[A級 基礎(chǔ)練]1．若函數(shù)f(x)＝(2a－5)·ax是指數(shù)函數(shù)，則f(x)在定義域內(nèi)( )A．為增函數(shù) B．為減函數(shù)C．先增后減D．先減后增解析：選A.由指數(shù)函數(shù)的定義知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a>1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調(diào)性，則M＝(a－1)0.2與N＝的大小關(guān)系是( )A．M＝NB．M≤NC．M
N解析：選D.因為f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a>1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調(diào)性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故選D.3．(多選)已知函數(shù)f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的圖象恒過點A，下列函數(shù)圖象經(jīng)過點A的是( )A．y＝＋2B．y＝|x－2|＋1C．y＝log2(2x)＋1D．y＝2x－1解析：選ABC.函數(shù)f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的圖象恒過點A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒過點A(1，2)．把x＝1，y＝2代入各選項驗證，只有D中的函數(shù)沒經(jīng)過該點．4．(2021·鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)f(x)＝－，則f(x)是( )A．奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)C．奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
解析：選C.易知f(x)的定義域為R，f(－x)＝－＝－，則f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函數(shù)．函數(shù)f(x)＝－顯然是減函數(shù)．故選C.5．當x∈[－2，2]時，ax<2(a>0且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是( )A．(1，)B.C.∪(1，)D．(0，1)∪(1，)解析：選C.x∈[－2，2]時，ax<2(a>0且a≠1)．若a>1，y＝ax是增函數(shù)，則有a2<2，可得a<，故有1，故有0且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________．解析：因為函數(shù)y＝ax－b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)y＝ax－b單調(diào)遞減且其圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0，1)．答案：(0，1)
8．已知函數(shù)f(x)＝的值域是[－8，1]，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當0≤x≤4時，f(x)∈[－8，1]，當a≤x<0時，f(x)∈，所以[－8，1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0.所以實數(shù)a的取值范圍是[－3，0)．答案：[－3，0)9．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的圖象過點(0，－2)，(2，0)．(1)求a與b的值；(2)求x∈[－2，4]時，f(x)的最大值與最小值．解：(1)因為點(0，－2)，(2，0)在函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的圖象上，所以所以又a＝－不符合題意，所以(2)由(1)可得f(x)＝()x－3.因為>1，所以y＝()x在其定義域上是增函數(shù)，所以f(x)＝()x－3在區(qū)間[－2，4]上單調(diào)遞增．所以f(x)在區(qū)間[－2，4]上的最小值為f(－2)＝－，最大值為f(4)＝6.10．已知函數(shù)f(x)＝.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．解：(1)令t＝|x|－a，則f(x)＝，不論a取何值，t在(－∞，0]
上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又y＝是單調(diào)遞減的，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0]，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是，且＝，所以函數(shù)g(x)＝|x|－a應該有最小值－2，從而a＝2.[B級 綜合練]11．(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝的性質(zhì)，下列說法中正確的是( )A．函數(shù)f(x)的定義域為RB．函數(shù)f(x)的值域為(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一個實根D．函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形解析：選ACD.函數(shù)f(x)＝的定義域為R，所以A正確；因為y＝4x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域為，所以方程f(x)＝x只有一個實根，所以B不正確，C正確；因為f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)關(guān)于點對稱，所以D正確．12．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是________．①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2－a＜2c；④2a＋2c＜2.解析：
作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，由圖象可知a<0時，b的符號不確定，1>c>0，故①②錯；因為f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成立；又2a＋2c>2，所以2a＋c<1，所以a＋c<0，所以－a>c，所以2－a>2c，③不成立．答案：④13．已知函數(shù)y＝a＋b的圖象過原點，且無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交．(1)求該函數(shù)的解析式，并畫出圖象；(2)判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性．解：(1)因為函數(shù)y＝a＋b的圖象過原點，所以0＝a＋b，即a＋b＝0，所以b＝－a.函數(shù)y＝a－a＝a.又0<≤1，－1<－1≤0.且y＝a＋b無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，所以a<0且0≤a<－a，所以－a＝2，函數(shù)y＝－2＋2.用描點法畫出函數(shù)的圖象，如圖．(2)顯然函數(shù)的定義域為R.令y＝f(x)，則f(－x)＝－2＋2＝－2＋2＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．當x>0時，y＝－2＋2＝－2＋2為單調(diào)增函數(shù)．當x<0時，y＝－2＋2＝－2＋2為單調(diào)減函數(shù)．所以y＝－2
＋2在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)．14．定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M>0，都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界，已知函數(shù)f(x)＝＋＋1.(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的值域，并判斷函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是否為有界函數(shù)，請說明理由；(2)若函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)不是．理由如下：設(shè)y＝f(x)＝＋＋1.當a＝－1時，y＝f(x)＝－＋1(x<0)，令t＝，x<0，則t>1，y＝t2－t＋1＝＋.所以y>1，即函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的值域為(1，＋∞)．所以不存在常數(shù)M>0，使得|f(x)|≤M成立．所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上不是有界函數(shù)．(2)由題意知，|f(x)|≤3對x∈[0，＋∞)恒成立．即－3≤f(x)≤3對x∈[0，＋∞)恒成立．令t＝，x≥0，則t∈(0，1]．所以－≤a≤－t對t∈(0，1]恒成立，所以≤a≤，設(shè)h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0，1]．因為h(t)在(0，1]上單調(diào)遞增，p(t)在(0，1]上單調(diào)遞減，
所以h(t)在(0，1]上的最大值為h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值為p(1)＝1.所以實數(shù)a的取值范圍為[－5，1]．[C級 創(chuàng)新練]15．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為( )A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}解析：選D.f(x)＝＝＝1＋，因為2x>0，所以1＋2x>1，所以0<<1，則0<<2，所以1<1＋<3，即10，滿足方程有解；②若m<4，要使t2－mt－8＝0在t≥2時有解，則需解得－2≤m<4.綜上可得實數(shù)m的取值范圍為[－2，＋∞)．
