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2022人教版高考數(shù)學(xué)（浙江版）一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練：第三章第2講第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（含解析）
ID：49356 2021-10-08 1 3.00元 9頁(yè) 73.72 KB
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[A級(jí)　基礎(chǔ)練]1．函數(shù)f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上的單調(diào)情況是(　　)A．增函數(shù)　B．減函數(shù)C．先增后減　D．先減后增解析：選A.在(0，2π)上有f′(x)＝1－cosx＞0恒成立，所以f(x)在(0，2π)上單調(diào)遞增．2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(　　)A．f(b)＞f(c)＞f(d)B．f(b)＞f(a)＞f(e)C．f(c)＞f(b)＞f(a)D．f(c)＞f(e)＞f(d)解析：選C.由題意得，當(dāng)x∈(－∞，c)時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，c)上是增函數(shù)，因?yàn)閍2，則f(x)>2x＋4的解集為(　　)A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析：選B.由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.設(shè)F(x)＝f(x)－2x－4，則F′(x)＝f′(x)－2.因?yàn)閒′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上單調(diào)遞增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等價(jià)于F(x)>F(－1)，所以x>－1，選B.6．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析：因?yàn)閒(x)＝(x－3)ex，則f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)7．已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，則當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________，單調(diào)遞減區(qū)間是________．解析：由已知得f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． 因?yàn)閒′(x)＝a＋＝，所以當(dāng)x≥－時(shí)f′(x)≤0，當(dāng)0＜x＜－時(shí)f′(x)＞0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.答案：　8．若函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函數(shù)f(x)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，得f′(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，所以3ax2＋6x－1＝0需滿(mǎn)足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)9．(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝xe2－x＋ex，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)設(shè)f(x)＝ex(lnx－a)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解：(1)因?yàn)閒(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)與1－x＋ex－1同號(hào)．令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1.所以當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．故g(1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值，從而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)． 綜上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．(2)由題意可得f′(x)＝ex≤0在上恒成立．因?yàn)閑x>0，所以只需lnx＋－a≤0，即a≥lnx＋在上恒成立．令g(x)＝lnx＋.因?yàn)間′(x)＝－＝，由g′(x)＝0，得x＝1.x(1，e)g′(x)－＋g(x)g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，因?yàn)閑－1>1＋，所以g(x)max＝g＝e－1.故a≥e－1.[B級(jí)　綜合練]10．(2020·溫州七校聯(lián)考)對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿(mǎn)足(x－3)f′(x)≤0，則必有(　　)A．f(0)＋f(6)≤2f(3)B．f(0)＋f(6)＜2f(3)C．f(0)＋f(6)≥2f(3)D．f(0)＋f(6)＞2f(3)解析：選A.由題意知，當(dāng)x≥3時(shí)，f′(x)≤0，所以函數(shù)f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞減或?yàn)槌?shù)函數(shù)；當(dāng)x＜3時(shí)，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，3)上單調(diào)遞增或?yàn)槌?shù)函數(shù)，所以f(0)≤f(3)，f(6)≤f(3)，所以f(0)＋f(6)≤2f(3)，故選A. 11．(2020·浙江新高考沖刺卷)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．當(dāng)x≥0時(shí)，恒有f′(x)＋f(－x)≤0，若g(x)＝x2f(x)，則不等式g(x)＜g(1－2x)的解集為(　　)A．(，1)B．(－∞，)∪(1，＋∞)C．(，＋∞)D．(－∞，)解析：選A.因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)f(x)，所以f(－x)＝f(x)因?yàn)閤≥0時(shí)，恒有f′(x)＋f(－x)≤0，所以x2f′(x)＋2xf(x)≤0，因?yàn)間(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)≤0，所以g(x)在[0，＋∞)上為減函數(shù)，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以g(x)為偶函數(shù)，所以g(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，因?yàn)間(x)＜g(1－2x)所以|x|＞|1－2x|，即(x－1)(3x－1)＜0解得＜x＜1，選A.12．(2020·紹興、諸暨高考模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線(xiàn)方程是________；函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]內(nèi)的值域是________．解析：函數(shù)f(x)＝x3－3x，切點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)，導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2－3， 切線(xiàn)的斜率為－3，所以切線(xiàn)方程為y＝－3x；3x2－3＝0，可得x＝±1，x∈(－1，1)，y′＜0，函數(shù)是減函數(shù)，x∈(1，＋∞)，y′＞0函數(shù)是增函數(shù)，f(0)＝0，f(1)＝－2，f(2)＝8－6＝2，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]內(nèi)的值域是[－2，2]．答案：y＝－3x　[－2，2]13．已知函數(shù)g(x)＝x3－ax2＋2x.(1)若g(x)在(－2，－1)內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若g(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)因?yàn)間′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)內(nèi)為減函數(shù)，所以g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)內(nèi)恒成立，所以即解得a≤－3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3]．(2)因?yàn)間(x)在(－2，－1)內(nèi)不單調(diào)，g′(x)＝x2－ax＋2，所以g′(－2)·g′(－1)<0或由g′(－2)·g′(－1)<0，得(6＋2a)·(3＋a)<0，無(wú)解．由得 即解得－30，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．①當(dāng)a＝－時(shí)，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．②當(dāng)a<－時(shí)，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． ③當(dāng)－0，設(shè)x1，x2(x10，所以當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)－
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