[A級(jí)　基礎(chǔ)練]1．(多選)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(　　)A．y＝x2　B．y＝|x－1|C．y＝|x|－1D．y＝2x解析：選AC.選項(xiàng)A，C中的函數(shù)為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；選項(xiàng)B，D中的函數(shù)均為非奇非偶函數(shù)．所以排除選項(xiàng)B，D，故選AC.2．函數(shù)f(x)＝x＋(x≠0)是(　　)A．奇函數(shù)，且在(0，3)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0，3)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0，3)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0，3)上是減函數(shù)解析：選B.因?yàn)閒(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝x＋為奇函數(shù)．又f′(x)＝1－，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，3)上是減函數(shù)．3．(2021·貴陽市第一學(xué)期監(jiān)測(cè)考試)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x>時(shí)，f＝f，則f(5)＝(　　)A．B．－C．－2D．2解析：選B.因?yàn)楫?dāng)x>時(shí)，f＝f，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因?yàn)楫?dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，故選B.4．設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)A．|f(x)|是偶函數(shù)B．－f(x)是奇函數(shù)C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)解析：選D.因?yàn)閒(x)＝，則f(－x)＝＝－f(x)．所以f(x)是奇函數(shù)．因?yàn)閒(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函數(shù)，所以f(|x|)f(x)是奇函數(shù)． 5．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：選D.因?yàn)閒(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定義在R上的以3為周期的周期函數(shù)，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故選D.6．已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－x－1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________．解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.答案：x2＋x－17．若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________，且當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)的最大值為________．解析：由f(x)為奇函數(shù)易知a＝2，當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)＝在[4，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)max＝.答案：2　8．已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．解析：方法一：因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x)．所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一個(gè)符合題意的函數(shù)f(x)＝2sin，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.答案：29．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f＝－f成立．(1)證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．解：(1)因?yàn)閒＝－f，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋3)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且3是其一個(gè)周期．(2)因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個(gè)周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.10．設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的表達(dá)式．解：(1)因?yàn)閒(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)是偶函數(shù)．(2)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，－x∈[－1，0]，則f(x)＝f(－x)＝x；從而當(dāng)1≤x≤2時(shí)，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝[B級(jí)　綜合練]11．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.若y＝f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但若y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y＝f(x)不一定是奇函數(shù)，如y＝|f(x)|＝x2，故選B.12．已知函數(shù)f(x)＝如果對(duì)任意的n∈N*，定義fn(x)＝，那么f2022(2)的值為　(　　)A．0B．1 C．2D．3解析：選C.因?yàn)閒1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期為3，所以f2022(2)＝f3×674(2)＝f3(2)＝2，故選C.13．設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．從而可知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如圖所示．設(shè)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4.14．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)可畫出f(x)的圖象，知f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增．結(jié)合f(x)的圖象知所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3]． [C級(jí)　創(chuàng)新練]15．若函數(shù)f(x)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”：(1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.以上三個(gè)函數(shù)中，“優(yōu)美函數(shù)”的個(gè)數(shù)是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：選B.由條件(1)，得f(x)是R上的奇函數(shù)，由條件(2)，得f(x)是R上的減函數(shù)．對(duì)于①，f(x)＝sinx在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對(duì)于②，f(x)＝－2x3既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對(duì)于③，f(x)＝1－x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”．故選B.16．(多選)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列為“H函數(shù)”的是(　　)A．y＝sinxcosxB．y＝lnx＋exC．y＝2xD．y＝x2－2x解析：選AB.由題意，得“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．A中，y＝sinxcosx＝sin2x∈，其值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A是“H函數(shù)”；B中，函數(shù)y＝lnx＋ex的值域?yàn)镽，故B是“H函數(shù)”；C中，因?yàn)閥＝2x>0，故C不是“H函數(shù)”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D不是“H函數(shù)”．綜上所述，A，B是“H函數(shù)”，故選AB.