2005年北京市高考數學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.設全集耀，集合???，???，則下列關系中正確的是（）A.B.C.D.2.“”是“直線????線直與????相互垂直”的A.充分必要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件3.若，，，且，則向量與的夾角為A.??B.?C.?D.?4.從原點向圓????作兩條切線，則該圓夾在兩條切線問的劣弧長為（）A.B.C.D.5.對任意的銳角，，下列不等關系中正確的是（）A.sinsinsinB.sincoscosC.cossinsinD.coscoscos6.在正四面體?中，，，分別是?，?，的中點，下面四個結論中不成立的是（）A.?平面B.平面C.平面平面?D.平面平面?7.北京《財富》全球論壇期間，某高校有名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數為（）A.B.?C.?D.??cos?8.函數?cos???A.在????上遞增，在???上遞減??B.在??，?上遞增?在?，?上遞減試卷第1頁，總9頁,??C.在?，?上遞增，在??，?上遞減??D.在???上遞增，在????上遞減二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.若，?，且為純虛數，則實數的值為________．10.已知tan，則tan的值為________，tan的值為________．?11.??展開式中的常數項是________．?12.過原點作曲線??的切線，則切點的坐標為________，切線的斜率為________．13.設函數??，對于任意的?，???，有下列命題??①????；②????；③?；??????④．其中正確的命題序號是________．14.已知次多項式???????．?如果在一種算法中，計算????,…,的值需要次乘法，計算?的值???共需要次運算（次乘法，?次加法），那么計算??的值共需要________次運算．下面給出一種減少運算次數的算法：????．???????,…,．利用該算法，計算???的值共需要次運算，計算??的值共需要________次運算．三、解答題（共6小題，15、17題每題13分，16、18、20題每題14分，19題12分，滿分80分）)15.已知函數??????．求?的單調遞減區(qū)間；若?在區(qū)間?上的最大值為?，求它在該區(qū)間上的最小值．16.如圖，在直四棱柱??中，?，?，?，，?垂足為．（1）求證?；（2）求二面角?的大?。唬?）求異面直線與?所成角的大?。嚲淼?頁，總9頁,17.甲、乙倆人各進行?次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為．?（1）記甲擊中目標的次數為，求的概率分布及數學期望；（2）求乙至多擊中目標次的概率；（3）求甲恰好比乙多擊中目標次的概率．18.如圖，直線???線直與????之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為，其左半部分記為，右半部分記為．（1）分別用不等式組表示和．（2）若區(qū)域中的動點???到?，?的距離之積等于，求點的軌跡的方程；（3）設不過原點的直線?與（2）中的曲線相交于，兩點，且與?，?分別交于?，兩點．求證的重心與?的重心重合．是偶19.設數列的首項，且，記，，，是奇?…（1）求，?；（2）判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；lim（3）求???20.設?是定義在??上的函數，若存在???，使得?在???上單調遞增，在??單調遞減，則稱?為??上的單峰函數，?為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間．對任意的??上的單峰函數?，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．（1）證明：對任意的?，???，??，若??，則???為含峰區(qū)間；若??，則??為含峰區(qū)間；（2）對給定的???，證明：存在?，???，滿足??，使得由（1）確定的含峰區(qū)間的長度不大于??；（3）選取?，???，??由（1）可確定含峰區(qū)間為???或??，在所得的含峰區(qū)間內選取??，由??與?或??與?類似地可確定是一個新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為???的情況下，試確定?，?，??的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于???且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到???．（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）．試卷第3頁，總9頁,參考答案與試題解析2005年北京市高考數學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.C2.B3.C4.B5.D6.C7.A8.A二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.?10.,?11.?12.?,13.①③④14.?,三、解答題（共6小題，15、17題每題13分，16、18、20題每題14分，19題12分，滿分80分）15.解：????．令??，解得?或??，所以函數?的單調遞減區(qū)間為?，??．因為，，所以．因為在??上??，所以?在?上單調遞增，又由于?在?上單調遞減，因此和分別是?在區(qū)間?上的最大值和最小值，于是有?，解得．故??????，因此?，即函數?在區(qū)間?上的最小值為．試卷第4頁，總9頁,16.解：法一：（1）在直四棱柱??中，∵底面?．∴是在平面?上的射影．∵?．∴?；（2）連接，，．與（1）同理可證?，?，∴為二面角?的平面角．∵，∴?，又，?，?且?，∴，，?，∴，?，在中，，∴?，即二面角?的大小為?．（3）過?作?交于，連接，則?就是與?所成的角．∵?，?，，∴?，，，?，∴，?，在?中，cos?，∴?arccos即異面直線與?所成角的大小為arccos．法二：（1）同解法一（2）如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為?軸，?軸，軸，建立空間直角坐標系．連接，，．與①同理可證，?，?，∴為二面角的平面角．??由????????????試卷第5頁，總9頁,????得???，????∴??，∴，即．∴二面角的大小為?（3）如圖，由?????，????，?????，??????，得????，??????，∴?，?，，?，?∴cos??，?∵異面直線與?所成角的大小為arccos．法三：（1）同解法一．（2）如圖，建立空間直角坐標系，坐標原點為．連接，，．與（1）同理可證?，?，∴為二面角?的平面角．由?????????，?????．得????，?????．∵???，∴即，∴二面角?的大小為?．17.解：（1）由題意得甲擊中目標的次數為?、、、?，根據獨立重復試驗公式得到變量對應的概率，當變量為?時表示沒有擊中目標，當變量為時表示擊中目標次，當變量為時表示擊中目標次，當變量為?時表示擊中目標?次，??∴?，?試卷第6頁，總9頁,??，???，????，?∴的概率分布如下表：????????，（或??）；（2）乙至多擊中目標次的對立事件是乙能擊中?次，有對立事件的概率公式得到??概率為；??（3）設甲恰比乙多擊中目標次為事件，甲恰擊中目標次且乙恰擊中目標?次為事件?，甲恰擊中目標?次且乙恰擊中目標次為事件?，則??，??，?為互斥事件??∴甲恰好比乙多擊中目標次的概率為．18.解：（1）根據圖象可知陰影區(qū)域左半部分，在?在，方下的???的上邊，故??知可圍范的??，且??，陰影區(qū)域右半部分，在?，邊下的???的上方，??∴???????，???????????，??????（2）直線?????線直，???，由題意得，即，由????知，??，??所以，即???，所以動點的軌跡的方程為???；（3）當直線?與?軸垂直時，可設直線?的方程為??．由于直線?，曲線關于?軸對稱，且?與?關于?軸對稱，于是，?的中點坐標都為??，所以，?的重心坐標都為??，即它們的重心重合，?當直線?與?軸不垂直時，設直線?的方程為???．???由，得?????由直線?與曲線有兩個不同交點，可知?且?試卷第7頁，總9頁,設，的坐標分別為?????，?，則??，????，設?，的坐標分別為??????，??，??由得??，???從而?????，所以??????????，于是的重心與?的重心也重合．19.解：（1），?；??（2）∵?，所以，所以，?，?，猜想：是公比為的等比數列•證明如下：因為，所以是首項為，公比為的等比數列．limlimlim（3）???．20.證明：（1）設?為?的峰點，則由單峰函數定義可知，?在???上單調遞增，在??上單調遞減．當??時，假設????，則???，從而???，這與??矛盾，所以????，即???是含峰區(qū)間．當??時，假設???，則???，從而???，這與??矛盾，所以???，即??是含峰區(qū)間．（2）由（1）的結論可知：當??時，含峰區(qū)間的長度為??；當??時，含峰區(qū)間的長度為??；???對于上述兩種情況，由題意得①???由①得??，即??又因為??，所以??，②將②代入①得???，???，③由①和③解得???，???．所以這時含峰區(qū)間的長度????，即存在?，?使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于??．（3）解：對先選擇的?；?，??，由（2）可知???，④在第一次確定的含峰區(qū)間為???的情況下，??的取值應滿足????，⑤試卷第8頁，總9頁,??由④與⑤可得，???當???時，含峰區(qū)間的長度為?．由條件??????，得?????，從而????．因此，為了將含峰區(qū)間的長度縮短到???，只要取????，???，?????．試卷第9頁，總9頁