[A級　基礎練]1．設函數(shù)f(x)＝xex＋1，則(　　)A．x＝1為f(x)的極大值點B．x＝1為f(x)的極小值點C．x＝－1為f(x)的極大值點D．x＝－1為f(x)的極小值點解析：選D.由f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)>0可得x>－1，即函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)；令f′(x)<0可得x<－1，即函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，所以x＝－1為f(x)的極小值點．故選D.2．函數(shù)y＝在[0，2]上的最大值是(　　)A.B.C．0D.解析：選A.易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得2≥x>1，所以函數(shù)y＝在[0，1]上單調(diào)遞增，在(1，2]上單調(diào)遞減，所以y＝在[0，2]上的最大值是y|x＝1＝，故選A.3．設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則下列圖象不可能為y＝f(x)圖象的是(　　)解析：選D.因為[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；選項D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0， 不滿足f′(－1)＋f(－1)＝0.4．函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象如圖所示，則x＋x等于(　　)A.B.C.D.解析：選C.函數(shù)f(x)的圖象過原點，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函數(shù)f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由題意知x1，x2是函數(shù)的極值點，所以x1，x2是f′(x)＝0的兩個根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.5．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，則實數(shù)k的取值范圍為(　　)A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]解析：選D.由題意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，所以k≤－3.6．(2020·臺州市高三期末考試)已知函數(shù)f(x)＝x2－3x＋lnx，則f(x)在區(qū)間[，2]上的最小值為________；當f(x)取到最小值時，x＝________． 解析：f′(x)＝2x－3＋＝(x＞0)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，當x∈[，1]時，f′(x)＜0，x∈[1，2]時，f′(x)＞0，所以f(x)在區(qū)間[，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，所以當x＝1時，f(x)在區(qū)間[，2]上的最小值為f(1)＝－2.答案：－2　17．若函數(shù)f(x)＝x3－3ax在區(qū)間(－1，2)上僅有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：因為f′(x)＝3(x2－a)，所以當a≤0時，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)沒有極值點，不符合題意；當a>0時，令f′(x)＝0得x＝±，當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表所示：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，2)上僅有一個極值點，所以或解得1≤a<4.答案：[1，4)8．(2020·義烏模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－nx(n>0)的最大值為g(n)，則使g(n)－n＋2>0成立的n的取值范圍為________．解析：易知f(x)的定義域為(0，＋∞)．因為f′(x)＝－n(x>0，n>0)，當x∈時，f′(x)>0，當x∈時，f′(x)<0， 所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值g(n)＝f＝－lnn－1.設h(n)＝g(n)－n＋2＝－lnn－n＋1.因為h′(n)＝－－1<0，所以h(n)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又h(1)＝0，所以當0h(1)＝0，故使g(n)－n＋2>0成立的n的取值范圍為(0，1)．答案：(0，1)9．已知函數(shù)f(x)＝ax2－blnx在點A(1，f(1))處的切線方程為y＝1.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．解：(1)f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－，f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，將a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2.(2)由(1)得f(x)＝x2－2lnx(x>0)，所以f′(x)＝2x－＝，令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得00，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2n；令f′(x)>0，得x1時，函數(shù)f(x)在[1，n)上單調(diào)遞增，在(n，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(n)＝m－1－lnn.14．(2020·溫州中學高三?？?已知函數(shù)f(x)＝ln(2ax＋1)＋－x2－2ax(a∈R)．(1)若x＝2為f(x)的極值點，求實數(shù)a的值；(2)若y＝f(x)在[3，＋∞)上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當a＝－時，方程f(1－x)＝＋有實根，求實數(shù)b的最大值．解：(1)f′(x)＝＋x2－2x－2a＝，因為x＝2為f(x)的極值點，所以f′(2)＝0，即－2a＝0，解得a＝0.(2)因為函數(shù)f(x)在[3，＋∞)上為增函數(shù)，所以f′(x)＝≥0在[3，＋∞)上恒成立．①當a＝0時，f′(x)＝x(x－2)>0在[3，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[3，＋∞) 上為增函數(shù)，故a＝0符合題意．②當a≠0時，由函數(shù)f(x)的定義域可知，必須有2ax＋1>0對x≥3恒成立，故只能a>0，所以2ax2＋(1－4a)x－(4a2＋2)≥0在[3，＋∞)上恒成立．令函數(shù)g(x)＝2ax2＋(1－4a)x－(4a2＋2)，其對稱軸為x＝1－，因為a>0，所以1－<1，要使g(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，即g(3)＝－4a2＋6a＋1≥0，所以≤a≤.因為a>0，所以00)，則h′(x)＝＋1－2x＝，所以當00，從而函數(shù)h(x)在(0，1)上為增函數(shù)，當x>1時，h′(x)<0，從而函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，因此h(x)≤h(1)＝0.而x>0，所以b＝x·h(x)≤0，因此當x＝1時，b取得最大值0.[C級　提升練]15．(2021·金華十校聯(lián)考)若函數(shù)y＝f(x)存在n－1(n∈N*)個極值點，則稱y＝f(x)為n折函數(shù)，例如f(x)＝x2為2折函數(shù)．已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，則f(x)為(　　) A．2折函數(shù)B．3折函數(shù)C．4折函數(shù)D．5折函數(shù)解析：選C.f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.易知x＝－2是f(x)的一個極值點，又ex＝3x＋2，結(jié)合函數(shù)圖象，y＝ex與y＝3x＋2有兩個交點．又e－2≠3×(－2)＋2＝－4.所以函數(shù)y＝f(x)有3個極值點，則f(x)為4折函數(shù)．16．(2020·浙江東陽中學期中檢測)設函數(shù)f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是________．解析：設g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由題意存在唯一的整數(shù)x0，使得g(x0)在直線y＝ax－a的下方，因為g′(x)＝ex(2x＋1)，所以當x<－時，g′(x)<0，當x>－時，g′(x)>0，所以當x＝－時，g(x)min＝－2e－，當x＝0時，g(0)＝－1，g(1)＝e>0，直線y＝ax－a恒過(1，0)，斜率為a，故－a>g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得≤a<1.答案：≤a<1