[A級 基礎(chǔ)練]1.下列四個函數(shù)中,在x∈(0,+∞)上為增函數(shù)的是( )A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|解析:選C.當x>0時,f(x)=3-x為減函數(shù);當x∈時,f(x)=x2-3x為減函數(shù),當x∈時,f(x)=x2-3x為增函數(shù);當x∈(0,+∞)時,f(x)=-為增函數(shù);當x∈(0,+∞)時,f(x)=-|x|為減函數(shù).2.函數(shù)f(x)=-x+在上的最大值是( )A.B.-C.-2D.2解析:選A.函數(shù)f(x)=-x+的導數(shù)為f′(x)=-1-,則f′(x)<0,可得f(x)在上單調(diào)遞減,即f(-2)為最大值,且為2-=.3.(2020·無錫模擬)若函數(shù)y=,x∈(m,n]的最小值為0,則m的取值范圍是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)解析:選D.因為函數(shù)y===-1在區(qū)間(-1,+∞)上是減函數(shù),且f(2)=0,所以n=2.根據(jù)題意,x∈(m,n]時,ymin=0.所以m的取值范圍是[-1,2). 4.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),對實數(shù)a,b,若a+b>0,則有( )A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)0,所以a>-b,b>-a.所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),結(jié)合選項,可知選A.
5.(多選)已知f(x)是定義在[0,+∞)上的函數(shù),根據(jù)下列條件,可以斷定f(x)是增函數(shù)的是( )A.對任意x≥0,都有f(x+1)>f(x)B.對任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≥x2,都有f(x1)≥f(x2) C.對任意x1,x2∈[0,+∞),且x1-x2<0,都有f(x1)-f(x2)<0D.對任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有>0解析:選CD.根據(jù)題意,依次分析選項:對于選項A,對任意x≥0,都有f(x+1)>f(x),不滿足函數(shù)單調(diào)性的定義,不符合題意;對于選項B,當f(x)為常數(shù)函數(shù)時,對任意x1,x2∈[0,+∞),都有f(x1)=f(x2),不是增函數(shù),不符合題意;對于選項C,對任意x1,x2∈[0,+∞),且x1-x2<0,都有f(x1)-f(x2)<0,符合題意;對于選項D,對任意x1,x2∈[0,+∞),設(shè)x1>x2,若>0,必有f(x1)-f(x2)>0,則函數(shù)在[0,+∞)上為增函數(shù),符合題意.6.函數(shù)f(x)=|x-2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是________.解析:由于f(x)=|x-2|x=結(jié)合圖象(圖略)可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2].答案:[1,2]7.如果函數(shù)f(x)=ax2+2x-3在區(qū)間(-∞,4)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是________.解析:當a=0時,f(x)=2x-3在定義域R上是單調(diào)遞增的,故在(-∞,4)上單調(diào)遞增;當a≠0時,二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x=-,因為f(x)在(-∞,4)上單調(diào)遞增,所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0.綜上,實數(shù)a的取值范圍是.答案:8.已知y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)1時,0<<1.因此函數(shù)f(x)的值域是(0,+∞).(2)y=x-=-≥-,所以函數(shù)y的值域為.10.已知函數(shù)f(x)=.(1)寫出函數(shù)f(x)的定義域和值域;(2)證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù),并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}.又f(x)=1+,所以值域為{y|y≠1}.(2)由題意可設(shè)00,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù).在x∈[2,8]上,f(x)的最大值為f(2)=2,最小值為f(8)=.[B級 綜合練]11.已知符號函數(shù)sgnx=f(x)是R上的增函數(shù),g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),則( )A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]解析:選B.因為f(x)是R上的增函數(shù),且a>1,所以當x>0時,f(x)f(ax),即g(x)>0.由符號函數(shù)sgnx=知,sgn[g(x)]==-sgnx.
12.設(shè)f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,則實數(shù)a的取值范圍為________.解析:因為當x≤0時,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,所以a≥0.當x>0時,f(x)=x++a≥2+a,當且僅當x=1時取“=”.要滿足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2,所以實數(shù)a的取值范圍是0≤a≤2.答案:[0,2]13.已知函數(shù)f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,試證明f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)證明:設(shè)x1<x2<-2,則f(x1)-f(x2)=-=.因為(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增.(2)設(shè)1<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-=.因為a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為(0,1].14.已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f=f(x1)-f(x2),且當x>1時,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)證明:f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)證明:任取x1,x2∈,且x1>x2,則>1,由于當x>1時,f(x)<0,所以f<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)0,
當x>1時,x2-2ax+4a-2-2|x-1|=(x-2)(x-2a).由(x-2)(x-2a)≤0得2≤x≤2a.所以使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2,2a].(2)設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以由F(x)的定義知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=