波所傳播距離中所含完整波的數(shù)目或單位時(shí)間內(nèi)通過波線上某一點(diǎn)完整波的數(shù)目?,4.波的傳播速度(velocityofwave):u?波速:振動(dòng)狀態(tài)在空間中傳播速度或相速(phasevelocity)?機(jī)械波的波速?zèng)Q定于媒質(zhì)特性:慣性:?彈性:彈性模量(線變,切變等)線變模量(又叫楊氏模量)(Y)(6)?l/l:線應(yīng)變F/S:應(yīng)力固體中縱波的波速:胡克定律lDlSFFOxy?,2)波速u與振動(dòng)速度dy/dt的區(qū)別。3)波速u僅與媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān),而與波源無關(guān)。4)頻率?與波源的性質(zhì)有關(guān),而與媒質(zhì)無關(guān)。5)波長(zhǎng)?=u/?與波源和媒質(zhì)有關(guān)。注意(7)1)波長(zhǎng)反映了波的空間周期性。周期表征了波的時(shí)間周期性。,(8)5.5.4平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)(重點(diǎn))(Thewavefunctionofsimpleharmonicplanewave)1.平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)空間中任意點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化稱為波函數(shù)。其數(shù)學(xué)函數(shù)為波線波線簡(jiǎn)諧振動(dòng)在空間的傳播所形成的波，稱為簡(jiǎn)諧波(simpleharmonicwave)。波面為平面的簡(jiǎn)諧波稱為平面簡(jiǎn)諧波。(2)平面簡(jiǎn)諧波各處振幅相同。說明(1)復(fù)雜的波可分解為一系列簡(jiǎn)諧波；,uP(x)(1)沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù):y—波射線上某質(zhì)元離開平衡位置的位移設(shè)己知O點(diǎn)振動(dòng)方程P點(diǎn)振動(dòng)方程:(9)xyO約定:O點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到P點(diǎn),需時(shí)間:波函數(shù)或波動(dòng)表達(dá)式,或角波數(shù)(angularwavenumber)角波數(shù)的意義:1)2?長(zhǎng)度內(nèi)所含完整波長(zhǎng)的數(shù)目;2)相間單位長(zhǎng)度的二個(gè)質(zhì)元的相位差?；?10)波函數(shù)中,?和–kx+?的物理意義?時(shí)間周期性的量空間周期性的量每經(jīng)過一個(gè)周期T,波就向前推進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)?。形象地說:波動(dòng)是許多質(zhì)元以一定的相位關(guān)系進(jìn)行的集體振動(dòng)。,(2)沿x軸負(fù)方向傳播平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù):設(shè)己知O點(diǎn)振動(dòng)方程P(x)u(11)xyO或或P點(diǎn)振動(dòng)方程:P點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)比O點(diǎn)超前時(shí)間：波函數(shù)或波動(dòng)表達(dá)式,波函數(shù)給出x=x0位置的質(zhì)元振動(dòng)方程,即y=y(x0,t)(2)當(dāng)t=t0取一定值時(shí),已知任意點(diǎn)x0的振動(dòng)方程y=Acos(?t+?),波函數(shù)為波函數(shù)給出波線上任意x處質(zhì)元在t=t0時(shí)刻的位移,即y=y(x,t0)波形方程,可繪出波形圖(y-x圖)。2.討論波函數(shù)的意義:(1)當(dāng)x=x0取一確定的值時(shí),(12)y-AOAxt=t0(3)更一般的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù),(3)x,t均為變量時(shí)波函數(shù)給出波線上任一質(zhì)元在任一時(shí)刻的位移。x-AOAxtyt時(shí)刻x處相位:t+?t時(shí)刻x+?x處相位:說明經(jīng)歷?t某相位從x處傳到x+?x處?？梢娬駝?dòng)狀態(tài)(相位)沿波線在向前傳播,所以稱為行波(travelingwave)(13)t+?t,1.己知波函數(shù)1)求:A、?、?、u;2)畫任一時(shí)刻波形圖;3)畫任一質(zhì)元振動(dòng)圖。2.己知某時(shí)刻波形圖1)能寫出波函數(shù);2)畫出另一時(shí)刻波形圖。3.己知某質(zhì)元振動(dòng)圖1)可寫出該質(zhì)元振動(dòng)方程;2)寫出波函數(shù)。(14)xabxa4.求相位差熟練掌握,(15)例1:己知x=1m處質(zhì)元的振動(dòng)方程:y=Acos(?t+?/2)波速為u,求:沿x軸正(負(fù))方向傳播的波的波函數(shù)?解:用相位傳播和相位差概念寫出任意質(zhì)元的振動(dòng)方程yxO1PuP點(diǎn)比x=1m點(diǎn)的相位落后?(x－1)/u,即?1－?P=?(x－1)/u2)波沿x軸負(fù)方向傳播yxO1PP點(diǎn)比x=1m點(diǎn)的相位超前?(x－1)/uu波源在什么位置?若波源在x=1m處,如何?1)沿x軸正方向傳播的波?1?P,例2:一根很長(zhǎng)的弦線中傳播的橫波,波函數(shù)為:y=6.0cos(0.02?x+4?t)式中x,y單位:cmt單位:s求1)A,?,?,u;2)t=4.2s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo),計(jì)算此時(shí)離原點(diǎn)最近一個(gè)波峰的位置,該波峰何時(shí)通過原點(diǎn)?3)寫出質(zhì)元振動(dòng)速度表達(dá)式;4)t=2s時(shí)的波形圖。解:1)與y=Acos(?t+2?x/?)比較,得(16)A=6.0[cm],2?/?=0.02???=100[cm]?=?/2?=2[Hz]?u=??=200[cm/s]2)t=4.2s時(shí)各波峰位置由位移y=6.0cm決定,即0.02?x+4?×4.2=2k??x=100k－840k=0,±1,±2,…k=8時(shí),x=－40[cm]離原點(diǎn)最近。設(shè)此波峰在t'時(shí)通過原點(diǎn),即0.02?×0+4?t'=2×8??t'=4[s]y-40O6.0xt=4.2sut?,3)位于x處的質(zhì)元的振動(dòng)速度為4)t=2s時(shí)(17)yxOA-At=2sx=?/4:y=0x=0:y=6cmyxOA-AyO或用旋轉(zhuǎn)矢量法:??=0由y=6.0cos(0.02?x),例3:一列波,?=500Hz,u=350m/s求1)同一時(shí)刻相位差為?/2的二個(gè)質(zhì)元最近距離;2)同一質(zhì)元相間10-3s的二個(gè)位移的相位差是多少?2)(18)解:1),例4:平面簡(jiǎn)諧波沿x軸負(fù)向傳播,圖為t=0時(shí)的波形圖己知u=12m/s,求1)A,?,T;2)波函數(shù);3)t=1/60s波形圖解:1)A=5[cm]2)y(19)x=0的振動(dòng)方程:波函數(shù):uOy(cm)x(cm)52.56.6746.67,(20)3)t=1/60s時(shí)波形圖:x(cm)Oy(cm)5-5uyt=0t=1/60s-2.5或利用行波的概念,波形曲線向左移動(dòng)的距離為?x=ut=20cm,例5:一簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播,T=4s,?=4m,x=0處質(zhì)元振動(dòng)曲線如右圖,求:(1)寫出x=0處質(zhì)元振動(dòng)方程(2)寫出波動(dòng)表達(dá)式(3)畫出t=1s時(shí)刻波形圖Ot(s)y(10-2m)4y解:(1)(2)(3)t=1s時(shí)方程(21)y(10-2m)x(m)u,§5.6波的能量(energyofwave)目的:討論波是如何傳播能量的?5.6.1波的能量傳播特征5.6.2波的能流與能流密度(22),uOx棒上取小質(zhì)元ab:長(zhǎng)dx(小質(zhì)元的自然長(zhǎng)度)某時(shí)刻t,a離開其平衡位置x處的位移:yb離開其平衡位置x+dx處的位移:y+dyab質(zhì)元的伸長(zhǎng)量:dy;ab質(zhì)元的線應(yīng)變:?y/?x1.波的能量(waveenergy)以平面簡(jiǎn)諧縱波為例細(xì)棒:截面:S質(zhì)量密度:?縱波沿棒長(zhǎng)度方向傳播(23)uOxaxbx+dxyy+dy5.6.1波的能量傳播特征(Thetransmittingcharacterofwaveenergy),(1)(2)(3)由(1)得:由(2)得:由(3)得:(24)因質(zhì)元ab很小,ab上各點(diǎn)振動(dòng)速度視為相等(設(shè)為v)ab質(zhì)元中能量:,代入上式得:(25)注意:質(zhì)元的勢(shì)能由質(zhì)元的線應(yīng)變決定,1)波動(dòng)過程中,質(zhì)元中的動(dòng)能與勢(shì)能總是“相等且同相”,即同時(shí)達(dá)到最大,又同時(shí)達(dá)到最小。定量分析:速度最大時(shí):質(zhì)點(diǎn)過平衡位置時(shí)動(dòng)能最大!此時(shí)的線應(yīng)變(決定勢(shì)能):也最大!同理可證:質(zhì)元?jiǎng)幽茏钚r(shí),勢(shì)能也最小。注意(26),2)質(zhì)元中的機(jī)械能(是否守恒?)每個(gè)質(zhì)元不斷地從前方吸收能量,向后方放出能量,隨波形的傳播伴隨著能量傳播。質(zhì)元中的能量隨時(shí)間周期性變化;注意:波動(dòng)中質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能的這種關(guān)系不同于孤立的振動(dòng)系統(tǒng)。(27)這些點(diǎn)處質(zhì)元的線應(yīng)變最大(波形曲線斜率最大)這些點(diǎn)處質(zhì)元的線應(yīng)變最小(波形曲線斜率最小),2.波的能量密度(energydensityofwave)?波的能量密度:波場(chǎng)中單位體積內(nèi)的能量?平均能量密度:彈性波均成立(28),(29)5.6.2波的能流與能流密度(Theenergyflowandenergyflowdensityofwave)uxS(u與S垂直)?平均能流:能流在一個(gè)周期內(nèi)平均值?波的能流P:單位時(shí)間內(nèi)通過媒質(zhì)中某面積(S)的能量稱為通過該面積的能流。1.波的能流與平均能流(energyflowandaverageenergyflowofwave),2.波的能流密度與平均能流密度(energyflowdensityandaverageenergyflowdensityofwave)?能流密度:通過垂直于波動(dòng)傳播方向單位面積的能流?平均能流密度或波的強(qiáng)度(waveintensity)I定義:能流密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值(30)各類波都適用(如機(jī)械波,電磁波等)波的強(qiáng)度為通過垂直波動(dòng)傳播方向單位面積的功率單位:W/m²,例6:試證明在均勻無吸收的媒質(zhì)中傳播,球面波的振幅滿足:A1r1=A2r2;其中A1表示離波源的距離為r1處的振幅,A2表示離波源的距離為r2處的振幅。OS1S2r1r2波面波線證:由能量守恒,可知在一個(gè)周期內(nèi)通過S1和S2面的能量相等。設(shè)I1為r1處的平均能流密度,I2為r2處的平均能流密度,則I1S1T=I2S2T(31)說明:均勻無吸收媒質(zhì)中,平面波振幅滿足:A1=A2設(shè)r1=1m時(shí)，振幅為A1,則球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為,§5.7波的疊加(superpositionofwaves)(32)5.7.1惠更斯原理5.7.2波的疊加原理5.7.3波的干涉5.7.4駐波5.7.5半波損失,(33)5.7.1惠更斯原理(Huygensprinciple)惠更斯(C.Huygens,1629-1695)荷蘭人球面波平面波惠更斯原理:波的傳播過程中,波陣面(波前)上的每一點(diǎn)都可看作是發(fā)射子波的波源,在其后的任一時(shí)刻,這些子波的包跡面(即子波的共切面)就成為新的波陣面。t+?t波面t+?t波面t時(shí)刻波面t時(shí)刻波面,(34)?用惠更斯原理解釋波的衍射波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，能夠繞過障礙物邊緣而傳播的現(xiàn)象稱為波的衍射(diffractionofwave)。,5.7.2波的疊加原理(superpositionprincipleofwaves)波的獨(dú)立性:一列波的振幅、頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向和傳播方向,不因其它波的存在而有所改變。波的疊加原理:幾列波在傳播過程中相遇時(shí),相遇點(diǎn)的振動(dòng)位移為各波單獨(dú)引起振動(dòng)位移的矢量和。波的疊加原理對(duì)強(qiáng)度很大的波不適用。注意(35),無振動(dòng)振動(dòng)最強(qiáng)振動(dòng)最強(qiáng)無振動(dòng)無振動(dòng)振動(dòng)最強(qiáng)振動(dòng)最強(qiáng)5.7.3波的干涉(interferenceofwave)(36),1.干涉現(xiàn)象:兩列波在空間相遇處合振動(dòng)出現(xiàn)穩(wěn)定的加強(qiáng)或減弱的現(xiàn)象2.相干波源(coherentwavesources):相干波源s1,s2振動(dòng)方程:(37)3.相長(zhǎng)干涉和相消干涉:S1?S2?Py相干條件頻率相同振動(dòng)方向平行相位差恒定極大極小極大極大極小極小極小,P二列波單獨(dú)在P點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為:P點(diǎn)合振動(dòng):(38)Py,注意1)最大,相長(zhǎng)干涉(constructiveinterference)最小,相消干涉(destructiveinterference)如:A1=A2則A=0(39)相位差是波強(qiáng)分布的關(guān)鍵,2)如?1=?2波程差(wavepathdifference)最大最小(40),例7:s1,s2為均勻無吸收的同一媒質(zhì)中的二個(gè)平面簡(jiǎn)諧相干波源?1=?2=100Hz,A1=A2=10cm,波速均為u=20m/s,s1較s2超前?/2求:1)兩列波在p1點(diǎn)的分振動(dòng)方程及合振幅;2)兩列波在p2點(diǎn)的分振動(dòng)方程及合振幅。解:?=2??=200?,設(shè):?1=?/2,?2=00.3m•s1•p1•s20.5m0.45m•p2xO1)s1:s2:(41),2)s1:(42)s2:0.3m•s1•p1•s20.5m0.45m•p2xO,1s2s··xO(43)例8:有二個(gè)相干波源s1和s2,振幅相等且不隨距離變化,頻率均為100Hz,相位差為?,二者相距30m,波速均為400m/s,求:s1、s2連線之間靜止各點(diǎn)的位置?解:設(shè)s1、s2之間靜止的點(diǎn)為x首先寫出s1和s2的波函數(shù):?x,Example:Whatisthesmallestradiusrthatresultsinanintensityminimumatthedetector.Solution:Forr=rminwehaveD?=p,whichisthesmallestphasedifferenceforadestructiveinterferencetooccur.Thus(44),5.7.4駐波(standingwave)1.何謂駐波兩列振幅相同的相干波在同一直線上沿相反方向傳播彼此相遇疊加而形成的波。電動(dòng)音叉+-(47)波節(jié)(wavenode)波腹(waveloop)右行波左行波演示1演示2,駐波表達(dá)式2.駐波分析合成波:(48),駐波的振幅隨x作空間周期性變化,但不隨時(shí)間而變。3.駐波的特征1)駐波各點(diǎn)的振幅特征:波腹坐標(biāo):波節(jié)坐標(biāo):2)駐波各點(diǎn)的相位特征:相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的所有質(zhì)點(diǎn)同相,節(jié)點(diǎn)兩側(cè)質(zhì)點(diǎn)反相。(49)yx,3)駐波各點(diǎn)的能量特征:(50)xy當(dāng)介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的位移最大時(shí),質(zhì)點(diǎn)的能量都是勢(shì)能。ABxyAB勢(shì)能曲線動(dòng)能曲線當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)平衡位置時(shí),質(zhì)點(diǎn)的能量都是動(dòng)能。勢(shì)能集中在波節(jié)附近動(dòng)能集中在波腹附近駐波能量轉(zhuǎn)化,(51)反射面波從波疏進(jìn)入波密介質(zhì)反射面波從波密進(jìn)入波疏介質(zhì)5.7.5半波損失(half-waveloss)對(duì)于機(jī)械波,設(shè)?、u分別為介質(zhì)的密度和波在介質(zhì)中傳播的速度,??u的大小決定是波密還是波疏介質(zhì)。對(duì)于電磁波,設(shè)n為介質(zhì)的折射率,n的大小決定是波密還是波疏介質(zhì)。,一般言之,當(dāng)波在兩種媒質(zhì)界面上反射時(shí),設(shè)?1、?2、u1和u2分別為兩種媒質(zhì)的密度和波在兩種媒質(zhì)中傳播的速度。若?1u1<?2u2(從波疏介質(zhì)進(jìn)入波密介質(zhì)),且垂直入射或掠入射時(shí),反射波中產(chǎn)生“半波損失”(half-waveloss),界面出現(xiàn)節(jié)點(diǎn),稱為半波反射。若?1u1>?2u2(從波密介質(zhì)進(jìn)入波疏介質(zhì)),且垂直入射或掠入射時(shí),反射波中無“半波損失”,界面出現(xiàn)腹點(diǎn),稱為全波反射。(52)?兩端固定拉緊的弦線上的駐波:駐波示意圖Ln=1n=2n=3駐波頻率:,解:1)入射波的波函數(shù):反射波在反射點(diǎn)c處(有半波損失)的振動(dòng)方程:(53)例9:如圖,一平面余弦波沿x軸正向傳播,在x=L處有一無能損的理想反射面,已知入射波坐標(biāo)原點(diǎn)振動(dòng)方程為求:1)反射波的波函數(shù)；2)合成波的波腹和波節(jié)位置。OxLuuc反射波的波函數(shù):,OxLuu(54)2)利用相位差求合振動(dòng)的極大值與極小值波節(jié)位置:波腹位置:,波動(dòng)基本要求1.理解機(jī)械波產(chǎn)生的條件和相位傳播的概念;了解波長(zhǎng)、波速和波頻率的意義、相互關(guān)系和決定因素。2.理解波函數(shù)及波形曲線的意義,熟練掌握用相位傳播的概念寫出平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。3.理解平面簡(jiǎn)諧波中質(zhì)元?jiǎng)幽芘c彈性勢(shì)能的關(guān)系;理解波的能量密度、能流、能流密度及波的強(qiáng)度的概念。4.了解惠更斯原理及其對(duì)波的傳播方向的說明。5.理解波的疊加原理和相干條件,理解干涉現(xiàn)象;熟練掌握干涉強(qiáng)弱的計(jì)算及其分布規(guī)律。6.理解駐波特點(diǎn)和形成條件;知道半波損失。(55),機(jī)械波波的產(chǎn)生與傳播描述波的物理量波動(dòng)過程的描述波的產(chǎn)生條件:波源、彈性媒質(zhì)波的分類:按媒質(zhì)質(zhì)元振動(dòng)方向與波傳播方向關(guān)系分:橫波、縱波按波面形狀分:平面波、球面波波長(zhǎng):?波速:u周期:T,頻率:?u=??=?/T幾何描述解析描述波線、波面、波前(波陣面)波動(dòng)曲線平面簡(jiǎn)諧波表達(dá)式:(56),波動(dòng)過程的能量傳播機(jī)械波波在媒質(zhì)中的傳播規(guī)律媒質(zhì)體積元的總能量:動(dòng)能和勢(shì)能:平均能流密度(波的強(qiáng)度):波的干涉相干條件:頻率相同、振動(dòng)方向相同和相位差恒定干涉結(jié)果:??=2k?k=0,±1,±2,…極大??=(2k+1)?k=0,±1,±2,…極小駐波方程:半波損失惠更斯原理疊加原理多普勒效應(yīng)(57)