[A級(jí)　基礎(chǔ)練]1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　)A．y＝　B．y＝|x|－1C．y＝lgxD．y＝解析：選B．y＝為奇函數(shù)；y＝lgx的定義域?yàn)?0，＋∞)，不具備奇偶性；y＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)；y＝|x|－1在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且在定義域上為偶函數(shù)．2．(2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－，則f(x)(　　)A．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減解析：選A．方法一：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，因?yàn)閒(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除C，D．因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3，y＝－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以f(x)＝x3－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，排除B，故選A．方法二：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，因?yàn)閒(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除C，D．當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，由f(x)＝x3－， 得f′(x)＝3x2＋>0，所以f(x)＝x3－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，排除B，故選A．3．設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝3x－7x＋2b(b為常數(shù))，則f(－2)＝(　　)A．6B．－6C．4D．－4解析：選A．因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝3x－7x＋2b，所以f(0)＝1＋2b＝0，所以b＝－.所以f(x)＝3x－7x－1，所以f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.選A．4.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f＝f，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x3，則f＝(　　)A．－B．－C．D．解析：選B．因?yàn)閒＝f，所以f＝f＝f＝f，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以f＝－f＝－＝－.5．已知函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝(　　)A．0B．2C．4D．8 解析：選B．f(x)＝＝1＋.設(shè)g(x)＝，因?yàn)間(x)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因?yàn)镸＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.6．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)＝________.解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.答案：37．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x＋1，則f＝________．解析：依題意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，則f＝f＝f＝＋1＝.答案：8．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝則g(f(－8))＝________．解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.答案：－19．設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性；(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的表達(dá)式．解：(1)因?yàn)閒(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)是偶函數(shù)．(2)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，－x∈[－1，0]，則f(x)＝f(－x)＝x；從而當(dāng)1≤x≤2時(shí)，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝10．設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．從而可知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象 如圖所示．設(shè)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4.[B級(jí)　綜合練]11．已知函數(shù)y＝f(x)，滿足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，且f(1)＝，設(shè)F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(3)＝(　　)A．B．C．πD．解析：選B．由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)知，f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，則F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝，故選B．12．(2021·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè)考試)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝2x，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x＞時(shí)，f＝f，則f(5)＝(　　)A．B．－C．－2D．2解析：選B．因?yàn)楫?dāng)x＞時(shí)，f＝f，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因?yàn)楫?dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又當(dāng)x＜0時(shí)，f(x) ＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，故選B．13．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)－g(x)＝，則f(1)，g(0)，g(－1)之間的大小關(guān)系是________．解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替換x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.聯(lián)立方程組解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．答案：f(1)>g(0)>g(－1)14．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知所以1

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