2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，要求直接填寫結(jié)果，每題填對得3分，否則一律得0分．)1.函數(shù)＝log?的定義域是________．2.方程?＝的解是________．3.拋物線＝?的準(zhǔn)線方程是________．4.函數(shù)＝sin?的最小正周期是________．5.已知向量?，?．若，則實(shí)數(shù)＝________．6.函數(shù)＝sin?ncos?的最大值是________．7.復(fù)數(shù)n（是虛數(shù)單位）的模是________．8.在??中，角，?，?所對邊長分別為，，，若＝，＝，?＝，則＝________．9.正方體???????????中，異面直線??與???所成角的大小為________．10.從名男同學(xué)和名女同學(xué)中隨機(jī)選取n人參加某社團(tuán)活動(dòng)，選出的n人中男女同學(xué)都有的概率為________（結(jié)果用數(shù)值表示）．11.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為n，前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和＝________．12.n的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)閚n，所以n的所有正約數(shù)之和為?nnnnnn??nn?，參照上述方法，可求得的所有正約數(shù)之和為________．二．選擇題（本大題滿分36分）本大題共有12題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的．考生必須把真確結(jié)論的代碼寫在題后的括號內(nèi)，選對得3分，否則一律得0分．)13.展開式為??的行列式是（）?A.B.C.D.???14.設(shè)????數(shù)函為?的反函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.??＝B.??＝C.??＝D.??＝15.直線??n?＝的一個(gè)方向向量是（）A.?nB.nC.?nD.n??16.函數(shù)??的大致圖象是（）試卷第1頁，總8頁 A.B.C.D.17.如果??，那么下列不等式成立的是（）????A.?B.?C.???D.???18.若復(fù)數(shù)?，滿足?，則?，在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)?，()A.關(guān)于?軸對稱B.關(guān)于軸對稱C.關(guān)于原點(diǎn)對稱D.關(guān)于直線?對稱19.???的二項(xiàng)展開式中的一項(xiàng)是（）A.?.Dn??.C?.B?20.既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A.＝sin?cos＝.D?sin＝.C?cos＝.B?21.若兩個(gè)球的表面積之比為?為，則這兩個(gè)球的體積之比為A.?為B.?為C.?為D.?為?22.設(shè)全集，下列集合運(yùn)算結(jié)果為的是（）A.B.C.D.?23.已知，，，“??”是“函數(shù)?在恒象圖的??＝?軸上方”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件24.已知，?為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)作直線?的垂線，垂足為．若?，其中為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不可能是（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線試卷第2頁，總8頁 三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有7題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．)25.如圖，在正三棱柱????????中，?，異面直線???與?所成角的大小為，求該三棱柱的體積．26.如圖，某校有一塊形如直角三角形??的空地，其中?為直角，?長米，??長米，現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且?為矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，求該健身房的最大占地面積．27.已知數(shù)列?的前項(xiàng)和為?，數(shù)列?滿足，求lim?．28.已知橢圓?的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為???、?，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為??，?（1）若????為等邊三角形，求橢圓?的方程；（2）若橢圓?的短軸長為，過點(diǎn)的直線與橢圓?相交于，兩點(diǎn)，且??，求直線的方程．29.已知拋物線?為＝?的焦點(diǎn)為．（1）點(diǎn)，滿足?．當(dāng)點(diǎn)在拋物線?上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）在?＝線直于關(guān)點(diǎn)得使，點(diǎn)在存否是上軸?的對稱點(diǎn)在拋物線?上？如果存在，求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．30.在平面直角坐標(biāo)系?為標(biāo)坐橫其，上軸?在點(diǎn)，上軸半正軸在點(diǎn)，中0?，且??是首項(xiàng)為?、公比為的等比數(shù)列，記＝，．??（1）若narctan，求點(diǎn)的坐標(biāo)；n（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最大值及相應(yīng)的值．試卷第3頁，總8頁 31.已知真命題：“函數(shù)＝?的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)＝??是奇函數(shù)”．（1）將函數(shù)?n?n?＝?的圖象向左平移?個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，求此時(shí)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)?圖象對稱中心的坐標(biāo)；?（2）求函數(shù)?圖象對稱中心的坐標(biāo)；??（3）已知命題：“函數(shù)＝?的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)＝??是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）．試卷第4頁，總8頁 參考答案與試題解析2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，要求直接填寫結(jié)果，每題填對得3分，否則一律得0分．1.?2.n3.?＝?4.n5.?6.7.?n8.9.10.11.?12.n二．選擇題（本大題滿分36分）本大題共有12題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的．考生必須把真確結(jié)論的代碼寫在題后的括號內(nèi)，選對得3分，否則一律得0分．13.B14.B15.D16.A17.D18.A19.C20.B21.C22.A23.D24.C試卷第5頁，總8頁 三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有7題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．25.解：因?yàn)????．所以????為異面直線???與?所成的角，即????．n在????中，?????tan????n，nn從而????nn，因此該三棱柱的體積為???nn?n．26.該健身房的最大占地面積為平方米．27.當(dāng)時(shí)，????????，??且?＝?＝，所以＝??????是首項(xiàng)為?、公比為?因?yàn)?，所以?shù)列的無窮等比數(shù)列．?故lim??．??n?28.設(shè)橢圓?的方程為?．?根據(jù)題意知，解得，??nnn?故橢圓?的方程為n?．?由＝，得＝?，所以＝＝，得橢圓?的方程為?．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為?＝?，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為＝???．???由，得??????＝．??設(shè)?，???，則??????????，????????因?yàn)??，所以??，即????????????????????????????????????????試卷第6頁，總8頁 ???，解得，即?。?故直線的方程為?或??????．29.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為???則，?為標(biāo)坐的點(diǎn)，??，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為?，所以???，由?，得??＝??????．??????????即，解得???代入＝??＝為程方跡軌的點(diǎn)動(dòng)到得，?．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)關(guān)于直線＝?為點(diǎn)稱對的?，?n???則??，解得．??若在?上，將的坐標(biāo)代入＝?，得?＝，即＝或?．?所以存在滿足題意的點(diǎn)，其坐標(biāo)為和?．30.設(shè)，根據(jù)題意，?＝??．??由narctan，知tann，nn??n?而tann＝tan0?0n??n，?n?所以，解得＝或＝．nn故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．??由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為??，tan0．????∴tan＝tan0??0???．???因?yàn)?，所以tan，?當(dāng)且僅當(dāng)，即＝時(shí)等號成立．∵??，＝tan?在上為增函數(shù)，∴當(dāng)＝時(shí)，最大，其最大值為arctan．31.平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為＝?＝得理整，??n?n??n?n?，由于函數(shù)＝?數(shù)函，知題命真設(shè)題由，數(shù)函奇是?n?n?圖象對稱中心的坐標(biāo)是??．試卷第7頁，總8頁 ?設(shè)?的對稱中心為，??由題設(shè)知函數(shù)??是奇函數(shù)．?設(shè)?則，??＝??，???即??．????由不等式的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱，則??＝，得＝．????此時(shí)?，???．??任取???由，??＝，得＝?，?所以函數(shù)?圖象對稱中心的坐標(biāo)是?．??此命題是假命題．舉反例說明：函數(shù)??＝線直于關(guān)象圖的?＝?成軸對稱圖象，但是對任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)＝?＝即，???總不是偶函數(shù)．修改后的真命題：“函數(shù)＝?線直于關(guān)象圖的?＝成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)＝?是偶函數(shù)”．試卷第8頁，總8頁