和長度有關(guān)的最值1．如圖，一只螳螂在樹干的點(diǎn)處，發(fā)現(xiàn)它的正上方點(diǎn)處有一只小蟲子，螳螂想捕到這只蟲子，但又怕被發(fā)現(xiàn)，于是就繞到蟲子后面吃掉它，已知樹干的半徑為，，兩點(diǎn)的距離為，求螳螂爬行的最短距離（π取3）．【解析】解：將圓柱形樹干的側(cè)面如圖所示展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得AB即為螳螂爬行的最短距離AF=2π×10≈60cm，BF=45cm∴cm答：螳螂爬行的最短距離為75cm．2．如圖，在△中，，的平分線交于；若，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，求長度的最小值．【解析】解：由點(diǎn)P是AC上的動點(diǎn)，要使DP的長度最小，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，,∴DP⊥AC，如圖所示：∵AD平分∠BAC，∠ABC=90°，∴BD=DP，∵BD=3，∴DP=3，即DP的最小值為3．3．如圖，是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)為下方的一動點(diǎn)，．（1）若，求的長；（2）求點(diǎn)到的最大距離；（3）當(dāng)線段的長度最大時，求四邊形的面積．【解析】是等邊三角形，又,;取的中點(diǎn)，連接:∠ACB=90°，AB=2,又點(diǎn)為下方的一動點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)到的距離最大為連接為等邊三角形，.根據(jù)三角形三邊關(guān)系即共線時，最大，的最大長度為此時，四邊形的面積為．,4．已知拋物線與軸交于點(diǎn)，且．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，均在該拋物線上，且，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）點(diǎn)為拋物線在直線下方圖象上的一動點(diǎn)，當(dāng)面積最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】解：（1）把代入，即，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，=則頂點(diǎn)．（2）由（1）知拋物線的對稱軸，所以點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)在拋物線上,∵∴的取值范圍為（3）令y=0,即=0，解得x1=1,x2=3,∴C（3,0）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得解得：∴直線的表達(dá)式為：，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴則，∵，故有最大值，此時，,故點(diǎn)．5．某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個定點(diǎn)A、B，在直線上存在點(diǎn)P，使得PA十PB的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與直線的交點(diǎn)即為P，且PA＋PB的最小值為A'B．請利用上述模型解決下列問題；（1）如圖2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動點(diǎn)，作出點(diǎn)P，使得PA＋PE的值最?。唬?）如圖3，∠AOB=30°，M、N分別為OA、OB上一動點(diǎn)，若OP=5，求ΔPMN的周長的最小值．【解析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，連接，交BC于P，如圖所示，點(diǎn)P即為所求；（2）作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)這P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)，連接，分別交OA、OB于M、N，如圖：,根據(jù)“將軍飲馬問題”得到ΔPMN的周長的最小值為，由軸對稱的性質(zhì)得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30，OP=5，∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2，OF=OG=5，∴△FOG為邊長為5的等邊三角形，，答：ΔPMN的周長的最小值為．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、，連接，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，連接，求的最小值．【解析】解：如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．,∵、、，∴，．∴為等腰直角三角形．∴．∴．∵，∴此時的值最小，最小值為的長．∵，，∴．∴的最小值為．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有長方形OABC，點(diǎn)，將長方形OABC沿AC折疊，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，CD邊交x軸于點(diǎn)E，．,（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，在直線AC以及y軸上是否分別存在點(diǎn)M，N，使得△EMN的周長最?。咳绻嬖?，求出△EMN周長的最小值；如果不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)P為y軸上一動點(diǎn)，作直線AP交直線CD于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P使得△CPQ為等腰三角形？如果存在，請求出∠OAP的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．【解析】解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝4，∵∠OAC＝30°∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°，∵長方形OABC沿AC折疊，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，∴∠DAO＝30°，如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥AO于F，,∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2，∴OF＝AO﹣AF＝2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，﹣2）；（2）如圖2，過點(diǎn)E作y軸的對稱點(diǎn)G，過點(diǎn)E作AC的對稱點(diǎn)H，連接GH交y軸于點(diǎn)N，與AC交于M，即△EMN的周長最小值為GH，∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°∴AE＝，∴OE＝，∵點(diǎn)G，點(diǎn)E關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)E，點(diǎn)H關(guān)于AC對稱，∴點(diǎn)G（﹣，0），點(diǎn)H（，4）∴GH＝，∴△EMN的周長最小值為8；,（3）存在點(diǎn)P使得△CPQ為等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝30°，①若CP＝CQ，如圖3，∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，∴∠CPQ＝75°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，②若PQ＝CQ時，如圖4，∵CQ＝PQ，∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，,∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；③若CP＝PQ，如圖5，∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，∴不存在這樣的點(diǎn)P，綜上，滿足條件的點(diǎn)P存在，并且∠OAP=15º或60º．8．如圖1，直線分別與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，以為邊在一側(cè)作正方（、、、四點(diǎn)始終為逆時針順序）（1）求直線的解析式；（2）當(dāng)正方形的一個頂點(diǎn)恰好落在軸上時（點(diǎn)除外），求出對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，，且的兩邊分別交邊和于、兩點(diǎn)，連接，在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，直接寫出對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)和周長的最小值．,【解析】（1）設(shè)直線解析式為，，兩點(diǎn)在直線上，，，∴的解析式:（2）正方形頂點(diǎn)落于軸上，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，將，代入中，得．∴；當(dāng)點(diǎn)在軸上時，同法可得；（3）將向左旋轉(zhuǎn)得到，,，，，三點(diǎn)一線，，，在和中，，，，周長，在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，的周長存在最小值．即讓最短即可，點(diǎn)到直線最短距離為垂線段長度，即即可，直線的斜率，設(shè)直線解析式為，直線經(jīng)過點(diǎn)，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，直線解析式為，直線與的交點(diǎn)為（，），故點(diǎn)時，周長有最小值為8．9．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，∠AED=90°，將AED繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，AED停止轉(zhuǎn)動．（1）求線段AD的長；,（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時，試判斷PQ與的位置關(guān)系，并說明理由；（3）求出從開始到停止，線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長．【解析】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∴△ABE∽△DEA，∴，∴，∴AD＝5；（2）PQ∥A′D′，理由如下：∵，∠AED＝90°,∴＝＝2，∵AD＝BC＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，則∠FEC＝90°，∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，∴∠PEF＝∠CEQ，∵∠C＝∠PFE＝90°，∴△PEF∽△QEC，∴，∵，∴，∴PQ∥A′D′；（3）連接EM，作MN⊥AE于N，,由（2）知PQ∥A′D′，∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，又∵△PEQ為直角三角形，M為PQ中點(diǎn)，∴PM＝ME，∴∠EPQ＝∠PEM，∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，∴△PEF∽△EMN，∴＝為定值，又∵EF＝AB＝2，∴MN為定值，即M的軌跡為平行于AE的線段，∵M(jìn)初始位置為AD中點(diǎn)，停止位置為DE中點(diǎn)，∴M的軌跡為△ADE的中位線，∴線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長＝＝．10．如圖1，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B,的對應(yīng)點(diǎn)D落在上，連，，并延長交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接，猜想，，存在的等量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論．（3）如圖2，延長到，使，將線段沿直線上下平移，平移后的線段記為，若，當(dāng)?shù)闹底钚r，請直接寫出的值．【解析】（1）證明：∵CA=CE，CD=CB，∴∴∵（對頂角相等）∴∴（2），，存在的等量關(guān)系為：過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N,∵∴四邊形CMFN為矩形∵，，CA=CE∴∴CM=CN，AM=EN∴四邊形CMFN為正方形∴∵AM=EN∴∴（3）由題意可知，且∵∴，且∴四邊形為平行四邊形∴當(dāng)?shù)闹底钚r，即的值最小,∴點(diǎn)G在上運(yùn)動時，根據(jù)將軍飲馬模型（或軸對稱的性質(zhì)），若使，應(yīng)作B關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則過作于點(diǎn)H∴∴∴設(shè)∴，∴∴．11．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長為4，，對角線與的交點(diǎn)恰好在軸上，點(diǎn)是中點(diǎn)，直線交于．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；,（2）如圖1，在軸上有一動點(diǎn)，連接．請求出的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，那么在直線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂．點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）如圖1中，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，,，，，，，，，，，，，直線的解析式為，直線的解析式為，，直線的解析式為，由，解得，．故答案為．（2）如圖中，過點(diǎn)作射線，使得，點(diǎn)點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．,，，，直線的解析式為，，直線的解析式為，由，解得，，，，在中，，，，,，的最小值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）如圖2中，過點(diǎn)作交于，連接，．是等邊三角形，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)與重合時，四邊形是平行四邊形，此時，根據(jù)對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對稱時，四邊形是平行四邊形，此時，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y,軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC，CE分別交于點(diǎn)F，G，試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積；（3）若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上是否存在點(diǎn)P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，若沒有，說明理由；若有，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)．【解析】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線y＝ax2+bx﹣5上，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x﹣5，（2）設(shè)H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x軸，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為﹣5，∵E在拋物線上，∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，,∴x＝0（舍）或x＝4，∴E（4，﹣5），∴CE＝4，設(shè)直線BC的解析式為y=kx＋c將B（5，0），C（0，﹣5）代入，得解得：∴直線BC的解析式為y＝x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，∵CE∥x軸，HF∥y軸，∴CE⊥HF，∴S四邊形CHEF＝CE•HF＝﹣2（t﹣）2+，∵-2＜0∴當(dāng)t=時，S四邊形CHEF最大，最大值為∴H（，﹣）；（3）如圖2，四邊形PQKM的周長=PM＋PQ＋QK＋KM（其中KM為定值）,∵K為拋物線的頂點(diǎn)，y=x2-4x-5=（x-2）2-9∴K（2，﹣9），∴K關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)K′（﹣2，﹣9），∵M(jìn)（4，m）在拋物線上，∴m=16－16－5=-5∴M（4，﹣5），∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′（4，5），連接K′M′，分別交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)Q∴此時PM=PM′，QK=QK′∴此時四邊形PQKM的周長=PM＋PQ＋QK＋KM=PM′＋PQ＋QK′＋KM=M′K′＋KM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時四邊形PQKM的周長最小設(shè)直線K′M′的解析式為y＝ex＋d將K′、M′的坐標(biāo)代入，得,解得：∴直線K′M′的解析式為y＝，當(dāng)y=0時，解得x=；當(dāng)x=0時，解得y=，∴P（，0），Q（0，﹣）．