2013年上海市高考數(shù)學試卷（理科）一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．)th1.計算：lim________．t?2.設(shè)，htht?h??是純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則＝________．hh3.若，t________．??4.已知香?的內(nèi)角、香、?所對的邊分別是、、，若hththh＝，則角?的大小是________.h5.設(shè)常數(shù)，若t的二項展開式中項的系數(shù)為?，則＝________．??6.方程t的實數(shù)解為________．?7.在極坐標系中，曲線cost?與cos?的公共點到極點的距離為________．8.盒子中裝有編號為?，h，，，，，，，的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）．9.設(shè)香是橢圓Γ的長軸，點?在Γ上，且?香，若香＝，香?h，則Γ的兩個焦點之間的距離為________.10.設(shè)非零常數(shù)是等差數(shù)列?，h，…，?的公差，隨機變量等可能地取值?，h，…，?，則方差＝________．?h11.若coscostsinsin，sinhtsinh，則sin?t?________．hh12.設(shè)為實常數(shù)，??是定義在上的奇函數(shù)，當時，??tt．若??t?對一切成立，則的取值范圍為__________.13.在?平面上，將兩個半圓弧???hth????和??hth???，兩條直線?和?圍成的封閉圖形記為，如圖中陰影部分，記繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為．過??????作的水平截面，所得截面積為?ht．試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為________．試卷第1頁，總7頁 14.對區(qū)間上有定義的函數(shù)??，記??＝＝???．已知定義域為?的函數(shù)＝??有反函數(shù)＝???，且?????）＝??h?????h??＝???．若方程??＝有解，則＝________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．)15.設(shè)常數(shù)，集合?????，香?，若香，則的取值范圍為??A.??h?B.??hC.?h?t?D.h?t?16.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的??A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件17.在數(shù)列中，＝h?，若一個行?h列的矩陣的第行第列的元素＝tt，?＝??h,…,；＝??h,…,?h?，則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為（）A.?B.hC.D.18.在邊長為?的正六邊形香??中，記以為起點，其余頂點為終點的向量分別為?、h、、、；以為起點，其余頂點為終點的向量分別為?、h、、、．若、分別為?tt??tt?的最小值、最大值，其中????h???，????h???，則、滿足（）A.＝，?B.，?C.，＝D.，三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．)19.如圖，在長方體香?香?中，香h，?，?．證明直線香?平行于平面?，并求直線香?到平面?的距離．20.甲廠以千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求??），每小時可獲得的利潤是??t??元．（1）要使生產(chǎn)該產(chǎn)品h小時獲得的利潤不低于元，求的取值范圍；（2）要使生產(chǎn)千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．21.已知函數(shù)??＝hsin??，其中常數(shù)?．h（1）若＝??在?上單調(diào)遞增，求的取值范圍；試卷第2頁，總7頁 （2）令＝h，將函數(shù)＝??的圖象向左平移個單位，再向上平移?個單位，得到函數(shù)＝??的圖象，區(qū)間??，，且?滿足：＝??在?上至少含有個零點．在所有滿足上述條件的?中，求的最小值．h22.如圖，已知雙曲線??h?，曲線?h＝t?，是平面內(nèi)一點，若存在h過點的直線與??，?h都有公共點，則稱為“???h型點”（1）在正確證明??的左焦點是“???h型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；（2）設(shè)直線＝與?h有公共點，求證??，進而證明原點不是“???h型點”；hh?（3）求證：圓t內(nèi)的點都不是“???h型點”.h23.給定常數(shù)?，定義函數(shù)??＝httt．數(shù)列?，h，，…滿足＝??，．t?（1）若?＝h，求h及；（2）求證：對任意，；t?（3）是否存在?，使得?，h，…，，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的?；若不存在，說明理由．試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2013年上海市高考數(shù)學試卷（理科）一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．?1.2.h3.?4.arccos5.h6.logt?7.h?8.?9.10.hh11.12.13.hht?14.h二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．15.B16.B17.A18.D三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．19.解：解法一：因為香?香?為長方體，故香?，香?，故香?為平行四邊形，故香?，顯然香?不在平面?內(nèi)，于是直線香?平行于平面?．直線香?到平面?的距離即為點香到平面?的距離，設(shè)為，考慮三棱錐香?的體積，以香?為底面，可得三棱錐香?的體積為試卷第4頁，總7頁 ????????，hh而?中，??，h，故?的底邊上的高為，h?h故?的面積?h，hhh??hh所以，，即直線香?到平面?的距離為．h解法二：以所在的直線為軸，以?所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．則由題意可得，點??????、香???h???、???h???、???h??、????．設(shè)平面?的一個法向量為?????，則由，?，可得，?．?t?h∵??????，???h???，∴，解得．hth令?，可得?h，h，可得?h???h?．由于香???????，∴香?，故有香?．再由香?不在平面?內(nèi)，可得直線香?平行于平面?．h?t?t?h?h由于?香?????，可得點香到平面?的距離，hht?ht?h?hh故直線香?到平面?的距離為．20.解：（1）生產(chǎn)該產(chǎn)品h小時獲得的利潤為??t??h＝h?t??h根據(jù)題意，h?t??，即??∴或∵??，∴?；（2）設(shè)利潤為元，則生產(chǎn)千克該產(chǎn)品獲得的利潤為＝??t?????h?＝?tt?＝???th?h∵??，?∴＝時，取得最大利潤為?元?h故甲廠應以千克/小時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤為元．試卷第5頁，總7頁 h21.∵函數(shù)＝??在?上單調(diào)遞增，且?，h∴，且，hh解得．??＝hsinh，∴把＝??的圖象向左平移個單位，再向上平移?個單位，得到hsinh?t?t?，∴函數(shù)＝??hsinh?t?t?，令??＝，得t，或t??．?hh∴相鄰兩個零點之間的距離為或．若最小，則和都是零點，此時在區(qū)間?t，?ht，…，?t??分別恰有，，…，ht?個零點，所以在區(qū)間??t是恰有h個零點，從而在區(qū)間??t?至少有一個零點，∴?．另一方面，在區(qū)間??tt恰有個零點，?h?h因此的最小值為?t．22.（1）解：??的左焦點為???，寫出的直線方程可以是以下形式：或?t?，其中．（2）證明：因為直線＝與?h有公共點，t?所以方程組有實數(shù)解，因此＝t?，得??．t?若原點是“???h型點”，則存在過原點的直線與??、?h都有公共點．考慮過原點與?h有公共點的直線＝或＝????．顯然直線＝與??無公共點．hh如果直線為＝????，則由方程組hh，得h，矛盾．??hh所以直線＝????與??也無公共點．因此原點不是“???h型點”．hh?（3）證明：記圓?t，取圓?內(nèi)的一點，設(shè)有經(jīng)過的直線與??，?hh都有公共點，顯然不與軸垂直，故可設(shè)＝t．若?，由于圓?夾在兩組平行線＝?與＝?之間，因此圓?也夾在直線＝?與＝?之間，從而過且以為斜率的直線與?h無公共點，矛盾，所以??．因為與??由公共點，試卷第6頁，總7頁 t所以方程組hh有實數(shù)解，?h得??hh?hhhh＝．因為??，所以?hh，因此＝??h??hh??hhh?＝?ht?hh?，即hhh?．因為圓?的圓心???到直線的距離，?thhh??thhhh所以，從而?h?，得?，與??矛盾．?thhhhh?因此，圓t內(nèi)的點不是“???h型點”．h23.（1）解：h＝???＝?h?＝hhttht＝h＝h，＝?h?＝?h?＝hhttht＝h?t??th?＝?t．tt?（2）證明：由已知可得??tt??當時，t?＝t?；當時，t?＝htth??tt＝；當時，t?＝h?h??＝．∴對任意，；t?（3）解：假設(shè)存在?，使得?，h，…，，…成等差數(shù)列．由（2）及?，得t?，即為無窮遞增數(shù)列．又為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)，當?時，，從而t?＝??＝tt，由于為等差數(shù)列，因此公差＝t．①當?時，則h＝???＝?，又h＝?t＝?tt，故?＝?tt，即?＝，從而h＝，當h時，由于為遞增數(shù)列，故h＝?，∴t?＝??＝tt，而h＝?tt，故當?＝時，為無窮等差數(shù)列，符合要求；②若?，則h＝???＝?tt，又h＝?t＝?tt，∴?tt＝?tt，得?＝，應舍去；③若?，則由?得到t?＝??＝tt，從而為無窮等差數(shù)列，符合要求．綜上可知：?的取值范圍為??t?．試卷第7頁，總7頁