2010年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.（北京卷理）集合集合晦???，集合晦?香，則集?A.合?B.合???C.合晦???D.合晦??2.在等比數(shù)列合中，＝，公比．若＝?，則＝（）A.香B.?C.D.3.一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所，則該幾何體的俯視圖為?A.B.C.D.4.名學(xué)生和位老師站成一排合影，則位老師不相鄰的排法種數(shù)為()A.B.C.D.香香5.極坐標(biāo)方程??集???表示的圖形是（）A.兩個圓B.兩條直線C.一個圓和一條射線D.一條直線和一條射線6.若，是非零向量，“”是“函數(shù)?集??為一次函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件??，7.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若指數(shù)函數(shù)?集的圖象上存????，??香?在區(qū)域上的點，則的取值范圍是（）A.???B.??C.??D.??試卷第1頁，總8頁,8.如圖，正方體??的棱長為，動點、在棱?上，動點，分別在棱，上，若集，集，集?，集?（，?，?大于零），則四面體的體積（）A.與，?，?都有關(guān)B.與有關(guān)，與?，?無關(guān)C.與?有關(guān)，與，?無關(guān)D.與?有關(guān)，與，?無關(guān)二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為________．10.在?中，若＝，集?，集，則＝________．?11.從某小學(xué)隨機(jī)抽取??名同學(xué)，將他們身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．由圖中數(shù)據(jù)可知集________．若要從身高在????，????，???內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取人參加一項活動，則從身高在???內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________．12.如圖，的弦，?的延長線交于點．若?，?集，?集，集?，則集________；集________．??13.已知雙曲線集的離心率為，焦點與橢圓集的焦點相同，那么雙香曲線的焦點坐標(biāo)為________；漸近線方程為________．試卷第2頁，總8頁,14.如圖放置的邊長為的正方形?沿軸滾動．設(shè)頂點???的軌跡方程是?集?，則?的最小正周期為________；?集?在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為________．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.已知函數(shù)?集cossincos．（1）求?的值；?（2）求?的最大值和最小值．16.如圖，正方形?和四邊形所在的平面互相垂直，，，?集，集集．（1）求證：平面?；（2）求證：平面?；（3）求二面角?的大小．17.某同學(xué)參加?門課程的考試．假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，?，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為??（1）求該生至少有門課程取得優(yōu)秀成績的概率；（2）求數(shù)學(xué)期望．18.已知函數(shù)?集ln???．?當(dāng)集時，求曲線?集?在點（??）處的切線方程；?求?的單調(diào)區(qū)間．19.在平面直角坐標(biāo)系?中，點?與點??關(guān)于原點對稱，是動點，且直線與?的斜率之積等于．??Ⅰ求動點的軌跡方程；試卷第3頁，總8頁,?Ⅱ設(shè)直線和?分別與直線＝?交于點，，問：是否存在點使得?與的面積相等？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．20.已知集合集合晦集?????合???集????對于集（?,…,），?集（?,…,），定義與?的差為?集?晦晦?晦晦,…晦晦；與?之間的距離為???集集晦晦?晦證明：，?，，有?，且???集???；?晦晦證明：，?，，???，??，???三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)?晦晦晦設(shè)，中有?個元素，記中所有兩元素間距離的平均值為?．證明：?．?試卷第4頁，總8頁,參考答案與試題解析2010年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.B2.a＝aaaaa＝aqqq?q＝aq?，因此有m＝11?3.C4.A5.C6.B7.A8.D二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.??10.11.????,?12.,13.???，???,?集?14.,三、解答題（共6小題，滿分80分）?香15.解：（1）?集cossincos集集；????（2）?集?cos?coscos集?coscos集??cos，，??因為cos?，所以當(dāng)cos集時，?取最大值；當(dāng)cos集時，取最小值．??16.解：證明：（1）設(shè)與?交于點，因為，且集，集集，所以四邊形為平行四邊形．所以．試卷第5頁，總8頁,因為平面?，平面?，所以平面?．（2）因為正方形?和四邊形所在的平面互相垂直，，所以平面?．如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系??．則??????，????，?????，?????，???．所以集???，?集????，集????．所以?集?集?，集?集?．所以?，，所以平面?（3）由（2）知，集???，是平面?的一個法向量，設(shè)平面?的法向量集?????，則?集?，?集?．??????，?，?集?即????????，集?所以集?，且?集?．令?集，則?集．所以集????，從而?cos??集晦晦晦晦集因為二面角?為銳角，所以二面角?為．17.解：事件表示“該生第門課程取得優(yōu)異成績”，集，，?．由題意可知?集，?集，??集?晦由于事件“該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績”與事件“集?”是對立的，∴該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率是香?集?集集（2）由題意可知，?集?集??集??集，?集?集??集集?整理得集，集．∵集?集集??????試卷第6頁，總8頁,集?????集集?集集?集??集?集?集香∴集??集??集?集??集?集18.解：?當(dāng)集時，?集ln?，∴??集，?由于?集ln????集，∴曲線?集?在點（??）處的切線方程為??ln集?，即??ln?集?.???集?，當(dāng)集?時，??集，在區(qū)間???上，???，在區(qū)間???上，????，∴?的單調(diào)遞增區(qū)間為???，單調(diào)遞減區(qū)間為???；?當(dāng)???時，??集集?，得集?，集?，??∴在區(qū)間???和?，上，??，在區(qū)間???上，???，即函數(shù)?的單調(diào)遞增區(qū)間為???和?，，單調(diào)遞減區(qū)間為???；當(dāng)集時，??集，?的遞增區(qū)間為??，?當(dāng)時，由??集集?，得集?，集???，??∴在區(qū)間??和???上，??，在區(qū)間?，?上，???，即函數(shù)?的單調(diào)遞增區(qū)間為??和???，單調(diào)遞減區(qū)間為?，?．19.（1）因為點?與??關(guān)于原點對稱，所以點?得坐標(biāo)為??．設(shè)點的坐標(biāo)為?????集?化簡得??＝?．故動點軌跡方程為??＝?（2）若存在點使得?與的面積相等，設(shè)點的坐標(biāo)為?????則晦晦晦?晦sin?集晦晦晦晦sin．因為sin?＝sin，晦晦晦晦所以集晦晦晦?晦試卷第7頁，總8頁,晦?晦晦??晦所以集晦??晦晦?晦即???＝晦?晦，解得?集???因為????＝，所以??集香??故存在點使得?與的面積相等，此時點的坐標(biāo)為??．?香20.解：?設(shè)集??,…,，?集??,…,，集??,…,因，?，，故晦晦?，，?集?,…,?，，即?集?晦晦?晦晦,…,晦晦又，，???，集，，…，當(dāng)集?時，有晦晦晦晦晦晦集晦晦；當(dāng)集時，有晦晦晦晦晦晦集晦??集晦晦故???集晦晦集???集?設(shè)集??,…,，?集??,…,，集??,…,記???集，??集?，???集?記集????,…,?，由第一問可知：???集???，集???集??集??集??集????集???集?即晦晦中的個數(shù)為，晦晦中的個數(shù)為?，?集?,…,設(shè)是使晦晦集晦晦集成立的的個數(shù)，則有?集?，由此可知，，?，?不可能全為奇數(shù)，即???，??，???三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．??顯然中會產(chǎn)生個距離，也就是說，其中表示中每兩個元素距離的總和．分別考察第個位置，不妨設(shè)中第個位置一共出現(xiàn)了個，那么自然有個?，因此在這個位置上所產(chǎn)生的距離總和為?，?集?,…,，那么個位置的總和即試卷第8頁，總8頁