二次函數(shù)的綜合1．如圖，直線過軸上一點，且與拋物線相交于，兩點，點的坐標為．（1）求直線的表達式及拋物線的表達式．（2）求點的坐標．（3）點在直線上，點在拋物線上，若，直接寫出的取值范圍．（4）若拋物線上有一點（在第一象限內(nèi)），使得，直接寫出點的坐標．【解析】解：（1）設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得所以直線的解析式為；把代入得，所以拋物線解析式為；（2）解方程組得或，,所以（3）觀察圖象，當拋物線在直線的下方時，滿足，即（4）設(shè)，，，解得或（舍去），．2．已知拋物線的圖象與軸相交于點和點，與軸交于點，圖象的對稱軸為直線.連接，有一動點在線段上運動，過點作軸的垂線，交拋物線于點，交軸于點．設(shè)點的橫坐標為．（1）求的長度；（2）連接、，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；（3）當為何值時，與相似．【解析】（1）∵對稱軸，∴，,∴當時，，解得，，即，，∴.（2）經(jīng)過點和的直線關(guān)系式為，∴點的坐標為.在拋物線上的點的坐標為，∴，∴，當時，的最大值是，∴點的坐標為，即，（3）連，情況一：如圖，當時，，當時，，解得，，∴點的橫坐標為－2，即點的橫坐標為－2，∴,情況二：∵點和，∴，即.如圖，當時，，，即為等腰直角三角形，過點作，即點為等腰的中線，∴，，∴，即，解得，（舍去）綜述所述，當或－2時，與相似．,3．如圖，在平面直角坐標系中，己知二次函數(shù)的圖像與y軸交于點B(0，4)，與x軸交于點A(－1，0)和點D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求拋物線的頂點和點D的坐標；(3)在拋物線上是否存在點P，使得△BOP的面積等于？如果存在，請求出點P的坐標？如果不存在，請說明理由．【解析】解：(1)把點A(－1，0)和點B(0，4)代入二次函數(shù)中得：解得：所以二次函數(shù)的解析式為：；（2）根據(jù)（1）得點D的坐標為（3，0），=，,∴頂點坐標為（1，）；(3)存在這樣的點P，設(shè)P的坐標為P(x，y)，到y(tǒng)軸的距離為∣x∣∵S△BOP＝•BO•∣x∣∴＝×4•∣x∣解得：∣x∣＝所以x＝±把x＝代入中得：即：y＝，把x＝－代入中得：即：y＝－∴滿足條件的點P有兩個，坐標分別為P1(，)、P2()．4．已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點D為OC中點，點P在拋物線上．（1）直接寫出A、B、C、D坐標；（2）點P在第四象限，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，PE交BC、BD于G、H，是否存在這樣的點P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．（3）若直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個交點，直接寫出t的取值范圍．,【解析】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，當x＝0時，y＝﹣3；當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∵D為OC的中點，∴D（0，﹣）；（2）存在，理由如下：設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣3，將點B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，設(shè)直線BD的解析式為y＝mx﹣，將點B（3，0）代入y＝mx﹣，解得m＝，∴直線BD的解析式為y＝x﹣，,設(shè)點P的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，當EH＝HG＝GP時，﹣x+＝﹣x2+3x，解得x1＝，x2＝3（舍去），∴點P的坐標為（，﹣）；（3）當直線y＝x+t經(jīng)過點B時，將點B（3，0）代入y＝x+t，得，t＝﹣1，當直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3只有一個交點時，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一個解，即x2﹣x﹣3﹣t＝0，△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣，∴由圖2可以看出，當直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個交點時，t的取值范圍為：﹣＜t＜﹣1時．,5．已知：如圖，拋物線與坐標軸分別交于點，，，點是線段上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使的值最小，求出點M的坐標；（3）當點運動到什么位置時，的面積最大？【解析】解：（1）把，代入拋物線得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；（2）由題意可得：拋物線的對稱軸為直線，點，要使的值最小，對稱軸直線x=-1與線段AB的交點即為所求點M，,設(shè)直線AB的解析式為：，把點A和點B的坐標代入，解得：，∴直線AB：y=x+3，∴M（-1，2）；（3）連接OP，如圖所示：設(shè)P(t，-t2-2t+3)，其中t＜0，-t2-2t+3＞0，由（1）（2）可得：OA=3，OB=3，△PAO的高為點P到y(tǒng)軸的距離，△PBO的高為點P到x軸的距離，∴=0.5×3×（-t）+0.5×3×（-t2-2t+3）-0.5×3×3=-0.5(t+0.5)2+3.375；∵，即拋物線的開口向下，∴當t=-0.5時，S最大，此時，點P(-0.5，3.75)．6．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A（-1，0）和點B（0，2），圖象的對稱軸交x軸于點C，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，C，與二次函數(shù)圖象的另一個交點為點D．,（1）求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；（2）求點D的坐標；（3）結(jié)合圖象，請直接寫出時，x的取值范圍：_____．【解析】解：（1）將點和點代入，得：，解得：，二次函數(shù)的解析式為．二次函數(shù)的對稱軸為直線，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，，解得，一次函數(shù)的解析式為．,（2）聯(lián)立二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式得：，解之得或，點D的坐標為，，（3）由圖象可知，當或時，有．7．平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A，B兩點，點A，B的坐標分別為（﹣3，0），（1，0），與y軸交于點C，點D為頂點．（1）求拋物線的解析式和tan∠DAC；（2）點E是直線AC下方的拋物線上一點，且S△ACE＝2S△ACD，求點E的坐標；（3）如圖2，若點P是線段AC上的一個動點，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，則點P在線段AC上運動時，D點不變，Q點隨之運動．求當點P從點A運動到點C時，點Q運動的路徑長．【解析】解：（1）將A（﹣3，0），B（1，0）分別代入拋物線y＝ax2+bx+3可得：，解得；∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，,∴D（﹣1，4），C（0，3）；∴AC＝，DC＝；∴tan∠DAC＝．（2）如圖1所示，過E作EF//x軸交AC于點F，設(shè)點E（m，﹣m2﹣2m+3），直線AC的表達式為y＝kx+n，將A（﹣3，0），C（0，3）分別代入y＝kx+n可得：，解得，∴直線AC表達式為y＝x+3，∴F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），∴EF＝m+m2+2m＝m2+3m，∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF，∵S△ACD＝AC•CD＝3，∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF＝2S△ACD＝6，∴（m2+3m）＝6，解得m1＝1，m2＝﹣4（舍），∴E（1，0）．,（3）如圖2所示當點P與點A重合時，∵∠ADQ=∠DCA=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC，∴∠DAC=∠QDC，又∵∠DCA=∠DCQ=90°，∴△ADC∽△DQC，∴，∴，,當點P與點C重合時，∴∠Q'DC=∠ACD=90°，∴DQ'∥CQ，∵∠DAC=∠Q'P'D，∠Q'DP'=∠ACD=90°，∴△ADC∽△P'Q'D，∴，∴，∴DQ'=CQ，∴四邊形DQ'QC是平行四邊形，∴QQ'=CD=．8．已知，點，拋物線經(jīng)過點，且與直線交于點，與軸交于點（異于原點）．（1）填空：用含的代數(shù)式表示______；（2）若是直角三角形，求的值；（3）點是拋物線的頂點，連接與交于點，當點是三等分點時，求的值．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點B（1，1），∴1＝−＋b，∴b＝1＋，故答案為：；（2）∵，∴拋物線的解析式為：,令，則，解得，．∵點異于原點，∴點的坐標為．∴，∵，Q（a+1，0）∴，OQ2=，，∵是直角三角形，∴，即∴．（3）如圖，∵＝−（x−）2＋，∴點M（，），,設(shè)直線OM的解析式為y=kx，把M（，）代入得k==∴直線OM的解析式為y＝x，當y＝1時，x＝，∴點N（，1），∵與直線AB交于點P，∴1＝−x2＋（1＋）x，∴x1＝1，x2＝a，∴點P（a，1），∵點N是BP三等分點，∴BN＝2PN，∴1−＝2（−a），解得：a＝1或．9．如圖，在坐標系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．拋物線的圖象過C點，交y軸于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上是否存在點P使得△BPC的周長最小，若存在，請求出點P坐標，若不存在，請說明理由；,（3）直線BC解析式為，若平移該拋物線的對稱軸所在直線l，當l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分?【解析】（1）解：（1）如圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD＝90°．∵∠AOB＝90°∵∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠OAB+∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．在△AOB與△CDA中，∵，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2．∴OD＝OA+AD＝3．,∴C（3，1）．∵點C（3，1）在拋物線yx2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=∴拋物線的解析式為：；（2）把x=0代入，得y=-2，∴點E坐標為(0，-2)，∵B(0，2)，∴點B，E關(guān)于x軸對稱，連接EC交x軸于點P，則BP+PC最小即△BPC的周長最小．設(shè)直線CE解析式為，把點E（0，-2），C（3，1）代入解析式，得，解得，∴直線EC的解析式為y=x-2，，令y=0，解得x=2，∴P點坐標為(2，0)；,（3）如圖2，設(shè)直線AC解析式為，把點A（1,0），C（3，1）代入解析式，得，解得，∴直線EC的解析式為，．如圖設(shè)直線l與BC、AC分別交于點E、F，在△CEF中，EF邊上的高h=OD﹣x=3﹣x．由題意得：S△CEF=S△ABC，即EF•h=S△ABC．∴，整理得：（3﹣x）=3．解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去）．∴當直線l解析式為x=3﹣時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．,10．把函數(shù)的圖象繞點旋轉(zhuǎn)180°，得到新函數(shù)的圖象，我們稱是關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)，是圖象的對稱軸與軸交點坐標為．（1）若，時，的相關(guān)函數(shù)為______；（2）的值為______（用含的代數(shù)式表示）；（3）若，當時，函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求的解析式．【解析】（1）∵，，∴函數(shù)為：的頂點坐標為（1，-4），∴繞原點旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線的頂點坐標為（-1，4），∴的相關(guān)函數(shù)為，即，故答案為：；（2）：，頂點坐標為（，），頂點（，）圍繞點P（，0）旋轉(zhuǎn)180°的對稱點為（，），∴的相關(guān)函數(shù)為：，∴函數(shù)的對稱軸為：，，故答案為：；,（3）時，：，，對稱軸為直線，①當時，∴時，有最小值，時，有最大值，則，整理得：，無解；②當時，時，有最大值，時，有最小值，（舍去）；③當時，時，有最大值，時，有最小值，，解得：(舍去)或，故：，故的解析式為．,11．已知函數(shù)，（為常數(shù)）．（1）當時，①求此函數(shù)圖象與軸交點坐標．②當函數(shù)的值隨的增大而增大時，自變量的取值范圍為________．（2）若已知函數(shù)經(jīng)過點（1，5），求的值，并直接寫出當時函數(shù)的取值范圍．（3）要使已知函數(shù)的取值范圍內(nèi)同時含有和這四個值，直接寫出的取值范圍．【解析】（1）當時，①∵，∴把x＝0代入得．∴此函數(shù)圖象與y軸交點坐標為（0,3）．②當x≤時，配方得∵a＝－1＜0，對稱軸為直線x＝－1，∴當x≤－1，y隨x的增大而增大，符合題意，當x＞時，，配方得，∵a＝1＞0，對稱軸為直線x＝1，∴當x≥1時，y隨x的增大而增大，符合題意，,綜上所述：當函數(shù)的值隨的增大而增大時，自變量的取值范圍為x≤或x≥1；（2）當k≥1時，把（1,5）代入，得，解得無實根．當k＜1時，把（1,5）代入，得，解得（不合題意，舍去），．∴．∴當x＝－2時，將x＝－2代入得：y＝－4，當－2＜x≤0時，配方得∵a＝1＞0，對稱軸為直線x＝2，∴當－2＜x≤0時，8≤y＜20，綜上所述：當－2≤x≤0時，y的取值范圍為或8≤y＜20．（3）由題意可知，當k≤0時，函數(shù)圖像如圖所示，,則的最大值2k≥－2即可，解得k≥－1，∴－1≤k≤0，當0＜k＜2時，的最大值2k＜4則當x＞k時，的最小值＜4即可，將x＝k，y＝4代入得解得（舍去），∴0＜k＜，當k≥2時，的最大值2k≥4，,如圖，此時在左邊的圖像上的最大值不小于4，符合題意，∴k≥2，綜上所述：≤k＜或k≥2．12．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為M，對稱軸交x軸于E，點D在第一象限，且在拋物線的對稱軸上，DE＝OC，DM＝．（1）求拋物線的對稱軸方程；（2）若DA＝DC，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點P是拋物線對稱軸上的一個動點，若在直線BM上只存在一個點Q，使∠PQC＝45°，求點P的坐標．【解析】（1）∵OC＝c，DE＝OC＝c，點D在拋物線對稱軸上，∴點D縱坐標為c，,∵點M是拋物線頂點，∴點M的縱坐標為，則DM＝c﹣（c﹣b2）＝，；解得b＝（舍去），或b＝﹣，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝=5；（2）由（1）可知拋物線的表達式為y＝x2﹣x+c，令y＝x2﹣x+c＝0，設(shè)A、B兩點橫坐標為xA、xB，則xA+xB＝10，xAxB＝4c，則AB＝＝＝，在Rt中，AE＝AB，DE＝c，AD＝DC＝5，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，，25＝c2+25﹣4c，化簡得：，解得c＝4，故拋物線的表達式為y＝x2﹣x+4；（3）如圖，連接PQ、PC、QC，作的外接圓K，連接KP、KC，過點K作y軸的垂線，交y軸于點F，交拋物線的對稱軸于點N，,設(shè)點K的坐標為（m，n），點P（5，t），∵∠PQC＝45°，故∠PKC＝90°，且PK＝CK＝QK，∵∠FKC+∠NKP＝90°，∠NKP+∠NPK＝90°，∴∠FKC＝∠NPK，∴Rt≌Rt（AAS），∴CF＝NK，PN＝MK，∴4﹣n＝5﹣m，t﹣n＝m，∴n＝m﹣1，t＝2m﹣1，故點K的坐標為（m，m﹣1），點P的坐標為（5，2m﹣1）．由拋物線的表達式知，頂點M的坐標為（5，﹣），點B的坐標為（8，0），由點B、M的坐標得，直線MB的表達式為y＝x﹣6，設(shè)點Q的坐標為（r，r﹣6），由KC2＝KQ2得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣r）2+（m﹣1﹣r+6）2，整理得：r2﹣（m+）r+20m＝0，關(guān)于r的一元二次方程，∵直線BM上只存在一個點Q，r的解只有一個，,∴△＝（m+）2﹣4××20m＝0，解得m＝5或，點P坐標（5，t），t＝2m﹣1，當m＝5時，t＝9；當m＝時，t＝；故點P的坐標為（5，9）或（5，）．