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2022高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練：第二章第11講函數(shù)模型及其應(yīng)用（含解析）
ID：49342 2021-10-08 1 3.00元 11頁 122.98 KB
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[A級　基礎(chǔ)練]1．(2020·江西南昌模擬)衡東土菜辣美鮮香，享譽三湘．某衡東土菜館為實現(xiàn)100萬元年經(jīng)營利潤目標，擬制訂員工的獎勵方案：在經(jīng)濟利潤超過6萬元的前提下獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨經(jīng)營利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不能超過利潤的20%.下列函數(shù)模型中，符合該要求的是(　　)(參考數(shù)據(jù)：1.015100≈4.432，lg11≈1.041)A．y＝0.04xB．y＝1.015x－1C．y＝tanD．y＝log11(3x－10)解析：選D．對于函數(shù)y＝0.04x，當(dāng)x＝100時，y＝4>3，不符合題意；對于函數(shù)y＝1.015x－1，當(dāng)x＝100時，y≈3.432>3，不符合題意；對于函數(shù)y＝tan，不滿足在x∈(6，100]上單調(diào)遞增，不符合題意；對于函數(shù)y＝log11(3x－10)，滿足在x∈(6，100]上是增函數(shù)，且y≤log11(3×100－10)＝log112900，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)80≤x≤180時，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝80時，f(x)有極大值，也是最大值，為240000.故選C．3．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對于進價)，則該家具的進價是(　　)A．118元B．105元C．106元D．108元解析：選D．設(shè)進價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故選D．4．素數(shù)也叫質(zhì)數(shù)，法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森是研究素數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，因此后人將“2n－1”形式(n是素數(shù))的素數(shù)稱為梅森素數(shù)．已知第20個梅森素數(shù)為P＝24423－1，第19個梅森素數(shù)為Q＝24253－1，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3)(　　)A．1045B．1051C．1056D．1059 解析：選B．由題知＝≈2170.令2170＝k，則lg2170＝lgk，所以170lg2＝lgk．又lg2≈0.3，所以51＝lgk，即k＝1051，所以與最接近的數(shù)為1051.故選B．5．車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經(jīng)過反復(fù)試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”如圖，且該圖表示的函數(shù)模型為f(x)＝則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時間才可以駕車(時間以整小時計算)？(參考數(shù)據(jù)：ln15≈2.71，ln30≈3.40)(　　)車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類型閾值(mg/100mL)飲酒后駕車≥20，<80醉酒后駕車≥80A．5h　B．6hC．7hD．8h解析：選B．由題意可知當(dāng)酒精含量閾值低于20時才可以開車，結(jié)合分段函數(shù)建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x＞5.42，取整數(shù)，故為6個小時．故選B．6．(2020·遼寧遼南協(xié)作校一模)考古學(xué)家經(jīng)常利用碳14的含量來推斷古生物死亡的時間．當(dāng)有機體生存時，會持續(xù)不斷地吸收碳14，從而其體內(nèi)的碳14含量會保持在一定的水平；但當(dāng)有機體死亡后，就會停止吸收碳14，其體內(nèi)的碳14含量就會逐漸減少，而且每經(jīng)過大約5730年后會變?yōu)樵瓉淼囊话耄僭O(shè)有機體生存時碳14的含量為1，如果用y表示該有機體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量，則y與x的關(guān)系可以表示為________． 解析：依題意可設(shè)y＝，當(dāng)x＝5730時，y＝，即有＝，解得a＝，故答案為y＝.答案：y＝7．(2020·安徽滁州定遠4月模擬)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關(guān)系為P＝P0e－kt，如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費的時間為________小時．解析：由題意可知，(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln0.9，又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，所以－kt＝ln0.81＝2ln0.9＝－10k，所以t＝10.答案：108．為研究西南高寒山區(qū)一種常見樹的生長周期中前10年的生長規(guī)律，統(tǒng)計顯示，生長4年的樹高為米，如圖所示的散點圖記錄了樣本樹的生長時間t(年)與樹高y(米)之間的關(guān)系．請你據(jù)此判斷，在下列函數(shù)模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a為正的常實數(shù))，擬合生長年數(shù)與樹高的關(guān)系最好的是________(填寫序號)，估計該樹生長8年后的樹高為________米．解析：由散點圖的走勢，知模型①不合適．曲線過點，則后三個模型的解析式分別為②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，易知擬合最好的是②.將t＝8代入②得8年后的樹高為米． 答案：②　9．聲強級Y(單位：分貝)由公式Y(jié)＝10lg給出，其中I為聲強(單位：W/m2)．(1)平常人交談時的聲強約為10－6W/m2，求其聲強級；(2)一般常人能聽到的最低聲強級是0分貝，求能聽到最低聲強為多少？(3)比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強級Y≤50分貝，已知熄燈后兩位同學(xué)在宿舍說話的聲強為5×10－7W/m2，問這兩位同學(xué)是否會影響其他同學(xué)休息？解：(1)當(dāng)聲強為10－6W/m2時，由公式Y(jié)＝10lg得Y＝10lg＝10lg106＝60(分貝)．(2)當(dāng)Y＝0時，由公式Y(jié)＝10lg得10lg＝0.所以＝1，即I＝10－12W/m2，則常人能聽到的最低聲強為10－12W/m2.(3)當(dāng)聲強為5×10－7W/m2時，聲強級Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg5，因為50＋10lg5＞50，所以這兩位同學(xué)會影響其他同學(xué)休息．10．某書商為提高某套叢書的銷售量，準備舉辦一場展銷會．據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套．現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革， 將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤＝售價－供貨價格，問：(1)每套叢書售價定為100元時，書商能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？解：(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為15－0.1×100＝5(萬套)，此時每套叢書的供貨價格為30＋＝32(元)，所以書商所獲得的總利潤為5×(100－32)＝340(萬元)．(2)每套叢書售價定為x元時，由解得0＜x＜150.依題意，設(shè)單套叢書的利潤為P，則P＝x－＝x－－30，＝－＋120.因為0＜x＜150，所以150－x＞0，則(150－x)＋≥2＝2×10＝20，當(dāng)且僅當(dāng)150－x＝，即x＝140時等號成立，此時，Pmax＝－20＋120＝100.所以每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元．[B級　綜合練]11.某種熱飲需用開水沖泡，其基本操作流程如下：①先將水加熱到100℃，水溫y(℃)與時間t(min)近似滿足一次函數(shù)關(guān)系；②用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y(℃)與時間t(min)近似滿足的函數(shù)關(guān)系式為y＝80＋b(a，b 為常數(shù))．通常這種熱飲在40℃時口感最佳．某天室溫為20℃時，沖泡熱飲的部分數(shù)據(jù)如圖所示，那么按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時飲用，最少需要的時間為(　　)A．35minB．30minC．25minD．20min解析：選C．由題意知，當(dāng)0≤t≤5時，函數(shù)圖象是一條線段；當(dāng)t≥5時，函數(shù)的解析式為y＝80＋b.將點(5，100)和點(15，60)代入解析式可得解得a＝5，b＝20，故函數(shù)的解析式為y＝80＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的時間為25min.故選C．12．(2020·安徽淮北一中第五次月考)華羅庚是上世紀我國偉大的數(shù)學(xué)家，以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華王方法”等．他除了數(shù)學(xué)理論研究，還在生產(chǎn)一線大力推廣了“優(yōu)選法”和“統(tǒng)籌法”．“優(yōu)選法”是指研究如何用較少的試驗次數(shù)，迅速找到最優(yōu)方案的一種科學(xué)方法．在當(dāng)前防疫取得重要進展的時刻，為防范機場帶來的境外輸入，某機場海關(guān)在對入境人員進行檢測時采用了“優(yōu)選法”提高檢測效率：每16人為一組，把每個人抽取的鼻咽拭子分泌物混合檢查，如果為陰性則全部放行；若為陽性，則對該16人再次抽檢確認感染者．某組16人中恰有一人感染(鼻咽拭子樣本檢驗是陽性)，若逐一檢測可能需要15次才能確認感染者．現(xiàn)在先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性則認定在本組．繼續(xù)把認定的這組的8人均分兩組，選其中一組4人的樣本混合檢查……以此類推， 最終從這16人中認定那名感染者需要檢測的次數(shù)為(　　)A．3B．4C．6D．7解析：選B．先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本混合檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性則認定在本組，此時進行了1次檢測．繼續(xù)把認定的這組的8人均分兩組，選其中一組4人的樣本混合檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性則認定在本組，此時進行了2次檢測．繼續(xù)把認定的這組的4人均分兩組，選其中一組2人的樣本混合檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性則認定在本組，此時進行了3次檢測．選認定的這組的2人中一人進行樣本檢查，若為陰性則認定是另一個人；若為陽性則認定為此人，此時進行了4次檢測．所以，最終從這16人中認定那名感染者需要經(jīng)過4次檢測．故選B．13．某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常．排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y＝c()mt(c，m為常數(shù))．(1)mc的值為________；(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，則這個地下車庫中的一氧化碳含量達到正常狀態(tài)至少需排氣________分鐘．解析：(1)由題意可列方程組兩式相除，解得則mc＝128×＝32.(2)由題意可列不等式128≤0.5，所以≤，即t≥8，解得t≥32. 故至少排氣32分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)．答案：(1)32　(2)3214．某旅游景點預(yù)計2021年1月份起前x個月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位：萬人)與x的關(guān)系近似為p(x)＝x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x個月的人均消費額q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)＝(1)寫出2021年第x個月的旅游人數(shù)f(x)(單位：萬人)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試問2021年第幾個月的旅游消費總額最大？最大月旅游消費總額為多少元？解：(1)當(dāng)x＝1時，f(1)＝p(1)＝37，當(dāng)2≤x≤12，且x∈N*時，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，經(jīng)驗證x＝1時也滿足此式．所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x(x∈N*)個月的旅游消費總額為g(x)＝①當(dāng)1≤x≤6，且x∈N*時，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．當(dāng)1≤x≤5時，g′(x)≥0，當(dāng)5
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