2008年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.已知全集U=R，集合A={x|-2≤x<3}，B={x|x<-1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）A.{x|-13}C.{x|-2≤x<-1}D.{x|-1≤x<3}2.若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin2π5，則（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a3.“函數(shù)f(x)(x∈R)存在反函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.若點P到直線x=-1的距離比它到點(2, 0)的距離小1，則點P的軌跡為（ ）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線5.若實數(shù)x，y滿足x-y+1≥0x+y≥0x≤0?則z＝3x+2y的最小值是（）A.0B.1C.3D.96.已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）A.-165B.-33C.-30D.-217.過直線y=x上的一點作圓(x-5)2+(y-1)2=2的兩條切線l1，l2，當直線l1，l2關(guān)于y=x對稱時，它們之間的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.如圖，動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上．過點P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N．設BP=x，MN=y，則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是( )A.B.C.D.二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.已知(a-i)2=2i，其中i是虛數(shù)單位，那么實數(shù)a=________．10.已知向量a→與b→的夾角為120°，且|a→|=|b→|=4，那么b→⋅(2a→+b→)的值為________．試卷第7頁，總7頁, 11.若(x2+1x3)n展開式的各項系數(shù)之和為32，則n=________，其展開式中的常數(shù)項為________（用數(shù)字作答）．12.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，則f（f(0)）=________；lim△x→0f(1+△x)-f(1)△x=________．（用數(shù)字作答）13.已知函數(shù)f(x)=x2-cosx，對于[-π2, π2]上的任意x1，x2，有如下條件：①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2．其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號是________．14.某校數(shù)學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第k棵樹種植在點Pk(xk, yk)處，其中x1=1，y1=1，當k≥2時，xk=xk-1+1-5[T(k-15)-T(k-25)]yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25)T(a)表示非負實數(shù)a的整數(shù)部分，例如T(2.6)=2，T(0.2)=0．按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為________；第2009棵樹種植點的坐標應為________．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期為π．(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, 2π3]上的取值范圍．16.如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（1）求證：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的大??；（3）求點C到平面APB的距離．17.甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．（1）求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率；（2）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；（3）設隨機變量ξ為這五名志愿者中參加A崗位服務的人數(shù)，求ξ的分布列．18.已知函數(shù)f(x)=2x-b(x-1)2，求導函數(shù)f'(x)，并確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．試卷第7頁，總7頁, 19.已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓x2+3y2=4上，對角線BD所在直線的斜率為1．（1）當直線BD過點(0, 1)時，求直線AC的方程；（2）當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．20.對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A:a1，a2，…，an，定義變換T1，T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1(A)：n，a1-1，a2-1，…，an-1；對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列B:b1，b2，…，bm，定義變換T2，T2將數(shù)列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列T2(B)；又定義S(B)=2(b1+2b2+...+mbm)+b12+b22+...+bm2．設A0是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令Ak+1=T2（T1(Ak)）(k=0, 1, 2,…)．（1）如果數(shù)列A0為5，3，2，寫出數(shù)列A1，A2；（2）對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S（T1(A)）=S(A)；（3）證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0，存在正整數(shù)K，當k≥K時，S(Ak+1)=S(Ak)．試卷第7頁，總7頁, 參考答案與試題解析2008年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.B二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.-110.011.5,1012.2,-213.②14.(1, 2),(4, 402)三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin(2ωx-π6)+12．∵函數(shù)f(x)的最小正周期為π，且ω>0，∴2π2ω=π，解得ω=1．(2)由(2)得f(x)=sin(2x-π6)+12．∵0≤x≤2π3，∴-π6≤2x-π6≤7π6，∴-12≤sin(2x-π6)≤1．∴0≤sin(2x-π6)+12≤32，即f(x)的取值范圍為[0,32]．16.解：（1）取AB中點D，連接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．∵PD∩CD=D，∴試卷第7頁，總7頁, AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（2）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≅△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．取AP中點E．連接BE，CE．∵AB=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．在△BCE中，BC=2，BE=32AB=6，CE=2cos∠BEC=33．∴二面角B-AP-C的大小arccos33．（3）由（1）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．過C作CH⊥PD，垂足為H．∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．∴CH的長即為點C到平面APB的距離．由（1）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC．∵CD⊂平面ABC，∴PC⊥CD．在Rt△PCD中，CD=12AB=2，PD=32PB=6，∴PC=PD2-CD2=2．∴CH=PC⋅CDPD=233．∴點C到平面APB的距離為233．17.解：（1）記甲、乙兩人同時參加A崗位服務為事件EA，總事件數(shù)是從5個人中選2個作為一組，同其他3人共4個元素在四個位置進行排列C52A44．滿足條件的事件數(shù)是A33，試卷第7頁，總7頁, 那么P(EA)=A33C52A44=140，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率是140．（2）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務為事件E，滿足條件的事件數(shù)是A44，那么P(E)=A44C52A44=110，∴甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是P(E)=1-P(E)=910．（3）隨機變量ξ可能取的值為1，2．事件“ξ=2”是指有兩人同時參加A崗位服務，則P(ξ=2)=C52A33C53A44=14．∴P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=34，ξ的分布列是 ξ 1 2 P 34 1418.解：f'(x)=2(x-1)2-(2x-b)⋅2(x-1)(x-1)4=-2x+2b-2(x-1)3=-2[x-(b-1)](x-1)3．令f'(x)=0，得x=b-1．當b-1<1，即b<2時，f'(x)的變化情況如下表：x(-∞, b-1)b-1(b-1, 1)(1, +∞)f'(x)-0+-當b-1>1，即b>2時，f'(x)的變化情況如下表：x(-∞, 1)(1, b-1)b-1(b-1, +∞)f'(x)-+0-所以，當b<2時，函數(shù)f(x)在(-∞, b-1)上單調(diào)遞減，在(b-1, 1)上單調(diào)遞增，在(1, +∞)上單調(diào)遞減．當b>2時，函數(shù)f(x)在(-∞, 1)上單調(diào)遞減，在(1, b-1)上單調(diào)遞增，在(b-1, +∞)上單調(diào)遞減．當b-1=1，即b=2時，f'(x)=-2(x-1)2，所以函數(shù)f(x)在(-∞, 1)上單調(diào)遞減，在(1, +∞)上單調(diào)遞減．19.解：（1）由題意得直線BD的方程為y=x+1．因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．于是可設直線AC的方程為y=-x+n．由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0．因為A，C在橢圓上，所以△=-12n2+64>0，解得-433
