專題五　萬有引力與航天應(yīng)用篇【應(yīng)用集訓(xùn)】應(yīng)用一　衛(wèi)星變軌問題的分析方法1.(2020山東青島膠州期中,11)(多選)如圖,我國發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí),先進(jìn)入一個(gè)近地的圓軌道1,然后在P點(diǎn)經(jīng)極短時(shí)間點(diǎn)火變速后進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道2(該橢圓軌道2的近地點(diǎn)為近地圓軌道1上的P點(diǎn),遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步軌道3上的Q點(diǎn)),到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)再次經(jīng)極短時(shí)間點(diǎn)火變速后,進(jìn)入同步軌道3,設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的速率為v1,在P點(diǎn)經(jīng)極短時(shí)間變速后的速率為v2,沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3,在Q點(diǎn)經(jīng)極短時(shí)間變速后進(jìn)入同步軌道后的速率為v4,下列說法正確的是(　　)A.v2>v1B.v3>v4C.衛(wèi)星在軌道2的運(yùn)行周期大于在軌道3的運(yùn)行周期D.衛(wèi)星在軌道2上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能守恒答案　AD　2.(2020山東臨沂蒙陰實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,9)(多選)發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí),先將衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道1,然后點(diǎn)火,使其沿橢圓軌道2運(yùn)行,最后再次點(diǎn)火,將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn),軌道2、3相切于P點(diǎn),如圖所示,則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí),下列說法中正確的是(　　)A.衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B.衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度C.衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度D.衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度答案　BD　應(yīng)用二　雙星及多星問題1.雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成,兩恒星在相互引力的作用下,分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn),雙星系統(tǒng)演化過程中,兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,經(jīng)過一段時(shí)間演化后,兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍,兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍,則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為(　　),　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.T　　B.TC.T　　D.T答案　B　2.(2020山東煙臺(tái)期中,6)天狼星是除太陽外全天最亮的恒星,它是由一顆藍(lán)矮星和一顆白矮星組成的雙星系統(tǒng),它們互相繞轉(zhuǎn)的周期約為50年,間距約為30億公里,若它們繞轉(zhuǎn)的軌道近似為圓軌道,由這些數(shù)據(jù)和引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí),可以估算出藍(lán)矮星和白矮星的(　　)A.質(zhì)量之比　　B.質(zhì)量之差C.總質(zhì)量之和　　D.總質(zhì)量之積答案　C　應(yīng)用三　天體的追及相遇問題的分析方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　(多選)某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓,每過N年,該行星會(huì)運(yùn)行到日地連線的延長線上(相距最近),如圖所示,該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比為a,公轉(zhuǎn)周期之比為b,則(　　)A.a=　　B.b=C.b=　　D.a=　答案　BD　[教師專用題組]【應(yīng)用集訓(xùn)】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2020遼寧沈陽模擬)設(shè)宇宙中某一小行星自轉(zhuǎn)較快,但仍可近似看成質(zhì)量分布均勻的球體,半徑為R。宇航員用彈簧測(cè)力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)自己靜止的小物體的重力,第一次在極點(diǎn)處,彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)為F1=F0;第二次在赤道處,彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)為F2=。假設(shè)第三次在赤道平面內(nèi)深度為的隧道底部,示數(shù)為F3;第四次在距行星表面高度為R處繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星中,示數(shù)為F4。已知均勻球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零,則以下判斷正確的是(　　)A.F3=、F4=　　B.F3=、F4=0C.F3=、F4=0　　D.F3=4F0、F4=答案　B　設(shè)該行星的質(zhì)量為M,則質(zhì)量為m的物體在極點(diǎn)處受到的萬有引力F1==F0。在赤道處,彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)為F2=,則向心力Fn2=F1-F2=F0=mω2·R。由于該行星的體積為V=πR3,所以該行星距球心以內(nèi)的部分的質(zhì)量為M'=·M=M,物體在赤道平面內(nèi)深度為處受到的萬有引力F3'==F1=F0,物體需要的向心力Fn3=mω2·=mω2R=F0,所以在赤道平面內(nèi)深度為的隧道底部,彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F3=F3'-Fn3=F0-F0=F0。第四次在距行星表面高度為R處繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星中時(shí),物體受到的萬有引力恰好提供向心力,所以彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為0,即F4=0,故B正確。2.(2020浙南名校聯(lián)考)(多選)2017年9月25日17時(shí)開始,微信啟動(dòng)頁背景中的地球圖片由非洲大陸上空視角,變化成了我們的祖國上空。以前微信開啟時(shí)顯示的地球圖片是美國衛(wèi)星成像圖,,而新版影像則是由“風(fēng)云四號(hào)”衛(wèi)星實(shí)際拍攝而成。“風(fēng)云四號(hào)”是一顆靜止軌道衛(wèi)星。如圖所示,1是靜止在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體,2是近地衛(wèi)星,3是“風(fēng)云四號(hào)”衛(wèi)星。R為地球的半徑,r為物體或衛(wèi)星到地心的距離,T、v、ω、a分別為物體或衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期、線速度、角速度和向心加速度。下列圖像可能正確的是(　　)答案　AC　物體1和衛(wèi)星3的周期相同,而衛(wèi)星2和衛(wèi)星3均繞地球轉(zhuǎn)動(dòng),則=,選項(xiàng)A正確;物體1和衛(wèi)星3的角速度相同,故v=ωr,而對(duì)于衛(wèi)星2和衛(wèi)星3,則有G=m,即v=,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;物體1和衛(wèi)星3的角速度相同,而對(duì)于衛(wèi)星2和衛(wèi)星3,則有G=mω2r,即ω2=,選項(xiàng)C正確;物體1和衛(wèi)星3的角速度相同,故a=ω2r,對(duì)于衛(wèi)星2和衛(wèi)星3,則有G=ma,則a=,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。3.(2020湖北武漢模擬)2020年6月23日09時(shí)43分,第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射。這是北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)第三顆地球同步軌道(GEO)衛(wèi)星,也是北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)最后一顆衛(wèi)星,歷時(shí)20余年建設(shè)的中國北斗導(dǎo)航系統(tǒng)將正式完成全球組網(wǎng)。北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由靜止地球同步軌道衛(wèi)星、傾斜地球同步軌道衛(wèi)星和中圓地球軌道衛(wèi)星組成。中圓地球軌道衛(wèi)星繞行周期為12h,運(yùn)行軌道平面與赤道共面,繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同,同步衛(wèi)星軌道半徑是地球半徑的k倍。則(　　)A.中圓地球軌道衛(wèi)星與靜止地球同步軌道衛(wèi)星的軌道半徑之比為1∶2B.中圓地球軌道衛(wèi)星與在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的某物體的線速度之比為2k2∶1C.單位時(shí)間內(nèi)同步衛(wèi)星掃過的面積是中圓地球軌道衛(wèi)星的4倍D.中圓地球軌道衛(wèi)星每24h掃描地球赤道一圈答案　D　由開普勒第三定律=k可知中圓地球軌道衛(wèi)星與靜止地球同步軌道衛(wèi)星的軌道半徑之比為,A錯(cuò)誤;對(duì)中圓地球軌道衛(wèi)星與靜止地球同步軌道衛(wèi)星,由=m可知v=,對(duì)靜止地球同步軌道衛(wèi)星與在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的某物體,有v=ωr,聯(lián)立可知B錯(cuò)誤;運(yùn)動(dòng)天體與中心天體的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積S0=,由開普勒第三定律=k,可得S0=π,結(jié)合選項(xiàng)A的分析可知C錯(cuò)誤;設(shè)中圓地球軌道衛(wèi)星掃描地球赤道一圈的時(shí)間為Δt,這個(gè)過程中,中圓地球軌道衛(wèi)星比地球自轉(zhuǎn)多一圈,則有-=1,解得Δt=24h,所以D正確。4.(2020北京順義二模)2019年1月3日10時(shí)26分,“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功在月球背面著陸,標(biāo)志著我國探月航天工程達(dá)到了一個(gè)新高度,圖示為“嫦娥四號(hào)”到達(dá)月球背面的巡視器。已知地球和月球的半徑之比約為4∶1,其表面重力加速度之比約為6∶1。則地球和月球相比較,下列說法中最接近實(shí)際的是(　　),A.地球的密度與月球的密度之比為3∶2B.地球的質(zhì)量與月球的質(zhì)量之比為64∶1C.地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度之比為8∶1D.蘋果在地球表面受到的引力與它在月球表面受到的引力之比為60∶1答案　A　由G=mg得M=,則=×=,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;由M=、V=πR3、ρ=得ρ=,則=×=,A選項(xiàng)正確;由G=m和G=mg得v1=,則==,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;由F=G得=×=×=,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。5.(2020重慶一中期末)貴州的“中國天眼”(FAST)是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠(yuǎn)鏡。通過FAST測(cè)得水星與太陽的視角為θ(水星、太陽分別與觀察者的連線所夾的角),如圖所示。若最大視角的正弦值為k,地球和水星繞太陽的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng),則水星的公轉(zhuǎn)周期為(　　)A.年　　B.年C.年　　D.年答案　C　本題應(yīng)先理解最大視角的定義,如圖所示,連接太陽、水星和觀察者,構(gòu)成虛線三角形,由正弦定理得=,當(dāng)sinα=1,即α=90°時(shí)θ最大,此時(shí)觀察者與水星的連線與水星軌道相切,由三角函數(shù)可得,此時(shí)sinθ==k,由萬有引力提供向心力得G=mr,解得T=2π,故==(也可以直接由開普勒第三定律得到),得T水=T地·,而T地=1年,故T水=年,故選C。6.(2020天津和平耀華中學(xué)月考)在X星球表面,宇航員做了一個(gè)實(shí)驗(yàn):如圖甲所示,輕桿一端固定在O點(diǎn),另一端固定一小球,現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),受到的彈力為F,速度大小為v,其F-v2圖像如圖乙所示。已知X星球的半徑為R0,引力常量為G,不考慮星球自轉(zhuǎn)。則下列說法正確的是(　　)A.X星球的第一宇宙速度v1=B.X星球的密度ρ=C.X星球的質(zhì)量M=D.環(huán)繞X星球運(yùn)行的離星球表面高度為R0的衛(wèi)星的周期T=4π答案　D　小球在最高點(diǎn)時(shí)有mg0-F=m,可得F=mg0-,當(dāng)F=0時(shí),有mg0=m,可得g0=,則X星球的第一宇宙速度為v1==,故A錯(cuò)誤;根據(jù)G=mg0,可得X星球的質(zhì)量為M==,X星球的密度為ρ===,當(dāng)v2=0時(shí),有mg0=a,則小球的質(zhì)量m==,故B、C錯(cuò)誤;根據(jù),G=m,解得T=2π,則環(huán)繞X星球運(yùn)行的離星球表面高度為R0的衛(wèi)星的周期為T=2π=4π,故D正確。7.(2020湖北八校一聯(lián))中國志愿者王躍參與人類歷史上第一次全過程模擬從地球往返火星的試驗(yàn)“火星-500”。假設(shè)將來人類一艘飛船從火星返回地球時(shí),經(jīng)歷如圖所示的變軌過程,則下列說法不正確的是　(　　)A.飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí),在P點(diǎn)的速度大于在Q點(diǎn)的速度B.飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)時(shí),在P點(diǎn)的速度大于在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)在P點(diǎn)的速度C.飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度等于飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度D.若軌道Ⅰ貼近火星表面,測(cè)出飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期,就可以推知火星的密度答案　B　在軌道Ⅱ上,由Q點(diǎn)到P點(diǎn),萬有引力做正功,根據(jù)動(dòng)能定理知,速度增大,則在P點(diǎn)的速度大于在Q點(diǎn)的速度,故A正確;飛船在軌道Ⅰ上的P點(diǎn)進(jìn)入軌道Ⅱ,要做離心運(yùn)動(dòng),需加速,可知在軌道Ⅱ上時(shí)在P點(diǎn)的速度大于在軌道Ⅰ上時(shí)在P點(diǎn)的速度,故B錯(cuò)誤;在不同軌道上的P點(diǎn),由于所受的萬有引力相等,根據(jù)牛頓第二定律知,加速度大小相等,故C正確;設(shè)火星的半徑為R,根據(jù)G=mR得火星的質(zhì)量M=,則火星的密度ρ===,故D正確。8.(2019湖南常德一模)(多選)2018年12月8日發(fā)射成功的“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器經(jīng)過約110小時(shí)奔月飛行,到達(dá)月球附近,成功實(shí)施近月制動(dòng),順利完成“太空剎車”,被月球捕獲并順利進(jìn)入環(huán)月軌道?，F(xiàn)將整個(gè)奔月過程簡化如下:“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器從地球表面發(fā)射后,進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道,經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)變軌進(jìn)入距離月球表面100km的圓形軌道Ⅰ,在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)再次變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ,之后將擇機(jī)在Q點(diǎn)著陸月球表面。下列說法正確的是(　　)A.“嫦娥四號(hào)”沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí),在P點(diǎn)的加速度大于在Q點(diǎn)的加速度B.“嫦娥四號(hào)”沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期大于沿軌道Ⅰ運(yùn)行的周期C.“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速度小于月球的第一宇宙速度D.“嫦娥四號(hào)”在地月轉(zhuǎn)移軌道上M點(diǎn)的速度大于在軌道Ⅰ上M點(diǎn)的速度答案　CD　根據(jù)萬有引力提供向心力有=ma,可得a=,可知“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí),在P點(diǎn)的加速度小于在Q點(diǎn)的加速度,故A錯(cuò)誤;“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)軌道的半長軸小于在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的軌道半徑,根據(jù)開普勒第三定律可知“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅱ上運(yùn)行周期小于在軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期,故B錯(cuò)誤;月球的第一宇宙速度是物體貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度,“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅰ上的軌道半徑大于月球半徑,根據(jù)=,可得線速度v=,可知“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速度比月球的第一宇宙速度小,故C正確;“嫦娥四號(hào)”在地月轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)若要進(jìn)入軌道Ⅰ,需減速做向心運(yùn)動(dòng),所以在地月轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過M點(diǎn)的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度大,故D正確。9.(2020湘贛皖第二次聯(lián)考)(多選)在天體運(yùn)動(dòng)中,把兩顆相距很近的恒星稱為雙星。已知組成某雙星系統(tǒng)的兩顆恒星A、B的質(zhì)量分別為m1和m2,相距為L。在萬有引力作用下各自繞它們連線上的某一點(diǎn),在同一平面內(nèi)做,勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中二者之間的距離始終不變。已知引力常量為G。恒星A的動(dòng)能為Ek,則恒星B的動(dòng)能為(　　)A.G-Ek　　B.G-EkC.Ek　　D.Ek答案　BC　對(duì)雙星,都是萬有引力提供向心力,故G=m1ω2R1=m2ω2R2,其中L=R1+R2,聯(lián)立解得R1=,R2=,根據(jù)v=rω,則==,則===,即Ek2=Ek,C正確,D錯(cuò)誤;G=m2=,即Ek2=·,同理Ek=·,則Ek+Ek2=·=,則Ek2=G-Ek,B正確,A錯(cuò)誤?！炯记牲c(diǎn)撥】解決雙星、多星問題,要抓住四點(diǎn)(1)雙星或多星的特點(diǎn)、規(guī)律,確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識(shí),尋找兩者之間的關(guān)系,正確計(jì)算萬有引力。10.(2020貴州貴陽一模)(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于邊長為L的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三個(gè)星體的質(zhì)量均為M,并設(shè)兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同,則(　　)A.直線三星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v=B.直線三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為T=4πRC.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為L=RD.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v'=答案　BC　對(duì)直線三星系統(tǒng)中的其中一顆環(huán)繞星,有G+G=M,解得v=,A錯(cuò)誤;根據(jù)T=,可知B正確;對(duì)三角形三星系統(tǒng)中的任意一顆星體,有2Gcos30°=M()·()2,三角形三星系統(tǒng)的周期等于直線三星系統(tǒng)的周期,T=4πR·,聯(lián)立解得L=R,C正確;根據(jù)T=,若按照r=R計(jì)算,就會(huì)得到v'=,但r=≠R,故D錯(cuò)誤。