2009年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共14小題，每小題4分，滿分56分）)1.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1-i（I是虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)z=________．2.已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．3.若行列式45x1x3789中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是________．4.某算法的程序框如下圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關(guān)系式是________．5.如圖，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的大小是________（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．6.函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是________．7.某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望Eξ________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）．8.已知三個(gè)球的半徑R1，R2，R3滿足R1+2R2=3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關(guān)系是________．9.已知F1、F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PF1→⊥PF2→．若△PF1F2的面積為9，則b＝________．10.在極坐標(biāo)系中，由三條直線θ=0，θ=π3，ρcosθ+ρsinθ=1圍成圖形的面積等于________．試卷第5頁，總6頁 11.當(dāng)0≤x≤12時(shí)，不等式sinπx≥kx恒成立．則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．12.已知函數(shù)f(x)＝sinx+tanx，項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列{an}滿足an∈(-π2,π2)，且公差d≠0，若f(a1)+f(a2)+...f(a27)＝0，則當(dāng)k＝________時(shí)，f(ak)＝0．13.某地街道呈現(xiàn)東-西、南-北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1．兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)(-2,?2)，(3,?1)，(3,?4)，(-2,?3)，(4,?5)，(6,?6)為報(bào)刊零售點(diǎn)．請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)（除零售點(diǎn)外）________為發(fā)行站，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短．14.將函數(shù)y=4+6x-x2-2(x∈[0,?6])的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ(0≤θ≤α)，得到曲線C．若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則α的最大值為________．二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)15.“-2≤a≤2”是“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+1=0有虛根”的(????)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件16.若事件E與F相互獨(dú)立，且P(E)=P(F)=14，則P(E∩F)的值等于（）A.0B.116C.14D.1217.有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為甲型N1H1流感在一段時(shí)間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過15人”．根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（）A.甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4B.乙地：總體均值為1，總體方差大于0C.丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D.丁地：總體均值為2，總體方差為318.過圓C：(x-1)2+(y-1)2=1的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，△AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足S|+SIV=S||+S|||則直線AB有（）A.0條B.1條C.2條D.3條試卷第5頁，總6頁 三、解答題（共5小題，滿分78分）)19.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大?。?0.有時(shí)我們可用函數(shù)f(x)=0.1+15lnaa-x,x≤6,x-4.4x-4,x>6，?描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N)，f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)．(1)當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f(x+1)-f(x)總是上升的還是下降的？并說明理由；(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲，乙，丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,?121]，(121,?127]，(127,?133]．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科．(參考數(shù)據(jù)：e0.04≈1.04，e0.05≈1.05，e0.06≈1.06)21.已知雙曲線c：x22-y2=1，設(shè)直線l過點(diǎn)A(-32，0)，（1）當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（2）證明：當(dāng)k>22時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為6．22.已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)．定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)a(a≠0)，函數(shù)y=f(x+a)與y=f-1(x+a)互為反函數(shù)，則稱y=f(x)滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)y=f(ax)與y=f-1(ax)互為反函數(shù)，則稱y=f(x)滿足“a積性質(zhì)”．（1）判斷函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；（2）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；（3）設(shè)函數(shù)y=f(x)(x>0)對(duì)任何a>0，滿足“a積性質(zhì)”．求y=f(x)的表達(dá)式．23.已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？說明理由；（2）找出所有數(shù)列{an}和{bn}，使對(duì)一切n∈N*，an+1an=bn，并說明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，試確定所有的p，使數(shù)列{an}中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和是數(shù)列{bn}中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明．試卷第5頁，總6頁 參考答案與試題解析2009年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共14小題，每小題4分，滿分56分）1.i2.a≤13.x>83且x≠44.y=x-2,x>12x，x≤15.arctan56.1-27.478.S1+2S2=3S39.310.3-3411.k≤212.1413.(3,?3)14.arctan23二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）15.A16.B17.B18.B三、解答題（共5小題，滿分78分）19.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．則A(2,?0,?0)，C(0,?2,?0)，A1(2,?0,?2)，B1(0,?0,?2)，C1(0,?2,?2)，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即BM→=(1,?1,?0)是平面A1C1C的一個(gè)法向量．設(shè)平面A1B1C的一個(gè)法向量是n=(x,?y,?z)．A1C→=(-2,?2,?-2)，A1B1→=(-2,?0,?0)，∴n?A1B1→=-2x=0n?A1C1→=-2x+2y-2z=0令z=1，解得x=0，y=1．∴n=(0,?1,?1)，設(shè)法向量n與BM→的夾角為φ，二面角B1-A1C-C1的大小為θ試卷第5頁，總6頁 ，顯然θ為銳角．∵cosθ=|cosφ|=|n?BM→||n|?|BM→|=12，解得：θ=π3．∴二面角B1-A1C-C1的大小為π3．20.解：(1)當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f(x+1)-f(x)總是下降的，理由如下：當(dāng)x≥7時(shí)，f(x+1)-f(x)=0.4(x-3)(x-4)，而當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y=(x-3)(x-4)單調(diào)遞增.又(x-3)(x-4)>0，故函數(shù)f(x+1)-f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f(x+1)-f(x)總是下降.(2)由題意可知，0.1+15lnaa-6=0.85，整理得aa-6=e0.05，則a=e0.05e0.05-1?6=20.50×6=123，123∈(121,127]，由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科.21.解：（1）雙曲線C的漸近線m：x2±y=0，即x±2y=0∴直線l的方程x±2y+32=0∴直線l與m的距離d=321+2=6．（2）設(shè)過原點(diǎn)且平行于l的直線b:kx-y=0，則直線l與b的距離d=32|k|1+k2，當(dāng)k>22時(shí)，d>6．又雙曲線C的漸近線為x±2y=0，∴雙曲線C的右支在直線b的右下方，∴雙曲線C的右支上的任意點(diǎn)到直線l的距離大于6．故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q(x0,?y0)到到直線l的距離為6．22.解（1）函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)的反函數(shù)是g-1(x)=x-1(x>1)，∴g-1(x+1)=x(x>0)，而g(x+1)=(x+1)2+1(x>-1)，其反函數(shù)為y=x-1-1(x>1)，故函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)不滿足“1和性質(zhì)”．試卷第5頁，總6頁 （2）設(shè)函數(shù)f(x)=kx+b(x∈R)滿足“2和性質(zhì)”，k≠0．∴f-1(x)=x-bk(x∈R)，∴f-1(x+2)=x+2-bk，而?f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R)，得反函數(shù)?y=x-b-2kk，由“2和性質(zhì)”定義可知??x+2-bk=x-b-2kk，對(duì)(x∈R)恒成立．∴k=-1，b∈R，即所求一次函數(shù)f(x)=-x+b(b∈R)．（3）設(shè)a>0，x0>0，且點(diǎn)(x0,?y0)在y=f(ax)圖象上，則(y0,?x0)在函數(shù)y=f-1(ax)圖象上，故f(ax0)=y0f-1(ay0)=x0，可得?ay0=f(x0)=af(ax0)，令??ax0=x，則a=xx0，∴f(x0)=xx0f(x)，即f(x)=x0f(x0)x．綜上所述，f(x)=kx(k≠0)，此時(shí)f(ax)=kax，其反函數(shù)是y=kax，而f-1(ax)=kax，故y=f(ax)與y=f-1(ax)互為反函數(shù)．23.解：（1）由am+am+1=ak，得6m+5=3k+1，整理后，可得k-2m=43，∵m、k∈N*，∴k-2m為整數(shù)，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）設(shè)an=nd+c，若an+1an=bn，對(duì)n∈N×都成立，且{bn}為等比數(shù)列，則an+2an+1/an+1an=q，對(duì)n∈N×都成立，即anan+2=qan+12，∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2，對(duì)n∈N×都成立，∴d2=qd2(I)若d=0，則an=c≠0，∴bn=1，n∈N*．(II)若d≠0，則q=1，∴bn=m（常數(shù)），即dn+d+cdn+c=m，則d=0，矛盾．綜上所述，有an=c≠0，bn=1，使對(duì)一切n∈N×，an+1an=bn．（3）an=4n+1，bn=3n，n∈N*，設(shè)am+1+am+2++am+p=bk=3k，p、k∈N*，m∈N．4(m+1)+1+4(m+p)+12p=3k，∴4m+2p+3=3kp，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2-2×3s-3=(4-1)2s+2-2×(4-1)s-3≥0，由二項(xiàng)展開式可得整數(shù)M1、M2，使得(4-1)2s+2=4M1+1，2×(4-1)s=8M2+(-1)S2∴4m=4(M1-2M2)-((-1)S+1)2，∴存在整數(shù)m滿足要求．故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s，s∈N，命題成立．試卷第5頁，總6頁