2004年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）)1.若tan，則tan________．2.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為?，準(zhǔn)線方程為?，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．3.設(shè)集合??log?香，集合??香．若香，則________．lim4.設(shè)等比數(shù)列?香的公比?，且?????????，則?________．5.設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)????，若當(dāng)??時(shí)，的圖象如圖，則不等式?的解集是________．6.已知點(diǎn)??，若向量與??同向，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．7.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)?到直線cossin的距離________．8.圓心在直線???＝上的圓與軸交于兩點(diǎn)??、??，則圓的方程為________．9.若在二項(xiàng)式的展開式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)為奇數(shù)的概率是________．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10.若函數(shù)??在?上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)?、的取值范圍是________．11.教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是________．12.若干個(gè)能惟一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”．設(shè)?香是公比為的無窮等比數(shù)列，下列?香的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第________組．（寫出所有符合要求的組號(hào)）①與；②?與；③?與?；④與?．（其中為大于的整數(shù)，為?香的前項(xiàng)和．）二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.在下列關(guān)于直線，與平面，的命題中，真命題是A.若，且?，則?B.若?，且，則?C.若，且?，則D.若?，且?，則14.三角方程sin?的解集為（）試卷第1頁，總7頁 ?A.?香B.?香C.?香D.??香15.若函數(shù)的圖象可由lg的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則等于（）A.??B.?C.??D.?16.某地年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前?個(gè)行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱計(jì)算機(jī)機(jī)械營銷物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)????????行業(yè)名稱計(jì)算機(jī)營銷機(jī)械建筑化工招聘人數(shù)?????若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是（）A.計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè)B.建筑行業(yè)好于物流行業(yè)C.機(jī)械行業(yè)最緊張D.營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張三、解答題（共6小題，滿分86分）)17.已知復(fù)數(shù)滿足????，????，其中?為虛數(shù)單位，?，若??，求?的取值范圍．18.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為、（單位：）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架圍成的總面積．問、分別為多少（精確到?）時(shí)用料最?。?9.記函數(shù)?的定義域?yàn)?，lg?????，??的定義域?yàn)椋?，求?shí)數(shù)?的取值范圍．20.已知二次函數(shù)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)?，反比例函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為，．（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）證明：當(dāng)??時(shí)，關(guān)于的方程?有三個(gè)實(shí)數(shù)解．試卷第2頁，總7頁 21.如圖，?是底面邊長為的正三棱錐，、、分別為棱長、、上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)?與棱錐?的棱長和相等．（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）（1）證明：?為正四面體；（2）若求二面角??的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（3）設(shè)棱臺(tái)?的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺(tái)?有相同的棱長和？若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．22.設(shè)?，?，…，??是二次曲線上的點(diǎn)，且?，?，…，?構(gòu)成了一個(gè)公差為的等差數(shù)列，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)．記??????．（1）若的方程為，．點(diǎn)?及??，求點(diǎn)的坐標(biāo)；?（只需寫出一個(gè)）（2）若的方程為???．點(diǎn)??，對(duì)于給定的自然數(shù)，當(dāng)公差?變化時(shí)，求的最小值；（3）請(qǐng)選定一條除橢圓外的二次曲線及上的一點(diǎn)，對(duì)于給定的自然數(shù)，寫出符合條件的點(diǎn)，，…存在的充要條件，并說明理由．符號(hào)意義本試卷所用符號(hào)等同于《實(shí)驗(yàn)教材》符號(hào)向量坐標(biāo)??香??正切tan試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2004年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1.2.??3.???香4.5.???或???香．6.???7.?8.?＝?9.10.??且11.用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)12.①④二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.B14.C15.A16.B三、解答題（共6小題，滿分86分）???17.解：由題意得?，?于是??????，?則有???，得?????，????．18.解：由題意得，?∴???．框架用料長度為，．當(dāng)，即?時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)，?，?．故當(dāng)為?，為?時(shí)，用料最?。嚲淼?頁，總7頁 ?19.解：由?得：，解得??或，即????由??????得：??????由??得???，∴???∵，∴?或??即?或??，而??，∴??或??故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)?的取值范圍是????20.解：（1）由已知，設(shè)?，過點(diǎn)?，即，得?，∴．設(shè)?，它的圖象與直線的交點(diǎn)分別為????由，得，．∴．故．（2）證法一：?，得?，?即??．?在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出和??的大致圖象，?其中的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，與的圖象是以??為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線．?因此，與的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，即?有一個(gè)負(fù)數(shù)解．又∵，???當(dāng)??時(shí)，．????，?∴當(dāng)??時(shí)，在第一象限的圖象上存在一點(diǎn)（?）在圖象的上方．∴與的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即?有兩個(gè)正數(shù)解．因此，方程?有三個(gè)實(shí)數(shù)解．證法二：由?，得?，?即????，得方程的一個(gè)解?．?試卷第5頁，總7頁 方程??化為???，?由??，???，得?????????，，??∵?，?，∴，且．????若，即?，則???，??，?得?或?，這與??矛盾，∴．故原方程?有三個(gè)實(shí)數(shù)解．21.證明：（1）∵棱臺(tái)?與棱錐?的棱長和相等，∴．又∵截面底面，∴，，∴?是正四面體解：（2）取的中點(diǎn)，連拉，．．∵?，?，∴?平面，?，則為二面角??的平面角．由（1）知，?的各棱長均為，∴，由是的中點(diǎn)，得sin，∴arcsin．（3）存在滿足條件的直平行六面體．棱臺(tái)?的棱長和為定值，體積為．設(shè)直平行六面體的棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為，則該六面體棱長和為，體積為sin．∵正四面體?的體積是，∴??，??．可知arcsin故構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為arcsin的直平行六面體即滿足要求．試卷第6頁，總7頁 22.解：（1）?，由????，得??．由?，得，?∴點(diǎn)的坐標(biāo)可以為??．（2）原點(diǎn)到二次曲線???上各點(diǎn)的最小距離為，最大距離為??．∵??，∴?，且???，???∴?．∵，?????∴?在?上遞增，?????故的最小值為?．?（3）若雙曲線?，點(diǎn)??，?則對(duì)于給定的，點(diǎn)，，存在的充要條件是?．∵原點(diǎn)到雙曲線上各點(diǎn)的距離??，且?，∴點(diǎn)，，存在當(dāng)且僅當(dāng)?，即?．試卷第7頁，總7頁