方陣問題知識要點學(xué)生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣。方陣包括實心方陣和空心方陣，而實心方陣的每一層又可以單獨看成一個空心方陣，因此空心方陣的規(guī)律對它也是適用的。1.方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同。每向里一層，每邊上的人數(shù)就少，每層總數(shù)就少。（可應(yīng)用等差數(shù)列相關(guān)知識進(jìn)行解題）2.每層總數(shù)每邊人（或物）數(shù)；每邊人（或物）數(shù)每層總數(shù)。3.實心方陣：總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=最外層每邊人（或物）數(shù)最外層每邊人（或物）數(shù)。4.空心方陣：總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)（最外層每邊人（或物）數(shù)層數(shù)）層數(shù)總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)（最外層人（或物）數(shù)最內(nèi)層人（或物）數(shù)）層數(shù)實心方陣1.在一個正方形場地四周插入彩旗，四個角都插一面，共插了面彩旗，問四周每邊插彩旗多少面？【分析】（面）。2.正方形廣場四周均勻掛彩燈，四個角上都掛一盞，每邊掛了盞，廣場的四周共需掛幾盞彩燈？【分析】（盞）。3.用棋子擺成一個實心方陣，一共用了枚棋子，那么最外層一共有棋子枚?！痉治觥浚虼俗钔鈱悠遄訑?shù)為（枚）。4.用棋子排成一個的實心方陣，共需用棋子枚?！痉治觥浚叮?。5.某小學(xué)三年級的學(xué)生排成一個實心的正方形方陣，最外面一層有學(xué)生人。這個方陣共有學(xué)生人?！痉治觥孔钔鈱用窟吶藬?shù)為（人），因此方陣總?cè)藬?shù)為（人）。6.一群小猴排成整齊的隊伍做操，隊伍是一個方陣。長頸鹿站在隊伍旁邊，一下子看到了他的好朋友金絲猴．長頸鹿數(shù)了數(shù)，金絲猴的左邊有只猴，右邊也有只猴，前面有只猴，后面也有只猴。小朋友，你能算出有多少只猴在做操嗎？【分析】一共有行，一共有列，一共有只猴子。,1.三年級學(xué)生組成一個正方形方隊，共行，每行人，后來由于服裝不夠，只好去掉一行一列，問去掉了多少學(xué)生?【分析】（人）。2.一個長方形隊列，如果增加一橫行和一豎行，就要增加人。這個長方形隊列原來最少有人?！痉治觥窟@個隊列原來長+寬=（人），所以最少為（人）。3.一個由圓片擺成的實心方陣，最外一層有個圓片，把個這樣的實心方陣拼成一個大的實心方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個圓片？【分析】每個小方陣最外層每邊圓片個數(shù)為（個），那么大方陣最外層每邊圓片個數(shù)為（個），由此可知其最外層圓片個數(shù)為（個）。4.幼兒園小朋友在老師指導(dǎo)下，把棋子排成正方形方陣，如果在這個方陣中去掉橫豎各一排，則這個方陣少了枚棋子，那么這個方陣共有多少枚棋子?【分析】該方陣最外層每邊棋子數(shù)為（枚），方陣總棋子數(shù)為（枚）。5.一堆棋子排成一個實心方陣，后來又添進(jìn)只棋子，使橫豎各增加一排，成為一個新的實心方陣，求原來實心方陣用了多少只棋子？【分析】新方陣最外層每邊棋子數(shù)量為（只），那么原來方陣用了只棋子。6.四年級一班同學(xué)參加了廣播操比賽，排成每行人，每列人的方陣，問方陣中共有多少學(xué)生？如果去掉一行一列，還剩多少同學(xué)？【分析】可以根據(jù)“實心方陣總?cè)藬?shù)每邊人數(shù)每邊人數(shù)”，得到行列的實心方陣學(xué)生有人。去掉一行一列后，還剩行列，即還剩同學(xué)人。7.二年級舞蹈隊為全校做健美操表演，組成一個正方形隊列，后來由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人數(shù)正好是人，那么原來準(zhǔn)備參加健美操表演的有多少人【分析】因增加的是一行一列，而行、列人數(shù)仍應(yīng)相等，但為什么增加的卻是人，因有人是既在他所在的行，又在他所在的列。若把它減掉，剩下人數(shù)恰是原兩行或兩列的人數(shù)，則原來一行或一列的人數(shù)可求。參加健美操表演的人數(shù)可求。原來一行或一列有人。參加健美操表演有人。8.學(xué)生進(jìn)行隊列表演，排成了一個正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉人，問這個方陣共有多少人？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【分析】學(xué)生排成一正方形隊列表演，去掉一行一列，去掉了人，那我們就要思考每行去掉了幾個同學(xué)。因為是正方形隊列，所以每行每列人數(shù)一樣多，但在數(shù)的時候，站在角落的同學(xué)被數(shù)了兩次，那么現(xiàn)在求每行的人數(shù)時就要在里面多加一個。現(xiàn)在每行人，這個方正共人。9.小明養(yǎng)了一些花，他將這些花排成行列的方陣，后來小明又買了一些花，擺在一起形成新的方陣，這樣正好比原來的多行列，求小明后來買了多少盆花？,【分析】可以根據(jù)“實心方陣總數(shù)每邊數(shù)每邊數(shù)”，小明原有盆花。小明現(xiàn)有盆花。小明后來買了盆花。1.有一堆棋子排成實心方陣多余只，如果縱、橫各增加一排，則缺只，問一共有棋子多少？【分析】根據(jù)題意可知原實心方陣新增一排一列需要只棋子，那么增加后的每排有只，那么原來的實心方陣共有只棋子，那么一共有棋子只。2.某班抽出一些學(xué)生參加節(jié)日活動表演，想排成一個正方形方陣，結(jié)果多出人；如果每行每列再增加一排，卻少了人，問共抽出學(xué)生多少人？【分析】根據(jù)題意可知再增加一排一列需要學(xué)生（人），那么增加一排一列之后最外層每排人數(shù)為（人），抽出的學(xué)生人數(shù)為（人）。3.有枚圍棋子，擺成一個的正方形。甲、乙兩人依次從最外一層起取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了枚棋子?！痉治觥看苏叫我还灿校▽樱?，最內(nèi)層棋子數(shù)為（枚）。甲取了四次，分別為第、、、層（由內(nèi)向外數(shù)），乙取了三次，分別為第、、層，根據(jù)方陣的特點，前三次甲每次都比乙多取枚，可見，甲比乙一共多取了（枚）棋子。4.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法,種成行列的方陣,問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?【分析】()最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為:(棵)()當(dāng)楊樹種在最外層角上時,楊樹比柳樹多棵:　　　　楊樹:棵)　　　　柳樹:(棵)　　()當(dāng)柳樹種在最外層角上時,柳樹比楊樹多樹　　　　柳樹：(棵)　　　　楊樹(棵)空心方陣1.媽媽用圍棋子圍成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子個，媽媽擺這個方陣共用了多少個圍棋子？【分析】法一：最外層棋子數(shù)為（個）；中間層棋子數(shù)為（個）；最內(nèi)層棋子數(shù)為（個）。那么方陣共有棋子總數(shù)為（個）。法二：（個）。2.一個五層空心方陣最外層每邊有人，則最內(nèi)層有多少人？,【分析】最內(nèi)層每邊人數(shù)為：（人）。那么最內(nèi)層總?cè)藬?shù)為（人）。1.一個七層空心方陣最外一層共有人，則最內(nèi)層共有多少人？【分析】（人）。2.明明用圍棋子擺成一個三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子個,明明擺這個方陣最里層一周共有多少棋子？擺這個三層空心方陣共用了多少個棋子?【分析】最內(nèi)層每邊有：個，最內(nèi)層一周共有：個擺這三層共用了：個棋子3.將個棋子擺成一個層空心方陣，最內(nèi)層每邊有多少枚棋子？【分析】棋子一共有層，容易知道外層比中層多枚，內(nèi)層比中層少枚；因此中層的棋子數(shù)就是這層棋子數(shù)的平均數(shù)為枚。中層每邊棋子數(shù)為枚。向里一層，每邊棋子數(shù)又減少，內(nèi)層每邊棋子數(shù)為枚。4.將個棋子擺成一個層空心方陣，最內(nèi)層每邊有多少枚棋子？【分析】棋子一共有層，容易知道外層比內(nèi)層多枚；所以，內(nèi)層有枚。內(nèi)層每邊棋子數(shù)為枚。5.在一次團(tuán)體操表演中，有一個空心方陣最外層有人，最內(nèi)層有人，參加團(tuán)體操表演的共多少人？【分析】（方法一）里面一層比外面一層少人，則從最外面一層到最里面一層的人數(shù)依次為、、、。參加團(tuán)體操表演的共人。（方法二）根據(jù)最外層和最內(nèi)層人數(shù)，可以分別求出內(nèi)外層每邊的人數(shù)。一個空心方陣，可以看做從一個最外層有人的實心方陣中，減去了一個小方陣。外層每邊人數(shù)為人，內(nèi)層每邊人數(shù)為人。參加團(tuán)體操表演的共人。6.在一次團(tuán)體操表演中，有一個空心方陣有層，最外層有人，參加團(tuán)體操表演的共多少人？【分析】（方法一）里面一層比外面一層少人，則從最外面一層到最里面一層的人數(shù)依次為、、、、、、、。參加團(tuán)體操表演的共人。（方法二）根據(jù)最外層和最內(nèi)層人數(shù)，可以分別求出內(nèi)外層每邊的人數(shù)。一個空心方陣，可以看做從一個最外層有人的實心方陣中，減去了一個小方陣。外層每邊人數(shù)為人，內(nèi)層每邊人數(shù)為人，參加團(tuán)體操表演的共人。7.現(xiàn)有一個一層空心方陣的花壇，共有盆花，現(xiàn)要在這層花的外面和里面各加上兩層，請問一共要加上多少盆花？【分析】（方法一）外面一層有盆，再外面一層有盆。,里面一層有盆，再里面一層有盆。一共要加上盆。（方法二）對于一個一層空心方陣向外和向內(nèi)增加一層，向外一層比原有的一層多的數(shù)與向里一層少的數(shù)相等。所以，一共要加上盆。1.李小姐想將原本行列的實心方陣花壇改成一個層的空心方陣，求此空心方陣的最外層每邊有多少盆花？【分析】花盆總數(shù)總數(shù)為盆?？招姆疥囎钔鈱用窟呌信?。2.某實心方陣最外層有人，若改成層的中空方陣，它的最外層有多少人？【分析】原實心方陣總?cè)藬?shù)為（人），改成中空方陣后最外層的總?cè)藬?shù)為：（人）。3.用棋子擺成最外層每邊粒的實心方陣，若改為層的空心方陣，它的最外層每邊有多少粒棋子？【分析】棋子總數(shù)為（粒），改成空心方陣之后最外層每邊有（粒）。4.用若干棋子擺成層數(shù)大于一層的實心方陣，再把這個實心方陣拆開，用這些棋子擺成一個只有一層的空心方陣，最少需要多少個棋子？【分析】假設(shè)原來的方陣為行列（），拆成一層的空心方陣時每邊的棋子數(shù)為（為正整數(shù)），那么有，若要此式成立需滿足為的倍數(shù)，滿足題意的最小的數(shù)為，此時，，棋子總數(shù)為。5.有一個用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有個圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來，在外層再擺一層，變成一個新的中空方陣，應(yīng)再增加多少圓片？【分析】法一：內(nèi)層一共有（個）圓片，在外層之外再擺一層需要（個），可見需要增加（個）圓片。法二：根據(jù)方陣的特點可知，新增的那一層比內(nèi)層應(yīng)該多（個）圓片。6.同學(xué)們用盆花排出一個兩層空心方陣，后來又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少盆花？【分析】對于兩層方陣，外層比內(nèi)層多盆，兩層共盆，利用和差問題的解法，可以求出外層盆數(shù)是(盆)，從而得出需增加的盆數(shù)，(盆)．7.為了準(zhǔn)備學(xué)校的集體舞比賽，四年級的學(xué)生在排隊形．如果排成3層空心的方陣則多10人，如果在中間空心的部分接著增加一層又少6人．問一共有多少個學(xué)生參加排練呢？【分析】在內(nèi)部增加一層，人數(shù)由多出10人變?yōu)榉炊?人，所以這一層人數(shù)為人．⑴中間空心部分加一層，每邊有(人)⑵四層方陣有(人)⑶一共有學(xué)生(人),1.一隊?wèi)?zhàn)士排成三層空心方陣多出人，如果空心部分再加一層又少人，這隊?wèi)?zhàn)士共有多少人？如果他們改成實心方陣，每邊應(yīng)有多少人？【分析】把多余的人放在方陣內(nèi)部還少人，可見方陣內(nèi)部增加一層，需要人，因此向外三層的每層人數(shù)都可以求出．從內(nèi)向外每層人數(shù)依次是:第一層:(人)，第二層:(人)，第三層:(人)，總?cè)藬?shù):(人)，因為，所以排成實心方陣每邊有人．2.有一群學(xué)生排成三層空心方陣，多人，如空心部分增加兩層，又少人，問有學(xué)生多少人？【分析】增加的兩層人數(shù)為：（人），這兩層人數(shù)之差是人，因此最里層有（人），現(xiàn)在的方陣共層，那么最外層有（人），知道最外層人數(shù)及層數(shù)就不難求出總?cè)藬?shù)是人．3.有一個用方形瓷磚拼成的正方形，要在橫、豎方向分別增加三排瓷磚，拼成一個大正方形，一共需要增加塊瓷磚，問原來的正方形是由幾塊瓷磚拼成的？【分析】原來的正方形最外層的瓷磚塊數(shù)為（塊），那么原來的正方形中瓷磚的塊數(shù)為（塊）。混合方陣1.在第五屆運動會上，紅星小學(xué)組成了一個混合型方陣，方陣最外層每邊人，共有層，中間層的位置由個同學(xué)抬著這次運動會的會徽，問這個方塊隊共有多少同學(xué)組成？【分析】根據(jù)題意可知由內(nèi)向外數(shù)前五層一共有個同學(xué)，后五層形成一個最外層每邊人數(shù)為的五層空心方陣，該空心方陣人數(shù)為（人），那么學(xué)生總數(shù)為（人）。2.在一次運動會開幕式上，有一大一小個方陣合并變換成一個行列的方陣，求原來這個方陣各有多少人？【分析】行列的方陣由人組成。原來的小方陣和大方陣每行或每列人數(shù)都不會超過人。運用枚舉法。大方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取或，對應(yīng)的小方陣的人數(shù)為或。大方陣有人，小方陣有人。3.在一次運動會開幕式上，有一大一中一小個方陣合并變換成一個行列的方陣，求原來這個方陣各有多少人？【分析】行列的方陣由人組成。原來的小方陣和中方陣每行或每列人數(shù)都不會超過人。大方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取或或或。當(dāng)大方陣人數(shù)為時，中方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取，則小方陣人數(shù)為人，不能組成方陣。當(dāng)大方陣人數(shù)為時，中方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取或或，則對應(yīng)的小方陣人數(shù)為或或，不能組成方陣。當(dāng)大方陣人數(shù)為時，中方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取或或，則對應(yīng)的小方陣人數(shù)為或或，不能組成方陣。,當(dāng)大方陣人數(shù)為時，中方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取，則小方陣人數(shù)為，可以組成方陣。大方陣有人、中方陣有人、小方陣有人。1.小華觀看團(tuán)體操表演，他看到表演隊伍中的一個方陣變換成一個正三角形實心隊列，他估計隊伍中人數(shù)大概在至人之間，你能告訴他到底有多少人嗎？【分析】方陣總?cè)藬?shù)的特點:它是兩個相同自然數(shù)的積，而三角形隊列總?cè)藬?shù)的特點是:總數(shù)是從開始若干個連續(xù)自然數(shù)的和，我們只要在的范圍內(nèi)找出同時滿足這兩個條件的數(shù)就可以得出總?cè)藬?shù)．由于隊伍可以排成方陣，在至人的范圍內(nèi)人數(shù)可能是人或人，又因為，所以總?cè)藬?shù)是人．2.儀仗隊員組成兩個實心方陣，甲方陣每邊人，后來兩隊合在一起排成一個中空方陣的丙方陣，丙方陣最外層一邊人數(shù)比乙方陣最外層一邊人數(shù)多人，又原來甲方陣的人正好填滿丙方陣空心。求原乙方陣每邊的人數(shù)（指最外層一邊人數(shù)）是多少？【分析】根據(jù)題意可知在乙方陣外再增加層的話乙方陣與丙方陣最外層人數(shù)相等，此時若將丙方陣的空心填滿，那么增加層后的乙方陣與填滿空心的丙方陣總?cè)藬?shù)也相等，，由此可得：乙方陣總?cè)藬?shù)新加層的人數(shù)丙方陣總?cè)藬?shù)甲方陣總?cè)藬?shù)甲方陣總?cè)藬?shù)乙方陣總?cè)藬?shù)甲方陣總?cè)藬?shù)，可見乙方陣新加層所需人數(shù)等于甲方陣總?cè)藬?shù)的兩倍。那么乙方陣新增加層所需人數(shù)為（人），那么原乙方陣最外層每邊人數(shù)為（人）。一課一練1.某校三年級的同學(xué)排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為人，問最外一層每邊上有多少人？這個方陣共有三年級的學(xué)生多少人？【分析】每邊人數(shù)為（人）；三年級總?cè)藬?shù)為（人）。2.一個方陣花壇共有層，最內(nèi)層每邊有株花草，問花壇的花草總數(shù)是多少？【分析】法一：根據(jù)題意可知花壇最外層每邊有（株）花草，那么花壇的花草總數(shù)為（株）。法二：根據(jù)題意可知花壇最外層每邊有（株）花草，那么花壇的花草總數(shù)為（株）。3.三年級一班排隊做操，剛好可以排成排列的方陣，問三年級一班一共有多少人？【分析】（人）。4.（2008年陳省身杯）小朋友們做廣播體操，小明恰好站在隊列的正中心，此時無論是從前往后或者從后往前數(shù)他都排在第5個，無論是從左往右或者是從右往左數(shù)他都排在第6個，則這個隊列中一共有________位小朋友．【分析】根據(jù)題意知：每列有(人)，每行有（人），則這個隊列共有：（人）．5.在一塊正方形草地四周種樹，四個角上都種上一棵，每邊種棵，這塊草地四周共種樹多少棵?,【分析】（棵）。1.某年級同學(xué)排成方陣隊形參加廣播操比賽，因服裝問題要橫豎各減少一排，這樣共去掉了人，則此年級原定有多少人參加廣播操比賽？【分析】該年級原有排（列）數(shù)為，那么原有參賽人數(shù)為（人）。2.運動員入場式要求排成一個行列的正方形方陣，如果去掉行列，要減少多少運動員？【分析】法一：去掉兩行兩列之后的方陣為行列，那么減少的人數(shù)為（人）。法二：去掉兩行時去掉了（人），再去掉兩列時又去掉了（人），因此一共去掉了（人）。3.體育課上，老師把學(xué)生們排成一個正方形方隊，其中有兩行、兩列都是男生，男生共有人，其余是女生，問參加這個方隊的學(xué)生共有多少人?【分析】此正方形方隊中每一行（列）人數(shù)為（人），那么這個方隊總?cè)藬?shù)為（人）。4.將棋子排成實心方陣，甲、乙兩人自其外周起，輪流取一周，結(jié)果甲比乙多得粒，問棋子總數(shù)有多少粒？【分析】每相鄰兩層外層比內(nèi)層多粒棋子，最內(nèi)一層有粒棋子?？梢婎}中是甲先取，若最內(nèi)層是甲取得，那么甲一共取了，可見最內(nèi)層應(yīng)該是乙取得的，甲一共取了（次），該方陣一共有（層），最外層的棋子數(shù)為（粒），那么棋子總數(shù)為（粒）。5.弟弟用圍棋子擺成一個五層的空心方陣，最外一層每邊有個棋子，問弟弟擺這個方陣,共用多少個棋子?【分析】（個）。6.一個六層空心方陣最內(nèi)層每邊有6人，則最外層有多少人？【分析】最外層每邊人數(shù)為：（人）。那么最外層總?cè)藬?shù)為（人）。7.解放軍進(jìn)行排隊表演，組成一個外層有人，內(nèi)層有人的多層中空方陣，這個方陣有幾層？一共有多少人？【分析】層數(shù)為（層），總?cè)藬?shù)為（人）。8.個棋子擺成一個三層空心方陣，最內(nèi)層每邊有多少棋子？【分析】棋子一共三層，容易知道外層比中層多個，內(nèi)層比中層少個，因此中層的棋子數(shù)就是三層的平均數(shù)為(個)，可以求出中層每邊的棋子數(shù)，向里一層，每邊棋子數(shù)又減少,．中層總數(shù):(個)．中層每邊個數(shù):(個)，內(nèi)層每邊個數(shù):(個)．1.三年級一共有學(xué)生人，若將這些學(xué)生排成一個層空心方陣，請問最外一層有多少學(xué)生？【分析】中間一層的人數(shù)：人。最外一層有：人2.某實心方陣最外層有人，若改成層的中空方陣，它的最外層有多少人？【分析】原實心方陣總?cè)藬?shù)為（人），改成中空方陣后最外層的總?cè)藬?shù)為：（人）。3.將的實心方陣改成三層空心方陣，那么空心方陣最外層每邊人數(shù)是多少？【分析】方陣總?cè)藬?shù)為（人），那么空心方陣外層每邊人數(shù)為（人）。4.將一個最外層每邊枚棋子的層空心方陣轉(zhuǎn)換成一個層空心方陣，求新的方陣最外層每邊有多少枚棋子？【分析】因為，空心方陣總個數(shù)最外層每邊個數(shù)－層數(shù)層數(shù)；所以，最外層每邊個數(shù)空心方陣總個數(shù)層數(shù)層數(shù)。棋子總數(shù)有轉(zhuǎn)換后空心方陣最外層每邊有枚棋子。5.有柳樹若干棵，若排成三層的空心方陣，尚余棵，在空心部分增加一層，則缺棵，柳樹有多少棵？【分析】根據(jù)題意可知在中空部分增加一層需要柳樹棵，那么中空方陣最外層柳樹的棵數(shù)為（棵），由此可知柳樹的棵數(shù)為（棵）。6.有一群學(xué)生排成三層空心方陣，多人，如空心部分增加一層，又少人，問有學(xué)生多少人？【分析】增加的一層人數(shù)為人，一共有學(xué)生：人7.每邊長米的正方形水池邊鋪正方形水泥塊，這種水泥塊每邊為厘米。如果緊靠水池邊鋪三層水泥塊（水泥塊緊靠在一起），成為三層空心方陣，共要水泥塊多少塊？【分析】米厘米厘米。緊靠水池邊的第一層需要水泥塊（塊），第三層需要水泥塊（塊），那么一共需要水泥塊數(shù)量為（塊）。8.聯(lián)歡會表演活動，某表演活動學(xué)生組成一空心方陣，先知道最外面一層與最里面一層共有人，求這個方陣共有幾人？【分析】因為是空心方陣，所以最里面一層至少有人。當(dāng)最里面一層有人時，最外面一層人；最里面一層每邊有人，最外里面一層每邊有人；,這個方陣共有人。當(dāng)最里面一層有人時，最外面一層人；最里面一層每邊有人，最外里面一層每邊有人；這個方陣共有人。當(dāng)最里面一層有人時，最外面一層人；最里面一層每邊有人，最外里面一層每邊有人；這個方陣共有人。當(dāng)最里面一層有人時，最外面一層人；最里面一層每邊有人，最外里面一層每邊有人；這個方陣共有人。當(dāng)最里面一層有人時，最外面一層人；這個方陣共有人。1.在一次運動會開幕式上，有一大一小個方陣合并變換成一個行列的方陣，求原來這個方陣各有多少人？【分析】行列的方陣由人組成。原來的小方陣和大方陣每行或每列人數(shù)都不會超過人。運用枚舉法。大方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取或或或，對應(yīng)的小方陣的人數(shù)為或或或。大方陣有人，小方陣有人。2.解放軍戰(zhàn)士若干分成兩隊，可排成甲、乙兩個實心方陣，其中甲方陣每邊人數(shù)是人，如果兩隊合并，可以排成另一個空心的丙方陣，丙方陣最外層每邊人數(shù)比乙方陣最外層每邊人數(shù)多人，甲方陣的戰(zhàn)士正好能填滿丙方陣的空心，問解放軍戰(zhàn)士一共有多少人？【分析】根據(jù)題意可知在乙方陣外再增加層的話乙方陣與丙方陣最外層人數(shù)相等，此時若將丙方陣的空心填滿，那么增加兩層后的乙方陣與填滿空心的丙方陣總?cè)藬?shù)也相等，由此可得：乙方陣總?cè)藬?shù)新加兩層的人數(shù)丙方陣總?cè)藬?shù)甲方陣總?cè)藬?shù)甲方陣總?cè)藬?shù)乙方陣總?cè)藬?shù)甲方陣總?cè)藬?shù)，可見乙方陣新加兩層所需人數(shù)等于甲方陣總?cè)藬?shù)的兩倍。那么乙方陣新加兩層所需人數(shù)為（人），那么乙方陣最外層每邊人數(shù)為（人），由此可知解放軍的總?cè)藬?shù)為（人）。補充題庫3.一個街心花園如下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有棵花，問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園共栽有多少棵花？,【分析】大三角形的每條邊上栽花的棵數(shù)為（棵），大三角形一周共栽花（棵）打了陰影的小三角形一周栽花（棵）。而陰影三角形的三個頂點與大三角形的邊上的點重合，那么整個花園共栽花（棵）。1.一個長方形隊列，如果增加一橫行和一豎行，就要增加人。這個長方形隊列原來最少有人?！痉治觥窟@個隊列原來長+寬=（人），所以最少為（人）。2.甲、乙兩隊在正方形場地上種樹，要把樹按方陣的形式種滿。第一次每隊種樹棵，第二次每隊又種棵，這樣一直種下去，最后一次甲隊仍種棵，而乙隊種的不足棵。收工后，兩個隊長都說“我們兩個隊今天共種了二百多棵樹。”你能說出他們各自種樹的準(zhǔn)確數(shù)量嗎？【分析】根據(jù)題意可知總數(shù)大于二百而小于三百；且其十位上的數(shù)字一定是奇數(shù)。而方陣中樹的總數(shù)一定是某個數(shù)的平方，那么平方等于二百多的數(shù)從小到大有：，，。這其中符合要求的就只有。而，那么甲隊種樹（棵），乙隊種樹（棵）。3.（第四屆希望杯四年級1試）希望小學(xué)舉行運動會，全體運動員的編號是從1開始的連續(xù)整數(shù)，他們按圖1中實線所示，從第1行第1列開始，按照編號從小到大的順序排成一個方陣。小明的編號是28，他排在第3行第4列，則運動員共有人?！痉治觥?8號在第3行第4列，那么前兩行共有28-4＝24人，每行有24÷2＝12人，共有12×12＝144人。4.一些棋子被擺成了一個四層的空心方陣（右圖是一個四層空心方陣的示意圖）．后來小林又添入28個棋子，這些棋子恰好變成了一個五層的空心方陣（不能移動原來的棋子），那么最開始最少有個棋子．【分析】將四層空心方陣變成五層空心方陣有三種方法，一種是在最外層增加一圈（兩行兩列），第二種是在最內(nèi)層增加一圈（兩行兩列），第三種是在最內(nèi)層增加一行一列，在最外層的另外兩個方向也增加一行一列．五層空心方陣的最外層至少有枚棋子，所以第一種情況不符合題意，如果是第二種情況，那么最外層應(yīng)該有枚棋子，最開始應(yīng)該有枚棋子．如果是第三種情況，那么設(shè)五層方陣最內(nèi)圈邊長為，那么最外圈邊長為，一共增加的棋子數(shù)為枚，所以，解得．五層方陣的最外層邊長為，原有棋子枚．所以最開始至少有枚棋子．,