專題五　萬有引力與航天【專題檢測】A組一、選擇題1.(2018河北五校聯(lián)考,5,4分)如圖所示,A為太陽系中的天王星,它繞太陽O運行的軌道視為圓時,運動的軌道半徑為R0,周期為T0,長期觀測發(fā)現(xiàn),天王星實際運動的軌道與圓軌道總有一些偏離,且每隔t0時間發(fā)生一次最大偏離,即軌道半徑出現(xiàn)一次最大,根據(jù)萬有引力定律,天文學(xué)家預(yù)言形成這種現(xiàn)象的原因可能是天王星外側(cè)還存在著一顆未知的行星(假設(shè)其運動軌道與A在同一平面內(nèi),且與A的繞行方向相同),它對天王星的萬有引力引起天王星軌道的偏離,由此可推測未知行星的運動軌道半徑是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.R0　　B.R0C.R0　　D.R0答案　D　由開普勒第三定律有=,得R=R0,又由題意有-=1,則=,得R=R0,D對。2.(2020屆海南模擬)(多選)為了研究某彗星,人類先后發(fā)射了兩顆人造衛(wèi)星。衛(wèi)星A在彗星表面附近做勻速圓周運動,運行速度為v,周期為T;衛(wèi)星B繞彗星做勻速圓周運動的半徑是彗星半徑的n倍。引力常量為G,則下列計算正確的是(　　)A.彗星的半徑為B.彗星的質(zhì)量為C.彗星的密度為D.衛(wèi)星B的運行角速度為答案　ACD　由題意可知,衛(wèi)星A繞彗星表面做勻速圓周運動,則彗星的半徑滿足R=,故A正確;根據(jù)G=m,解得M=,故B錯誤;彗星的密度為ρ===,故C正確;根據(jù)G=mω2r,=mR,r=nR,則衛(wèi)星B的運行角速度為,故D正確。3.(2020屆河北衡水模擬)兩顆互不影響的行星P1、P2,各有一顆衛(wèi)星S1、S2繞其表面附近做勻速圓周運動,圖中縱軸表示行星周圍空間某位置的引力加速度a,橫軸表示某位置到行星中心距離的平方的倒數(shù),a-關(guān)系圖像如圖所示,衛(wèi)星S1、S2表面處的引力加速度大小均為a0。則(　　)A.S1的質(zhì)量比S2的大B.P1的質(zhì)量比P2的大C.S1的線速度比S2的線速度小D.S1的線速度比S2的線速度大,答案　BD　本題考查萬有引力定律、人造衛(wèi)星,體現(xiàn)了科學(xué)推理等核心素養(yǎng)要素。由題給信息不能判斷衛(wèi)星S1、S2質(zhì)量的大小關(guān)系,由牛頓第二定律得G=ma,得a=,可知a-圖像斜率的大小表示GM的大小,故P1的質(zhì)量大于P2的質(zhì)量,選項A錯誤,B正確;由a0=可知,v=,由圖得S1繞P1運動的軌道半徑比S2繞P2運動的軌道半徑大,可知S1的線速度比S2的線速度大,選項C錯誤,D正確。4.(2019遼寧大連模擬)2017年8月28日,中科院南極天文中心的巡天望遠(yuǎn)鏡觀測到一個由雙中子星構(gòu)成的孤立雙星系統(tǒng)產(chǎn)生的引力波。該雙星系統(tǒng)以引力波的形式向外輻射能量,使得圓周運動的周期T極其緩慢地減小,雙星的質(zhì)量m1與m2均不變,則下列關(guān)于該雙星系統(tǒng)變化的說法正確的是(　　)A.雙星的間距逐漸增大B.雙星間的萬有引力逐漸增大C.雙星的線速度逐漸增大D.雙星系統(tǒng)的引力勢能逐漸增大答案　BC　萬有引力提供向心力,由牛頓第二定律得=m1()2r1=m2()2r2=m1=m2,其中r1+r2=L,解得周期T=,周期減小,則雙星的間距L減小,萬有引力增大,萬有引力對雙星做正功,雙星系統(tǒng)引力勢能減小,v1=,v2=,雙星的間距L減小,雙星各自的線速度增大,故B、C正確,A、D錯誤。5.(2019重慶江津模擬)北斗導(dǎo)航已經(jīng)應(yīng)用于多種手機(jī),如圖所示,導(dǎo)航系統(tǒng)的一顆衛(wèi)星原來在較低的橢圓軌道Ⅱ上飛行,到達(dá)A點時轉(zhuǎn)移到圓軌道Ⅰ上。若圓軌道Ⅰ離地球表面的高度為h1,橢圓軌道Ⅱ近地點離地球表面的高度為h2。地球表面的重力加速度為g,地球半徑為R,則下列說法正確的是(　　)A.衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能B.衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的運行速率v=C.若衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ上運行的周期是T1,則衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的周期T2=T1D.若衛(wèi)星沿軌道Ⅱ運行到A點的速度大小為vA,則“衛(wèi)星”運行到B點的速度vB=vA答案　ABC　衛(wèi)星從軌道Ⅱ進(jìn)入軌道Ⅰ要在A點加速,則衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能,選項A正確;衛(wèi)星在軌道Ⅰ上,G=m,又=mg,解得v=,選項B正確;根據(jù)開普勒第三定律可得=,解得T2=T1,選項C正確;根據(jù)開普勒第二定律得vA(h1+R)=vB(h2+R),解得vB=vA,選項D錯誤。二、非選擇題6.(2019遼寧省實驗中學(xué)、大連八中、東北育才等五校聯(lián)考,16)閱讀資料,并根據(jù)資料中有關(guān)信息回答問題。(1)以下是地球和太陽的有關(guān)數(shù)據(jù)平均半徑R地=6.371×106mR日=110R地質(zhì)量M地M日=333000M地平均密ρ地ρ日=ρ地/4,度自轉(zhuǎn)周期1天赤道附近26天,兩極附近大于30天　　(2)已知物體繞地球表面做勻速圓周運動的速度為v=7.9km/s,引力常量G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2,光速c=3×108m·s-1,地球表面的重力加速度取10m/s2;(3)大約200年前法國數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家拉普拉斯曾預(yù)言一個密度如地球,直徑為太陽250倍的發(fā)光星體由于其引力作用不允許任何光線離開它,其逃逸速度大于真空中的光速(逃逸速度為第一宇宙速度的倍),這一奇怪的星體就叫做黑洞。在下列問題中,把星體(包括黑洞)看作是一個質(zhì)量分布均勻的球體。(①②的計算結(jié)果用科學(xué)計數(shù)法表達(dá),且保留一位有效數(shù)字;③的推導(dǎo)結(jié)論用字母表達(dá))①試估算地球的質(zhì)量;②試估算太陽表面的重力加速度;③已知某星體演變?yōu)楹诙磿r的質(zhì)量為M,求該星體演變?yōu)楹诙磿r的臨界半徑R。答案?、?×1024kg　②3×102m/s2?、劢馕觥、傥矬w繞地球表面做勻速圓周運動時有=m解得M地==6×1024kg②在地球表面=mg地解得g地=同理在太陽表面g日=g日=g地≈3×102m/s2③在星體表面有=m該星體演變?yōu)楹诙磿r的逃逸速度v2=c=v1解得R=溫馨提示　本題考查了萬有引力定律及圓周運動向心力公式的直接應(yīng)用,要注意任何物體(包括光子)都不能脫離黑洞的束縛,那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速。B組一、選擇題1.若“嫦娥五號”衛(wèi)星在距月球表面H處的環(huán)月軌道Ⅰ上做勻速圓周運動,其運行的周期為T;隨后“嫦娥五號”在該軌道上某點采取措施,使衛(wèi)星降至橢圓軌道Ⅱ上,如圖所示。若近月點接近月球表面,而H等于月球半徑,忽略月球自轉(zhuǎn)及地球?qū)πl(wèi)星的影響,則“嫦娥五號”在軌道Ⅱ上的運行周期為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.T　　B.T　　C.T　　D.T答案　C　在軌道Ⅰ上,軌道半徑r=R+H=2H,在軌道Ⅱ上,半長軸為a==H,根據(jù)開普勒第三定律知=,解得T1=T,故C正確。,2.(2019福建聯(lián)考)每年6月21日前后是“夏至”時節(jié),太陽幾乎直射北回歸線,北半球各地晝最長,夜最短。如圖乙所示為位于廣東省汕頭市雞籠山南麓的汕頭北回歸線標(biāo)志塔。已知引力常量為G,地球半徑為R,重力加速度為g,自轉(zhuǎn)周期為T,光速為c,汕頭市的緯度為θ。則(　　)A.同步衛(wèi)星的質(zhì)量為B.地球的平均密度為C.同步衛(wèi)星到地心的距離為D.地球同步衛(wèi)星發(fā)射的電磁波傳到汕頭北回歸線標(biāo)志塔的最短時間為(其中r=)答案　D　在地球表面上,有mg=G,解得M=,此為地球質(zhì)量的表達(dá)式,故A錯誤;地球的平均密度為ρ==,故B錯誤;根據(jù)萬有引力提供向心力,則有G=mr,解得r=,又M=,代入得r=,故C錯誤;地球同步衛(wèi)星發(fā)射的電磁波到汕頭市的最短路程如圖所示,根據(jù)幾何關(guān)系得s=,故最短時間為t==,其中r=,故D正確。3.(多選)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m,半徑均為R,四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上,其中L遠(yuǎn)大于R。已知引力常量為G,忽略星體的自轉(zhuǎn),則關(guān)于四星系統(tǒng),下列說法正確的是(　　)A.四顆星做圓周運動的軌道半徑為B.四顆星做圓周運動的線速度均為C.四顆星做圓周運動的周期均為2πD.四顆星表面的重力加速度均為G答案　CD　如圖所示,四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動,軌道半徑r=L。取任一頂點上的星體為研究對象,它受到其他三顆星體的萬有引力的合力為F合=G+G,由F合=F向=m=m,解得v=,T=2π,故A、B項錯誤,C項正確。對于在星體表面質(zhì)量為m0的物體,受到的重力等于萬有引力,則有m0g0=G,故g0=G,D項正確。4.(2019福建泉州摸底,8,4分)當(dāng)?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且二者幾乎排成一條直線時,稱之為“木星沖日”,2016年3月8日出現(xiàn)了一次“木星沖日”。已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動,木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍。則下列說法正確的是(　　),A.下一次的“木星沖日”時間肯定在2018年B.下一次的“木星沖日”時間肯定在2017年C.木星運行的加速度比地球的大D.木星運行的周期比地球的小答案　B　木星和地球繞太陽做圓周運動,都是萬有引力提供向心力,故加速度a==,木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍,故木星運行的加速度比地球的小,故C錯誤;萬有引力提供向心力,由=mr,得T=2π,木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍,地球公轉(zhuǎn)周期為T1=1年,那么木星公轉(zhuǎn)周期為T2=T1≈11.2T1=11.2年;那么“木星沖日”的周期為T',則有-=1,所以T'=≈年≈1.1年,因2016年3月8日出現(xiàn)了一次“木星沖日”,下一次的“木星沖日”時間肯定在2017年,故A、D錯誤,B正確。5.(2019福建廈門模擬)物體在萬有引力場中具有的勢能叫做引力勢能。若取兩物體相距無窮遠(yuǎn)時的引力勢能為零,一個質(zhì)量為m0的質(zhì)點距質(zhì)量為M0的引力中心為r0時,其引力勢能Ep=-(式中G為引力常量)。一顆質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星以半徑為r1的圓形軌道環(huán)繞地球飛行,已知地球的質(zhì)量為M,要使此衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑增大為r2,則在此過程中(　　)A.衛(wèi)星勢能增加了GMm(-)B.衛(wèi)星動能減少了(-)C.衛(wèi)星機(jī)械能增加了(-)D.衛(wèi)星上的發(fā)動機(jī)所消耗的最小能量為(-)答案　AC　引力勢能的增加量ΔEp=--(-)=GMm(-),故A正確;根據(jù)萬有引力提供向心力可知=m,解得Ek1=m=,同理,Ek2=,所以,動能的減少量為ΔEk=-=(-),故B錯誤;根據(jù)能量守恒定律,衛(wèi)星機(jī)械能增加量等于發(fā)動機(jī)消耗的最小能量,衛(wèi)星機(jī)械能增加量ΔE=ΔEp-ΔEk=(-),故C正確,D錯誤。6.(2020湖北恩施高中月考)(多選)一探測器探測某星球表面時做了兩次測量。探測器先在近星軌道上做圓周運動測出運行周期T;著陸后,探測器將一小球以不同的速度豎直向上拋出,測出了小球上升的最大高度h與拋出速度v的二次方的關(guān)系,如圖所示,圖中a、b已知,引力常量為G,忽略空氣阻力的影響,根據(jù)以上信息可求得(　　)A.該星球表面的重力加速度為B.該星球的半徑為C.該星球的密度為D.該星球的第一宇宙速度為答案　BC　小球豎直上拋,上升的最大高度h=,h-v2直線的斜率k==,得g0=,故A錯誤;探測器在近星軌道上做勻速圓周運動,設(shè)星球半徑為R,根據(jù)萬有引力提供向心力,有G=mR,得T=,對星球表面任意一個物體,有m0g0=G,聯(lián)立可得T=2π,將g0=代入計算得出R=,故B正確;探測器先在近星軌道上做圓周運動,根據(jù)萬有引力提供向心力,有G=mR,計算得出M=,由密度公式有ρ===,故C正確;該星球的近地衛(wèi)星的運行速度即第一宇宙速度,由G=mg0=m,得v==×=,故D錯誤。二、非選擇題7.(2018遼寧遼南協(xié)作校一模,24)宇航員在一行星上以速度v0豎直上拋一質(zhì)量為m的物體,不計空氣阻力,2t后落回手中,已知該星球半徑為R。,(1)求出該星球的第一宇宙速度的大小。(2)求出該星球的第二宇宙速度的大小。已知取無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零時,物體與星球球心距離為r時的引力勢能為:Ep=-G(G為引力常量)。答案　(1)　(2)解析　(1)由題意可知該星球表面重力加速度為:g=mg=m,得到:v1==(2)由星球表面重力加速度g=可知引力勢能為:Ep=-G=-=-由機(jī)械能守恒得到:m-=0,v2=。溫馨提示　第二宇宙速度就是物體克服星球引力做功最終能脫離星球的最小速度。8.(2019北京東城期末,19)如圖,圓軌道Ⅲ為地球同步衛(wèi)星軌道,發(fā)射同步衛(wèi)星的過程可以簡化為以下模型:先讓飛船進(jìn)入一個近地圓軌道Ⅰ(離地高度可忽略不計),經(jīng)過軌道上P點時點火加速,進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ,該橢圓軌道Ⅱ的近地點為圓軌道Ⅰ上的P點,遠(yuǎn)地點為圓軌道Ⅲ上的Q點,到達(dá)遠(yuǎn)地點Q時再次點火加速,進(jìn)入軌道Ⅲ。已知引力常量為G,地球質(zhì)量為M,地球半徑為R,飛船質(zhì)量為m,同步衛(wèi)星軌道距地面高度為h。當(dāng)飛船距離地心的距離為r時,地球與飛船組成的系統(tǒng)的引力勢能為Ep=-(取無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零),忽略地球自轉(zhuǎn)和噴氣后飛船質(zhì)量的變化,問:(1)在近地軌道Ⅰ上運行時,飛船的動能是多少?(2)若飛船在轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ上運動過程中,只有引力做功,引力勢能和動能相互轉(zhuǎn)化。已知飛船在橢圓軌道Ⅱ上運行時,經(jīng)過P點時的速率為v1,則經(jīng)過Q點時的速率v2為多大?(3)若在近地圓軌道Ⅰ上運行時,飛船上的發(fā)射裝置短暫工作,將小探測器射出,并使它能脫離地球引力范圍(即探測器可以到達(dá)離地心無窮遠(yuǎn)處),則探測器離開飛船時的速度v3(相對于地心)至少是多少?(探測器離開地球的過程中只有引力做功,動能轉(zhuǎn)化為引力勢能)答案　(1)　(2)　(3)解析　(1)在近地軌道Ⅰ(離地高度忽略不計)上運行時,飛船在萬有引力作用下做勻速圓周運動有:G=m則飛船的動能為Ek=mv2=(2)飛船在轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ上運動過程中,只有引力做功,引力勢能和動能相互轉(zhuǎn)化。由能量守恒定律可知動能的減少量等于引力勢能的增加量,m-m=--飛船在橢圓軌道上運行,經(jīng)過P點時速率為v1,則經(jīng)過Q點時速率為v2=(3)若在近地圓軌道Ⅰ上運行時,飛船上的發(fā)射裝置短暫工作,將小探測器射出,并使它能脫離地球引力范圍(即探測器可以到達(dá)離地心無窮遠(yuǎn)處),動能全部用來克服引力做功,轉(zhuǎn)化為引力勢能。則:G=m'則探測器離開飛船時的速度(相對于地心)至少是v3=。