[A級 基礎練]1．已知函數(shù)f(x)可導，則lim等于( )A．f′(x) B．f′(2)C．f(x) D．f(2)解析：選B.因為函數(shù)f(x)可導，所以f′(x)＝lim，所以lim＝f′(2)．2．函數(shù)y＝x2cosx在x＝1處的導數(shù)是( )A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析：選B.因為y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2·(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以y′|x＝1＝2cos1－sin1.3．已知f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，則x0＝( )A．e2 B．1C．ln2D．e解析：選B.因為f(x)＝x(2021＋lnx)，所以f′(x)＝2021＋lnx＋1＝2022＋lnx，又f′(x0)＝2022，所以2022＋lnx0＝2022，所以x0＝1.4．(2021·麗水模擬)曲線f(x)＝在點P(1，f(1))處的切線l的方程為( )A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝0
解析：選D.因為f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′(1)＝－3，又f(1)＝1，所以所求切線方程為y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.5.如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝( )A．－1B．0C．2D．4解析：選B.由題圖可得曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因為g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.6．設函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導，其導函數(shù)為f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，則f(x)＝________，f′(1)＝________．解析：因為f(lnx)＝x＋lnx，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.答案：x＋ex 1＋e7．(2020·紹興市柯橋區(qū)高三模擬)已知曲線y＝x2－3lnx的一條切線的斜率為－，則切點的橫坐標為________．解析：設切點為(m，n)(m＞0)，y＝x2－3lnx的導數(shù)為y′＝x－，可得切線的斜率為m－＝－，解方程可得，m＝2.
答案：28．(2020·金華十校高考模擬)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－2)＝2018，若對任意的x∈R，都有f′(x)＜2x成立，則不等式f(x)＜x2＋2014的解集為________．解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－x2－2014，則g′(x)＝f′(x)－2x＜0，所以函數(shù)g(x)在定義域上為減函數(shù)，且g(－2)＝f(－2)－22－2014＝2018－4－2014＝0，由f(x)＜x2＋2014有f(x)－x2－2014＜0，即g(x)＜0＝g(－2)，所以x＞－2，不等式f(x)＜x2＋2014的解集為(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．解：(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．因為f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.所以f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.所以切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)因為切線與直線y＝－x＋3垂直，所以切線的斜率k＝4.設切點的坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.所以或即切點坐標為(1，－14)或(－1，－18)，
切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.[B級 綜合練]10．若點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－2距離的最小值為( )A．1B.C.D.解析：選B.因為定義域為(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，則在P(1，1)處的切線方程為x－y＝0，所以兩平行線間的距離為d＝＝.11．若曲線y＝f(x)＝lnx＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)a的取值范圍是( )A.B．[－，＋∞)C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)解析：選D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根據(jù)題意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故實數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．故選D.12．(2020·寧波四中高三月考)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是________(把你認為正確的序號都填上)．①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
解析：①中，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx＝－sin＜0在區(qū)間上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在區(qū)間上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在區(qū)間上恒小于0.④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在區(qū)間上恒成立，故④中函數(shù)不是凸函數(shù)．故①②③為凸函數(shù)．答案：①②③13．已知函數(shù)f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2處的切線方程為3x－4y＋4＝0.(1)求a，b的值；(2)求證：曲線上任一點P處的切線l與直線l1：y＝x，直線l2：x＝0圍成的三角形的面積為定值．解：(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－(x≠0)．由題意得即解得a＝1，b＝1.(2)證明：由(1)知f(x)＝x＋，設曲線的切點為P，f′(x0)＝1－，曲線在P處的切線方程為y－＝(x－x0)．
即y＝x＋.當x＝0時，y＝.即切線l與l2：x＝0的交點坐標為A.由得即l與l1：y＝x的交點坐標為B(2x0，2x0)．又l1與l2的交點為O(0，0)，則所求的三角形的面積為S＝·|2x0|·＝2.即切線l與l1，l2圍成的三角形的面積為定值．14．(2020·紹興一中月考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因為f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直線m恒過定點(0，9)，若直線m是曲線y＝g(x)的切線，則設切點為(x0，3x＋6x0＋12)．因為g′(x0)＝6x0＋6，所以切線方程為y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，將(0，9)代入切線方程，解得x0＝±1.當x0＝－1時，切線方程為y＝9；當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9.
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1處，y＝f(x)的切線方程為y＝－18；在x＝2處，y＝f(x)的切線方程為y＝9，所以y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11；在x＝1處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10，所以y＝f(x)與y＝g(x)的公切線不是y＝12x＋9.綜上所述，y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9，此時k＝0.[C級 提升練]15．設曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲線C上一點M(1，－4)處的切線記為l，則切線l與曲線C的公共點個數(shù)為( )A．1B．2C．3D．4解析：選C.y′＝12x3－6x2－18x，則y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，所以曲線y＝3x4－2x3－9x2＋4在點M(1，－4)處的切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.聯(lián)立解得或或故切線與曲線C還有其他的公共點(－2，32)，，所以切線l與曲線C的公共點個數(shù)為3.故選C.16．(2020·浙江省十校聯(lián)合體期末檢測)已知函數(shù)f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos(πx)
＋bx，直線l與曲線y＝f(x)切于點(0，f(0))，且與曲線y＝g(x)切于點(1，g(1))，則a＋b＝________，直線l的方程為________．解析：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsin(πx)＋b，f(0)＝a，g(1)＝cosπ＋b＝b－1，f′(0)＝a，g′(1)＝b，由題意可得f′(0)＝g′(1)，則a＝b，又f′(0)＝＝a，即a＝b＝－1，則a＋b＝－2；所以直線l的方程為x＋y＋1＝0.答案：－2 x＋y＋1＝0
