2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共40分）)1.復(fù)數(shù)??????A.?.D?.C?.B?2.若，滿足，則＝?的最大值為（）A.B.C.D.??3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A.????B.???C.????D.???4.設(shè)，是兩個不同的平面，是直線且，“”是“”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件試卷第1頁，總9頁,5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A.??.C?.B?D.6.設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A.若?則，?B.若，則?C.若?則，?D.若，則??????7.如圖，函數(shù)??的圖象為折線Ro，則不等式??log???的解集是（）A.B.C.D.?8.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是??A.消耗升汽油，乙車最多可行駛千米B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C.甲車以?千米/小時的速度行駛小時，消耗升汽油D.某城市機(jī)動車最高限速?千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油試卷第2頁，總9頁,二、填空題（每小題5分，共30分）)9.在???的展開式中，的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）?10.已知雙曲線?＝??的一條漸近線為＝，則＝________．?11.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)???到直線?cossin???的距離為________．sin?12.在oR中，??，?，??，則?________．sinR13.在oR中，點(diǎn)，滿足??R，o?R，若?oR，則＝________________，＝________．?，14.設(shè)函數(shù)?????????①若?，則??的最小值為________；②若??恰有?個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．三、解答題（共6小題，共80分）)?15.已知函數(shù)????sincos?sin．?????求??的最小正周期；???求??在區(qū)間上的最小值．16.，o兩組各有位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：組：，，?，，?，，?o組；?，，，?，，?，假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨(dú)立，從，o兩組隨機(jī)各選人，組選出的人記為甲，o組選出的人記為乙．?Ⅰ?求甲的康復(fù)時間不少于?天的概率；?Ⅱ?如果＝?，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；?Ⅲ?當(dāng)為何值時，，o兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）17.如圖，在四棱錐?Ro中，?為等邊三角形，平面?平面?Ro，?oR，oR??，???，?oR?Ro??，為?的中點(diǎn)．（1）求證：o?．（2）求二面角?o的余弦值；試卷第3頁，總9頁,（3）若o?平面R，求的值．18.已知函數(shù)???ln，???求曲線???在點(diǎn)（??）處的切線方程；????求證，當(dāng)??時，?????；?????設(shè)實(shí)數(shù)使得????對??恒成立，求的最大值．???19.已知橢圓R???的離心率為，點(diǎn)??和點(diǎn)????都???在橢圓R上，直線交軸于點(diǎn)．??求橢圓R的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；???設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)o與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線o交軸于點(diǎn)，問：軸上是否存在點(diǎn)，使得?？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．??20.已知數(shù)列滿足：，?，且??＝???,…?，?記集合＝．?Ⅰ?若＝?，寫出集合的所有元素；?Ⅱ?如集合存在一個元素是的倍數(shù)，證明：的所有元素都是的倍數(shù)；?Ⅲ?求集合的元素個數(shù)的最大值．試卷第4頁，總9頁,參考答案與試題解析2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共40分）1.A2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.D二、填空題（每小題5分，共30分）9.?10.11.12.13.,??14.,或??三、解答題（共6小題，共80分）?15.解：??????sincos?sin??????sin?cos?????sincoscossin?????sin??，??則??的最小正周期為?.???由，可得，????即有sin??，??則當(dāng)?時，sin??取得最小值，???則有??在區(qū)間上的最小值為．?試卷第5頁，總9頁,16.設(shè)事件為“甲是組的第個人”，事件o為“乙是o組的第個人”，由題意可知??＝?o??，＝，?，••，（1）事件“甲的康復(fù)時間不少于?天”等價于“甲是組的第或第?或第個人”∴甲的康復(fù)時間不少于?天的概率???＝????????；（2）設(shè)事件R為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”，則R＝?oo?ooo??o?o?o?o?o?，∴?R?＝??o??o???o??o??o????o???o???o???o???o??＝??o?＝????o????Ⅲ?當(dāng)為或?時，，o兩組病人康復(fù)時間的方差相等．17.證明：（1）∵?為等邊三角形，為?的中點(diǎn)，∴?，∵平面?平面?Ro，平面?，∴平面?Ro∴o?．（2）取oR的中點(diǎn)，連接，∵?Ro是等腰梯形，∴?，由（1）知平面?Ro，∵平面?Ro，∴，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則??，o?????nat?o???，???o，??，??，則???，??，o?????,?，????，o???????,?，設(shè)平面?o的法向量為???，?則o??，即，???????令?，則?，?，試卷第6頁，總9頁,即???，平面?的法向量為???，則cos，??即二面角?o的余弦值為；（3）若o?平面R，則o?R，即o?R?，∵o????????R，?,?????,?，∴o?R??????????，?解得?．18.??因?yàn)???ln??ln??所以????，?????又因?yàn)???，所以曲線???在點(diǎn)（??）處的切線方程為??．???????令：明證????，則??????????????，?因?yàn)?????，所以??在區(qū)間??上單調(diào)遞增．所以?????，??，即當(dāng)??時，?????．??由??當(dāng)，知??時，????對??恒成立．當(dāng)?時，令???????，則???????????????，??????所以當(dāng)時，??，因此??在區(qū)間??上單調(diào)遞減．??當(dāng)時，?????，即????．試卷第7頁，總9頁,所以當(dāng)?時，????并非對??恒成立．綜上所知，的最大值為?．?，?19.解：??由題意得出?，?????，解得：??，?，?.?∴??，?∵??和點(diǎn)??，.∴的方程為：?，?時，?.∴??.???∵點(diǎn)o與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)????，∴點(diǎn)o????，∵直線o交軸于點(diǎn)，∴??，∵存在點(diǎn)，使得?，??，∴tan?tan，???∴?，即?，??，?????，?∴??，故軸上存在點(diǎn)，使得?，???或???.??20.（1）若＝?，由于??＝???,…?，＝．?故集合的所有元素為?，?，??；（2）因?yàn)榧洗嬖谝粋€元素是的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是的倍數(shù)，由????＝?,…?，可歸納證明對任意，是的倍數(shù)．???試卷第8頁，總9頁,如果＝，的所有元素都是的倍數(shù)；如果，因?yàn)椋?以所，??＝或，?是的倍數(shù)；于是是的倍數(shù)；類似可得，?，…，都是的倍數(shù)；從而對任意，是的倍數(shù)；綜上，若集合存在一個元素是的倍數(shù)，則集合的所有元素都是的倍數(shù)???Ⅲ?對?，??＝?,…?，可歸納證明對任意，?????＝?,…???因?yàn)槭钦麛?shù)，?是?以所，??的倍數(shù)．???從而當(dāng)?是，時?的倍數(shù)．如果是的倍數(shù)，由?Ⅱ?知，對所有正整數(shù)，是的倍數(shù)．因此當(dāng)時，????，這時的元素個數(shù)不超過．如果不是的倍數(shù)，由?Ⅱ?知，對所有正整數(shù)，不是的倍數(shù)．因此當(dāng)時，???????，這時的元素個數(shù)不超過?．當(dāng)＝時，＝????????，有?個元素．綜上可知，集合的元素個數(shù)的最大值為?．試卷第9頁，總9頁