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2022高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練：第二章第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值（含解析）
ID：49333 2021-10-08 1 3.00元 7頁(yè) 69.16 KB
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[A級(jí)　基礎(chǔ)練]1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　)A．y＝x　B．y＝2－xC．y＝logxD．y＝解析：選A．對(duì)于冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α>0時(shí)，y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)α<0時(shí)，y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)D中的函數(shù)y＝可轉(zhuǎn)化為y＝x－1，所以函數(shù)y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D不符合題意；對(duì)于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)，當(dāng)01時(shí)，y＝ax在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，而選項(xiàng)B中的函數(shù)y＝2－x可轉(zhuǎn)化為y＝，因此函數(shù)y＝2－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)，當(dāng)01時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此選項(xiàng)C中的函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C不符合題意，故選A．2．函數(shù)f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)A．B．－C．－2D．2解析：選A．函數(shù)f(x)＝－x＋的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝－1－，則f′(x)<0，可得f(x)在上單調(diào)遞減，即f(－2)為最大值，且為2－＝. 3．函數(shù)y＝|x|(1－x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是(　　)A．(－∞，0)B．C．[0，＋∞)D．解析：選B．y＝|x|(1－x)＝＝函數(shù)y的草圖如圖所示．由圖易知函數(shù)y＝|x|(1－x)在上單調(diào)遞增．故選B．4．若函數(shù)f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在區(qū)間[3，＋∞)和[－2，－1]上均為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．B．[－6，－4]C．[－3，－2]D．[－4，－3]解析：選B．由于f(x)為R上的偶函數(shù)，因此只需考慮函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性即可．由題意知函數(shù)f(x)在[3，＋∞)上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．5．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)0，x>0)．(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(2)若f(x)在上的值域是，求實(shí)數(shù)a的值．解：(1)證明：任取x1>x2>0，則f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，因?yàn)閤1>x2>0，所以x1－x2>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(2)由(1)可知，f(x)在上為增函數(shù)，所以f＝－2＝，f(2)＝－＝2，解得a＝.10．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解：(1)證明：設(shè)x1＜x2＜－2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因?yàn)?x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增．(2)設(shè)1＜x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝－＝.因?yàn)閍＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.綜上所述，0＜a≤1.[B級(jí)　綜合練]11．若f(x)＝－x2＋4mx與g(x)＝在區(qū)間[2，4]上都是減函數(shù)，則m的取值范圍是(　　)A．(－∞，0)∪(0，1]B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，＋∞)D．(0，1]解析：選D．函數(shù)f(x)＝－x2＋4mx的圖象開口向下，且以直線x＝2m為對(duì)稱軸，若在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，則2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的圖象由y＝的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，若在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，則2m>0，解得m>0.綜上可得，m的取值范圍是(0，1]．12．已知函數(shù)f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，則(　　)A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：選B．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，所以當(dāng)x1∈(1，2)時(shí)，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.故選B．13．設(shè)f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為 ________．解析：因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．要滿足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以a的取值范圍是0≤a≤2.答案：[0，2]14．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－x＋的對(duì)稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，又當(dāng)x≥1時(shí)，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，則g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0得1≤x≤，即函數(shù)＝x－1＋在區(qū)間[1，]上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”I為[1，]．答案：[1，]15．已知函數(shù)f(x)＝x2＋a|x－2|－4.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，－1≤f(x)<0，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，0≤f(x)≤7， 所以f(x)在[0，3]上的最大值為7，最小值為－1.(2)因?yàn)閒(x)＝又f(x)在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，則－≤2，即a≥－4.當(dāng)－1＜x≤2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，則≤－1.即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，故a的取值范圍為[－4，－2]．[C級(jí)　提升練]16．已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)證明：任取x1，x2∈，且x1>x2，則>1，由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
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