2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)一、填空題1.已知集合，，則.答案：解析：由集合，，∴.2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是________.答案：解析：，則實(shí)部為.3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值是.答案：解析：由可知.4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為的概率是.答案：解析：總事件數(shù)為，滿足條件的事情有，，，為共種，則點(diǎn)數(shù)和為的概率為.5.右圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出值為，則輸入的值是________. 答案：解析：由題可知當(dāng)時(shí)得，則.6.在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是.答案：解析：由得漸近線方程為，又，則，，，得離心率.7.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是.答案： 解析：是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.8.已知，則的值是________.答案：解析：因?yàn)?，由，解?9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是.答案：解析：記此六角螺帽毛坯的體積為，正六棱柱的體積為，內(nèi)孔的體積為正六棱柱的體積為，則，所以.10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與軸最近的對(duì)稱軸的方程是.答案：解析： 因?yàn)?，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，則的對(duì)稱軸為，，即，，時(shí)，，時(shí)，，所以平移后的圖象中與軸最近的對(duì)稱軸的方程是.11.設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，已知的前項(xiàng)和，則的值是________.答案：解析：因?yàn)榈那绊?xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，從而有.12.已知，則的最小值是.答案：解析：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào).所以.13.在中，，，，在邊上，延長(zhǎng)到，使得，若（為常數(shù)），則的長(zhǎng)度是. 答案：解析：由向量系數(shù)為常數(shù)，結(jié)合等和線性質(zhì)可知，故，，故，故.在中，；在中，由正弦定理得，即.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，是圓：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則面積的最大值是________.答案：解析：如圖，作所在直徑，交于點(diǎn)，則：∵，，∴，為垂徑.要使面積最大，則位于兩側(cè)，并設(shè)，計(jì)算可知，故，，故，令，，，記函數(shù)，則， 令，解得（舍去）顯然，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；結(jié)合在遞減，故時(shí)最大，此時(shí)，故，即面積的最大值是.（注：實(shí)際上可設(shè)，利用直角可更快速計(jì)算得出該面積表達(dá)式）二、解答題15.在三棱柱中，，平面，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.答案：見解析解析： （1）因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，面，所以，又因?yàn)?，，面，面，所以面，因?yàn)槊?，所以平面平?16.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，.（1）求的值；（2）在邊上取一點(diǎn)，使得，求的值.答案：見解析解析：（1）由余弦定理，得，因此，即，由正弦定理，得，因此.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所? ，因?yàn)椋?，?17.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線（在上）.經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線上任一點(diǎn)到的距離（米）與到的距離（米）之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線上任一點(diǎn)到的距離（米）與到的距離（米）之間滿足關(guān)系式.己知點(diǎn)到的距離為米.（1）求橋的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩和，且為米，其中，在上（不包括端點(diǎn)）.橋墩每米造價(jià)（萬(wàn)元），橋墩每米造價(jià)（萬(wàn)元）（），問為多少米時(shí)，橋墩與的總造價(jià)最低？答案：（1）橋的長(zhǎng)度為米；（2）為米時(shí)，橋墩與的總造價(jià)最低.解析：（1）過，分別作的垂線，垂足為，，則.令，得，所以，. （2）設(shè)，則，由得.總造價(jià)，因?yàn)?，所以令，得或，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，造價(jià)最低.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點(diǎn).（1）求的周長(zhǎng)；（2）在軸上任取一點(diǎn)，直線與橢圓的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，記與的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).答案：見解析解析：（1）的周長(zhǎng). （2）由橢圓方程得，設(shè)點(diǎn)，則直線方程為，令得，即，，，即的最小值為.（3）設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，若，則，即，由（1）可得直線方程為，即，所以，.由題意得，點(diǎn)應(yīng)為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點(diǎn)，設(shè)平行于的直線為，與直線的距離為，所以，即或.當(dāng)時(shí)，直線為，即，聯(lián)立可得，即或，所以或.當(dāng)時(shí)，直線為，即，聯(lián)立可得，，所以無解.綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或.19.已知關(guān)于的函數(shù)，與（，）在區(qū)間上恒有. （1）若，，，求的表達(dá)式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，求證：.答案：見解析解析：（1）由得.又，，所以，所以，函數(shù)的圖像為過原點(diǎn)，斜率為的直線，所以.經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意.（2），設(shè)，則，，所以當(dāng)時(shí)，時(shí).由，得當(dāng)時(shí)，在上遞增，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，即，，.綜上，.（3）因?yàn)椋?，所以函?shù)的圖像在處的切線為，可見直線為函數(shù)的圖像在處的切線，又因?yàn)? 由函數(shù)的圖像可知，當(dāng)在區(qū)間上恒成立時(shí)，，又由得，設(shè)方程的兩根為，，則，，∴，令，則，由圖像可知.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，即.20.已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù).若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.（1）若等差數(shù)列是“”數(shù)列，求的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“”數(shù)列，且？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.答案：見解析；解析：（1）時(shí)，，所以.（2）,， 因此.，.從而.又，，，.綜上，.（3）若存在三個(gè)不同的數(shù)列為“”數(shù)列，則，則，由，，則，令，則，時(shí)，，由可得，則，即，此時(shí)唯一，不存在三個(gè)不同的數(shù)列；時(shí)，令，則，則，①時(shí)，則同理不存在三個(gè)不同的數(shù)列；②時(shí)，，無解，則，同理不存在三個(gè)不同的數(shù)列；③時(shí)，，則，同理不存在三個(gè)不同的數(shù)列；④即時(shí)，，有兩解，，設(shè)，，，則，則對(duì)任意，或或；此時(shí)，，均符合條件， 對(duì)應(yīng)，，，則存在三個(gè)不同的數(shù)列為“”數(shù)列，且，綜上，.