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2022人教版高考數學（浙江版）一輪復習訓練：第二章第3講函數的奇偶性及周期性（含解析）
ID：49348 2021-10-08 1 3.00元 8頁 73.35 KB
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[A級　基礎練]1．已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0f(7)>f(12)，即m>p>q，故選C．5．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，滿足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，則實數a的取值范圍是(　　)A．(－1，3)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：選A．由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝f(x)，故函數f(x)的周期為4，則f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因為f(x)是定義在R上的奇函數，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－10， 則f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，則g(2x)＝－(x2－2x－1)，令x＝－1，則g(－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f(g(－2))＝－7.答案：0?。?7．設函數f(x)＝＋1在x∈[－9，9]上的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________．解析：f(x)＝＋1，其中上奇下偶明顯是奇函數，最大、最小值之和為零，那么f(x)的最大值與最小值之和就是2×1＝2.答案：28．已知函數f(x)＝則f(2019)＝________．解析：當x>0時，f(x)＝f(x－2)＋1，則f(2019)＝f(2017)＋1＝f(2015)＋2＝…＝f(1)＋1009＝f(－1)＋1010，而f(－1)＝0，故f(2019)＝1010.答案：10109．已知函數y＝f(x)的圖象關于原點對稱，且當x>0時，f(x)＝x2－2x＋3.(1)試求f(x)在R上的解析式；(2)畫出函數的圖象，根據圖象寫出它的單調區(qū)間．解：(1)因為函數f(x)的圖象關于原點對稱，所以f(x)為奇函數，則f(0)＝0.設x<0，則－x>0，因為x>0時，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.于是有f(x)＝ (2)先畫出函數在y軸右側的圖象，再根據對稱性畫出y軸左側的圖象，如圖．由圖象可知函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，－1]，[1，＋∞)，單調遞減區(qū)間是(－1，0)，(0，1)．[B級　綜合練]10．(2020·新高考卷Ⅰ)若定義在R的奇函數f(x)在(－∞，0)單調遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(　　)A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]解析：選D．通解：由題意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調遞減，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.當x＞0時，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；當x＜0時，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x＜0；當x＝0時，顯然符合題意．綜上，原不等式的解集為[－1，0]∪[1，3]，選D．優(yōu)解：當x＝3時，f(3－1)＝0，符合題意，排除B；當x＝4時，f(4－1)＝f(3)＜0，此時不符合題意，排除選項A，C．故選D．11．已知函數f(x)與g(x)是定義在{x∈R|x≠0}上的奇函數，且xf(x)＋g(x)＝1－x2＋bsin2x，則f(3)＝________；若f()＋g()＝，則b＝________．解析：因為f(x)與g(x)都是定義在{x∈R|x≠0}上的奇函數，且xf(x)＋g(x)＝1－x2＋bsin2x，所以－xf(－x)＋g(－x)＝xf(x)－g(x)＝1－x2－bsin2x，得f(x)＝－ x(x≠0)，g(x)＝bsin2x(x≠0)，所以f(3)＝－3＝－，由f＋g＝＋bsin＝，解得b＝1.答案：－　112．已知定義在R上的函數f(x)滿足：①對任意的實數x，y∈R，有f(x－y＋1)＝f(x)·f(y)＋f(1－x)f(1－y)；②f(x)在區(qū)間[0，1]上單調遞增．(1)求f(0)的值；(2)求證：f(x)是圖象關于直線x＝1對稱的奇函數．解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，則f(1)＝f2(0)＋f2(1)，?、僭倭顇＝0，y＝可得f＝f(0)·f＋f(1)f.若f＝0，則f(1)＝f2＋f2＝0，這與f(x)在區(qū)間[0，1]上單調遞增矛盾，故f≠0，故1＝f(0)＋f(1)．?、诼?lián)立①②解得f(0)＝0且f(1)＝1，或f(0)＝且f(1)＝(舍去)．綜上，f(0)＝0.(2)證明：用y代替1－y得f(x＋y)＝f(x)·f(1－y)＋f(1－x)f(y)．?、墼冖壑辛顈＝－x，可得f(0)＝f(x)f(1＋x)＋f(1－x)f(－x)．　④由③式可知f(x＋1)＝f(x)f(0)＋f(1－x)·f(1)＝f(1－x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，將上式帶入④可得0＝f(x)f(1＋x)＋f(1＋x)f(－x)． 又f(x＋1)不恒為0，故f(x)＋f(－x)＝0恒成立，故f(x)為奇函數．13．已知函數f(x)＝(其中a，b，c，d是實數常數，x≠－d)．(1)若a＝0，函數f(x)的圖象關于點(－1，3)成中心對稱，求b，d的值；(2)若函數f(x)滿足條件(1)，且對任意x0∈[3，10]，總有f(x0)∈[3，10]，求c的取值范圍．解：(1)因為a＝0，所以f(x)＝＝b＋.我們知道函數y＝(x≠0)的圖象關于點(0，0)對稱，而f(x)＝b＋相當于將f(x)＝向左平移d個單位，再向上平移b個單位得到，因此f(x)的對稱中心是(－d，b)．又因為函數f(x)的圖象的對稱中心是(－1，3)，所以(2)由(1)知，f(x)＝3＋.依據題意，對任意x0∈[3，10]，恒有f(x0)∈[3，10]．①c＝3，f(x)＝3，符合題意．②c≠3，c<3時，對任意x∈[3，10]，恒有f(x)＝3＋<3，不符合題意．所以c>3，函數f(x)＝3＋在[3，10]上是單調遞減函數，且滿足f(x)>3.因此，當且僅當f(3)≤10，即3x1f(x2)＋x2f(x1)，則稱函數y＝f(x)為“H函數”．下列函數為“H函數”的是(　　)A．f(x)＝sinxB．f(x)＝exC．f(x)＝x3－3xD．f(x)＝x|x|解析：選D．根據題意，對于任意的不相等實數x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，則有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函數f(x)是定義在R上的增函數，則“H函數”為奇函數且在R上為增函數．對于A，f(x)＝sinx為正弦函數，為奇函數但不是增函數，不符合題意；對于B，f(x)＝ex為指數函數，不是奇函數，不符合題意；對于C，f(x)＝x3－3x為奇函數，但在R上不是增函數，不符合題意；對于D，f(x)＝x|x|＝為奇函數且在R上為增函數，符合題意．故選D．15．已知定義在R上的函數y＝f(x)滿足條件f＝－f(x)，且函數y＝f為奇函數．給出以下四個命題：①函數f(x)是周期函數；②函數f(x)的圖象關于點對稱；③函數f(x)為R上的偶函數；④函數f(x)為R上的單調函數．其中真命題的序號為________．解析：由f＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f，即f(x＋3)＝f(x)，所以函數f(x)是周期為3的周期函數，①正確．由函數y＝f為奇函數，得f＝－ f，所以函數y＝f的圖象關于點對稱，②正確．由f＝－f(x)，得f＝－f.又f＝－f，所以f＝f，即f(x)＝f(－x)，故③正確．由①知f(x)為周期函數，所以f(x)不可能單調，故④錯誤．因此真命題的序號為①②③.答案：①②③
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