2001年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）)1.函數(shù)數(shù)m香數(shù)m的反函數(shù)香數(shù)m________．2.若復(fù)數(shù)滿足方程香（是虛數(shù)單位），則________．sin3.函數(shù)的最小正周期為________．香cos香4.二項式數(shù)m的展開式中常數(shù)項的值為________．5.若雙曲線的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為數(shù)標(biāo)為m，焦距為香，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．6.圓心在直線上且與軸相切于點(diǎn)數(shù)香為m的圓的方程為________．lim標(biāo)7.計算：________．香8.若非零向量，滿足，則與所成角的大小為________．9.在大小相同的個球中，個紅球，個是白球．若從中任意選取標(biāo)個，則所選的標(biāo)個球中至少有香個紅球的概率是________．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10.若記號“*”表示求兩個實(shí)數(shù)與的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即即，則兩邊均含有運(yùn)算符號“*”和“+”，且對于任意標(biāo)個實(shí)數(shù)、、都能成立的一個等式可以是________．11.關(guān)于的函數(shù)數(shù)msin數(shù)m有以下命題：①對任意的，數(shù)m都是非奇非偶函數(shù)；②不存在，使數(shù)m既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；③存在，使數(shù)m是奇函數(shù)；④對任意的，數(shù)m都不是偶函數(shù)．其中一個假命題的序號是________．因?yàn)楫?dāng)________時，該命題的結(jié)論不成立．12.甲、乙兩人于同一天分別攜款香萬元到銀行儲蓄，甲存五年期定期儲蓄，年利率為?，乙存一年期定期儲蓄，年利率為??，并在每年到期時將本息續(xù)存一年期定期儲蓄，按規(guī)定每次計息時，儲戶須交納利息的作為利息稅，若存滿五年后兩人同時從銀行取出存款，則甲與乙所得本息之和的差為________元．（假定利率五年內(nèi)保持不變，結(jié)果精確到香分）二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.若、為實(shí)數(shù)，則??是?的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分條件也非必要條件14.若直線香的傾斜角為，則數(shù)mA.等于B.等于C.等于D.不存在15.若有平面與，且?，?，，，則下列命題中的假命題為數(shù)mA.過點(diǎn)且垂直于的直線平行于試卷第1頁，總7頁 B.過點(diǎn)且垂直于的平面垂直于C.過點(diǎn)且垂直于的直線在內(nèi)D.過點(diǎn)且垂直于的直線在內(nèi)16.若數(shù)列前項的值各異，且對任意的即都成立，則下列數(shù)列中，能取遍數(shù)列前項值的數(shù)列是（）A.香B.標(biāo)香C.香D.香三、解答題（共6小題，滿分86分）)?17.已知為全集，log香數(shù)標(biāo)m，香，求?sinsin18.已知數(shù)m，試用表示sincos的值．香tan19.用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖），設(shè)容器的高為米，蓋子邊長為米．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）設(shè)容器的容積為立方米，則當(dāng)為何值時，最大？求出的最大值．（求解本題時，不計容器的厚度）20.如圖，在長方體?香香香?香中，點(diǎn)、分別香、??香上，且?香，?香?．（1）求證：香?平面；（2）若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等．試根據(jù)上述定理，在，?標(biāo)，香?時，求平面與平面?香香?所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）試卷第2頁，總7頁 21.如圖，已知橢圓的方程為香，點(diǎn)數(shù)為m的坐標(biāo)滿足香，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求：（1）點(diǎn)的軌跡方程；（2）點(diǎn)的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個數(shù)．香22.已知是首項為，公比為的等比數(shù)列，為它的前項和．（1）用表示香；香（2）是否存在自然數(shù)和，使得?成立．試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2001年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1.香數(shù)香m2.香3.4.5.香香6.數(shù)香m數(shù)香m香7.香8.9.?10.數(shù)即m數(shù)m即數(shù)m11.①,數(shù)m12.香?香二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.A14.C15.D16.B三、解答題（共6小題，滿分86分）17.解：由已知log香數(shù)標(biāo)mlog香因?yàn)閘og香為減函數(shù)，所標(biāo)標(biāo)由標(biāo)?解得香標(biāo)∴香標(biāo)?由香，解得標(biāo)，∴標(biāo)于是香或標(biāo)故?香或標(biāo)．sinsin18.解：因?yàn)閟incos香tan所以sincos試卷第4頁，總7頁 因而數(shù)sincosm香sincos香又，于是sincos?因此sincos香19.解：（1）設(shè)為正四棱錐的斜高香由已知香香解得數(shù)?m香香（2）數(shù)?m標(biāo)標(biāo)數(shù)香m香易得香標(biāo)數(shù)m香香香因?yàn)椋韵愕仁疆?dāng)且僅當(dāng)，即香時取得．香故當(dāng)香米時，有最大值，的最大值為立方米．20.證明：（1）如圖，因?yàn)?平面香，所香在平面香上的射影為香由香?，平面香，得香?，同理可證香?因?yàn)橄?，香?所以香?平面解：（2）過作?的垂線交?于，因?yàn)?香??，所以?平面?香香?設(shè)與香所成的角為，則即為平面與平面?香香?所成的角．??由已知，計算得?．?如圖建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)數(shù)為為m，數(shù)，標(biāo)，m，香數(shù)為為?m，數(shù)為標(biāo)為m，，標(biāo)，，香為標(biāo)為?，因?yàn)榕c香所成的角為香香香所以cosarccos香??香由定理知，平面與平面所成角的大小為arccos?試卷第5頁，總7頁 21.解：（1）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為數(shù)香為香m、數(shù)為m，點(diǎn)的坐標(biāo)為數(shù)為m．當(dāng)香時，設(shè)直線的斜率為，則的方程為數(shù)m香由已知香，香①香香數(shù)香m，數(shù)m②香由①得數(shù)香m數(shù)香m數(shù)香m數(shù)香m③由②得香數(shù)香m④香香香由③④及，，，香得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程⑤當(dāng)香時，不存在，此時平行于軸，因此的中點(diǎn)一定落在軸上，即的坐標(biāo)為數(shù)為m．顯然點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程⑤綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程．設(shè)方程⑤所表示的曲線為，則由香得數(shù)m．因?yàn)閿?shù)香m，由已知香，所以當(dāng)香時，，曲線與橢圓有且只有一個交點(diǎn)數(shù)為m．當(dāng)香時，，曲線與橢圓沒有交點(diǎn)．因?yàn)閿?shù)為m在橢圓內(nèi)，又在曲線上，所以曲線在橢圓內(nèi)．故點(diǎn)的軌跡方程為（2）由解得曲線與軸交于點(diǎn)數(shù)為m，數(shù)為m．由解得曲線與軸交于點(diǎn)數(shù)為m，數(shù)為m當(dāng)，，即點(diǎn)數(shù)為m為原點(diǎn)時，數(shù)為m、數(shù)為m與數(shù)為m重點(diǎn)，曲線與坐標(biāo)軸只有一個交點(diǎn)數(shù)為m．當(dāng)且，即點(diǎn)數(shù)為m不在橢圓外且在除去原點(diǎn)的軸上時，點(diǎn)數(shù)為m與數(shù)為m重合，曲線與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)數(shù)為m與數(shù)為m．同理，當(dāng)且香，即點(diǎn)數(shù)為m不在橢圓外且在除去原點(diǎn)的軸上時，曲線與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)數(shù)為m與數(shù)為m．當(dāng)香且數(shù)香m，即點(diǎn)數(shù)為m在橢圓內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時，曲線與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)數(shù)為m、數(shù)為m與數(shù)為m．香香香22.解（1）由數(shù)香m，得香數(shù)香香m數(shù)m．標(biāo)香數(shù)m（2）要使?，只要．香標(biāo)香因?yàn)閿?shù)香m，所以數(shù)m?數(shù)m，試卷第6頁，總7頁 標(biāo)故只要數(shù)m．①標(biāo)標(biāo)因?yàn)橄?數(shù)m，所以香香，又，故要使①成立，只能取或標(biāo)．當(dāng)時，因?yàn)橄?，所以?dāng)香時，不成立，從而①不成立．標(biāo)?標(biāo)標(biāo)因?yàn)?，由香數(shù)m，得香，所以當(dāng)時，標(biāo)?，從而①不成立．當(dāng)標(biāo)時，因?yàn)橄悖瑯?biāo)，所以當(dāng)香，時，不成立，從而①不成立．標(biāo)香標(biāo)標(biāo)標(biāo)因?yàn)闃?biāo)?，又香，標(biāo)所以當(dāng)標(biāo)時，?，從而①不成立．香故不存在自然數(shù)、，使?成立．試卷第7頁，總7頁