2004年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.已知全集，???，???，那么?A.???B.????C.????.D???2.滿足條件?數(shù)復的??????在復平面上對應點的軌跡是?A.一條直線B.兩條直線C.圓D.橢圓3.設、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面．給出下列四個命題，其中正確命題的序號是（）①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則A.①②B.②③C.③④D.①④4.如圖，在正方體?????????中，是側(cè)面????內(nèi)一動點，若到直線?與直線???的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是（）A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線5.函數(shù)???????在區(qū)間?間上存在反函數(shù)的充分必要條件是（）A.??間?B.間C.?間D.??間?間6.已知，且，那么下列選項中不一定成立的是（）A.B.???.D.C?7.從長度分別為?、、?、?的四條線段中，任取三條的不同取法共有種．在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的三角形的個數(shù)為，則等于（）???A.B.C.D.????8.函數(shù)??其中、為實數(shù)集的兩個非空子集，又規(guī)定???????，?間??????間?．給出下列四個判斷，其中正確判斷有（）①若，則??；②若，則??；試卷第1頁，總7頁 ③若R，則??R；④若R，則??R．A.?個B.個C.?個D.?個二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.函數(shù)??＝cos???sin?cos?的最小正周期是________．10.學校籃球隊五名隊員的年齡分別為?，??，?，??，??，其方差為財?，則三年后這五名隊員年齡的方差為________．11.某地球儀上北緯?緯線的長度為?，該地球儀的半徑是________，表面積是________．?cos12.曲線（為參數(shù)）的普通方程是________，如果曲線與直線???sin??有公共點，那么實數(shù)的取值范圍是________．13.在函數(shù)????中，若，，成等比數(shù)列且???，則??有最________值（填“大”或“小”），且該值為________．14.定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且?，公和為，那么??的值為________，這個數(shù)列的前項和的計算公式為________．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.在?中，sincos，，??，求tan的值和?的面積．16.如圖，在正三棱柱??????中，??，??，為?的中點，是?上一點，且由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱?到的最短路線長為，設這條最短路線與?的交點為，求：（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長（2）和的長（3）平面與平面?所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）17.如圖，過拋物線???間??點定一上???，作兩條直線分別交拋物線于???間?間???，??（1）求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點的距離試卷第2頁，總7頁 ???（2）當與?的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線?的斜率?是非零常數(shù)．?18.函數(shù)??是定義在間?上的增函數(shù)，滿足???且???，在每個區(qū)間???，???間…上，???的圖象都是斜率為同一常數(shù)的直線的一部分．???????（1）求?及?，?的值，并歸納出????間間的表達式????（2）設直線?，?，?軸及???的圖象圍成的矩形的面積為????lim????間…，記???，求?的表達式，并寫出其定義域和最小值．19.某段城鐵線路上依次有、?、三站，?，??，在列車運行時刻表上，規(guī)定列車?時整從站發(fā)車，?時分到達?站并停車?分鐘，?時?分到達站，在實際運行中，假設列車從站正點發(fā)車，在?站停留?分鐘，并在行駛時以同一速度勻速行駛，列車從站到達某站的時間與時刻表上相應時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差．（1）分別寫出列車在?、兩站的運行誤差（2）若要求列車在?，兩站的運行誤差之和不超過分鐘，求的取值范圍．20.給定有限個正數(shù)滿足條件：每個數(shù)都不大于且總和?．現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進行分組，每組數(shù)之和不大于?且分組的步驟是：首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得?與這組數(shù)之和的差?與所有可能的其他選擇相比是最小的，?稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時的余差為；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為?）、第四組（余差為?）、…，直至第組（余差為）把這些數(shù)全部分完為止．（1）判斷?，，…，的大小關(guān)系，并指出除第組外的每組至少含有幾個數(shù)；（2）當構(gòu)成第?組后，指出余下的每個數(shù)與的大小關(guān)系，并證明????；??（3）對任何滿足條件的有限個正數(shù)，證明：??．試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2004年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.D2.C3.A4.D5.D6.C7.B8.B二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.10.財?11.??,?12.?????,???13.大,???14.?,當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，?三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：??∵sincossin??，?∴sin??．又??，∴??，?．??∴tantan?????．????由??得：sinsin?sin??sin?coscos?sin．????∴??sin??．??16.解：（1）正三棱柱??????的側(cè)面展開圖是一個長為，寬為?的矩形，其對角線長為?（2）如圖?，將側(cè)面??繞棱旋轉(zhuǎn)?使其與側(cè)面在同一平面上，?????點運動到點?的位置，連接?，則?就是由點沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱?到點的最短路線試卷第4頁，總7頁 設?，則?，在中，由勾股定理得?????求得?∴??∵??∴（3）如圖，連接?，則?就是平面與平面?的交線，作?于，又?平面?，連接，由三垂線定理得，?∴就是平面與平面?所成二面角的平面角（銳角）?在中，∵?，∴???在中，tan??故平面與平面?所成二面角（銳角）的大小為arctan17.解：（1）當?時，??又拋物線??為程方線準的??由拋物線定義得，所求距離為?????（2）設直線的斜率為，直線?的斜率為?由?，?????相減得??????????????????故???????????試卷第5頁，總7頁 同理可得??????由，?傾斜角互補知??即??????所以????????故??設直線?的斜率為?由?，?????相減得??????????????????所以????????????將??得入代???????，所以?是非零常數(shù)????18.解：（1）由??，得?，????由???及???，得???，????同理，??，????歸納得????間間，??????????（2）當????????????????????????時??????????????間間，?????????????所以是首項為???，公比為的等比數(shù)列，???lim????所以????????的定義域為?，??????當?時取得最小值．19.解：（1）由題意可知：列車在?，兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是????和??????（2）由于列車在?，兩站的運行誤差之和不超過分鐘，所以??????????當時，??式變形為?????解得???????當時，??式變形為?????????解得??試卷第6頁，總7頁 ?????當時，??式變形為?????????解得????綜上所述，的取值范圍是?間??20.解：（1）?．除第組外的每組至少含有?個數(shù)（2）當?shù)诮M形成后，因為，所以還有數(shù)沒分完，這時余下的每個數(shù)必大于余差，余下數(shù)之和也大于第組的余差，即???????????由此可得???????因為????????，所以????（3）用反證法證明結(jié)論，假設??，即第??組形成后，還有數(shù)沒分完，由（1）和（2）可知，余下的每個數(shù)都大于第??組的余差??，且????????故余下的每個數(shù)????財???因為第??組數(shù)中至少含有?個數(shù)，所以第??組數(shù)之和大于?財???財此時第??組的余差????第??組數(shù)之和????財?財這與??式中???財矛盾，所以??．試卷第7頁，總7頁