2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個數為（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個數為4.故選：C.【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.2.復數的虛部是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】利用復數的除法運算求出z即可.【詳解】因為，所以復數的虛部為.故選：D.【點晴】本題主要考查復數的除法運算，涉及到復數的虛部的定義，是一道基礎題.3.在一組樣本數據中，1，2，3，4出現的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】計算出四個選項中對應數據的平均數和方差，由此可得出標準差最大的一組.【詳解】對于A選項，該組數據的平均數為，方差為；對于B選項，該組數據的平均數為，方差為；對于C選項，該組數據的平均數為，方差為；對于D選項，該組數據的平均數為，方差為.因此，B選項這一組的標準差最大.故選：B.【點睛】本題考查標準差的大小比較，考查方差公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題. 4.Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領城．有學者根據公布數據建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數結合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點睛】本題考查對數的運算，考查指數與對數的互化，考查計算能力，屬于中等題.5.設O為坐標原點，直線x=2與拋物線C：y2=2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為（）A.（，0）B.（，0）C.（1，0）D.（2，0）【答案】B【解析】【分析】根據題中所給的條件，結合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標，代入方程求得的值，進而求得其焦點坐標，得到結果.【詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：B. 【點睛】該題考查的是有關圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標，屬于簡單題目.6.已知向量a，b滿足，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】計算出、的值，利用平面向量數量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.7.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據已知條件結合余弦定理求得，再根據，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據余弦定理： 可得，即由故.故選：A.【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.8.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+4B.4+4C.6+2D.4+2【答案】C【解析】【分析】根據三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據立體圖形可得： 根據勾股定理可得：是邊長為的等邊三角形根據三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關鍵是掌握根據三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎題.9.已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（）A.–2B.–1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切公式，結合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.10.若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+【答案】D【解析】【分析】 根據導數的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，函數的導數為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.11.設雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】【分析】根據雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，，根據雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A. 【點睛】本題主要考查了雙曲線的性質以及定義的應用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應用，屬于中檔題.12.已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（）A.a400空氣質量好空氣質量不好附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質量等級分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據頻數分布表可計算出該市一天的空氣質量等級分別為、、、的概率；（2）利用每組的中點值乘以頻數，相加后除以可得結果；（3）根據表格中的數據完善列聯表，計算出的觀測值，再結合臨界值表可得結論.【詳解】（1）由頻數分布表可知，該市一天的空氣質量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為 的概率為；（2）由頻數分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數為（3）列聯表如下：人次人次空氣質量不好空氣質量好，因此，有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.【點睛】本題考查利用頻數分布表計算頻率和平均數，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數據處理能力，屬于基礎題.19.如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．（1）證明：點在平面內；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】【分析】（1）連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進而可證得點在平面內；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進而可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）在棱上取點，使得，連接、、、，在長方體中，且，且，，，且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，且，則四邊形為平行四邊形，因此，點在平面內；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、 軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，，，設平面的法向量為，由，得取，得，則，設平面的法向量為，由，得，取，得，，則，，設二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.【點睛】本題考查點在平面的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題. 20.已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為，可得，，根據離心率公式，結合已知，即可求得答案；（2）點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設與軸交點為，可得，可求得點坐標，求出直線的直線方程，根據點到直線距離公式和兩點距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），，根據離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設與軸交點為根據題意畫出圖形，如圖 ，，，又，，，根據三角形全等條件“”，可得：，，，，設點為，可得點縱坐標為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，①當點為時，故，， ，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據兩點間距離公式可得：，面積為：；②當點時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖 ,，可求得直線的直線方程為：，根據點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.【點睛】本題主要考查了求橢圓標準方程和求三角形面積問題，解題關鍵是掌握橢圓的離心率定義和數形結合求三角形面積，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.21.設函數，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義得到，解方程即可；（2）由（1）可得，易知在上單調遞減，在，上單調遞增，且 ，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因為，由題意，，即則；（2）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，且，若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或，即或.當時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；當時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；綜上，所有零點的絕對值都不大于1.【點晴】 本題主要考查利用導數研究函數的零點，涉及到導數的幾何意義，反證法，考查學生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數且t≠1），C與坐標軸交于A、B兩點．（1）求；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由參數方程得出的坐標，最后由兩點間距離公式，即可得出的值；（2）由的坐標得出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可.【詳解】（1）令，則，解得或（舍），則，即.令，則，解得或（舍），則，即；（2）由（1）可知，則直線的方程為，即.由可得，直線的極坐標方程為.【點睛】本題主要考查了利用參數方程求點的坐標以及直角坐標方程化極坐標方程，屬于中檔題.[選修4—5：不等式選講]（10分）23.設a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由結合不等式的性質，即可得出證明；（2）不妨設，由題意得出，由，結合基本不等式，即可得出證明.【詳解】（1），.均不為，則，；（2）不妨設，由可知，，，.當且僅當時，取等號，，即.【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質以及基本不等式的應用，屬于中檔題.