絕密★啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學Ⅰ注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3．請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．1．已知集合，則▲．2．已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部是▲．3．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是▲．4．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是▲．5．如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是▲． 6．在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是▲．7．已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則的值是▲．8．已知=，則的值是▲．9．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是▲cm.10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是▲．11．設{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是▲．12．已知，則的最小值是▲．13．在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是▲． 14．在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是▲．二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．16．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．17．（本小題滿分14分） 某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上)．經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關系式；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關系式.已知點B到的距離為40米．（1）求橋AB的長度；（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點)．.橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0)，問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？18．（本小題滿分16分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；（3）設點M在橢圓E上，記與的面積分別為S1，S2，若，求點M 的坐標．19．（本小題滿分16分）已知關于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．20．（本小題滿分16分）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．數(shù)學Ⅰ試題參考答案一、填空題:本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分,共計70分.1．2．33．24．5．6．7．8．9．10．11．412．13．或014．二、解答題15．本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識,考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分. 證明：因為分別是的中點，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面,所以.又,平面,平面,所以平面.又因為平面,所以平面平面.16．本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力.滿分14分.解：（1）在中，因為，由余弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因為,所以為鈍角，而,所以為銳角.故則. 因為，所以，.從而.17．本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、用導數(shù)求最值、解方程等基礎知識，考查直觀想象和數(shù)學建模及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.滿分14分.解：（1）設都與垂直，是相應垂足.由條件知，當時，則.由得所以（米）.（2）以為原點，為軸建立平面直角坐標系（如圖所示）.設則.因為所以.設則所以記橋墩和的總造價為， 則，令得所以當時，取得最小值.答：（1）橋的長度為120米；（2）當為20米時，橋墩和的總造價最低.18．本小題主要考查直線方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系、向量數(shù)量積等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分16分.解：（1）橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則.所以的周長為.（2）橢圓的右準線為.設，則，在時取等號.所以的最小值為. （3）因為橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，則.所以直線設，因為，所以點到直線距離等于點到直線距離的3倍.由此得，則或.由得，此方程無解；由得，所以或.代入直線，對應分別得或.因此點的坐標為或.19．本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.滿分16分.解:（1）由條件，得，取，得，所以．由，得，此式對一切恒成立，所以，則，此時恒成立，所以．（2）.令，則令，得. 所以.則恒成立，所以當且僅當時，恒成立．另一方面，恒成立，即恒成立，也即恒成立．因為，對稱軸為，所以，解得．因此，k的取值范圍是（3）①當時，由，得，整理得令則．記則恒成立，所以在上是減函數(shù)，則，即．所以不等式有解，設解為，因此．②當時，．設，令，得． 當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù)．，，則當時，．（或證：．）則，因此．因為，所以．③當時，因為，均為偶函數(shù)，因此也成立．綜上所述，．20．本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力．滿分16分．解：（1）因為等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，也即，此式對一切正整數(shù)n均成立．若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾．所以．（此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）（2）因為數(shù)列是“”數(shù)列，所以，即．因為，所以，則．令，則，即．解得，即，也即，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列． 因為，所以．則（3）設各項非負的數(shù)列為“”數(shù)列，則，即．因為，而，所以，則．令，則，即．（*）①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）②若，則（*）化為，因為，所以，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）③若，則的兩根分別在（0，1）與（1，+∞）內(nèi)，則方程（*）有兩個大于或等于1的解：其中一個為1，另一個大于1（記此解為t）．所以或．由于數(shù)列從任何一項求其后一項均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列有無數(shù)多個，則對應的有無數(shù)多個．綜上所述，能存在三個各項非負的數(shù)列為“”數(shù)列，的取值范圍是．數(shù)學Ⅱ(附加題)21．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分） 平面上點在矩陣對應的變換作用下得到點．（1）求實數(shù)，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．（1）求，的值；（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．C．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）設，解不等式．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．23．（本小題滿分10分）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示)．數(shù)學Ⅱ(附加題)參考答案21．【選做題】A．[選修4-2：矩陣與變換] 本小題主要考查矩陣的運算、逆矩陣等基礎知識，考查運算求解能力．滿分10分．解：（1）因為，所以解得，所以．（2）因為，，所以可逆，從而．B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力．滿分10分．解：（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圓C上，因此或0．（2）由得，所以．因為，，所以，．所以公共點的極坐標為．C．[選修4-5：不等式選講]本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力．滿分10分．解：當x>0時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，解得．綜上，原不等式的解集為．22．【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎知識，考查空間想象能力和運算求解能力．滿分10分．解：（1）連結(jié)OC，因為CB=CD，O為BD中點，所以CO⊥BD． 又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．以為基底，建立空間直角坐標系O–xyz．因為BD=2，，AO=2，所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．因為E為AC的中點，所以E（0，1，1）．則=（1，0，–2），=（1，1，1），所以．因此，直線AB與DE所成角的余弦值為．（2）因為點F在BC上，，=（–1，2，0）．所以．又，故．設為平面DEF的一個法向量，則即取，得，，所以．設為平面DEC的一個法向量，又=（1，2，0），則即取，得，，所以．故．所以． 23．【必做題】本小題主要考查隨機變量及其概率分布等基礎知識，考查邏輯思維能力和推理論證能力．滿分10分．解：（1），，，．（2）當時，，①，②，得．從而，又，所以，．③由②，有，又， 所以，．由③，有，．故，．的概率分布012則．