初中數(shù)學(xué)中考沖刺-與圓有關(guān)的角專題知識(shí)考點(diǎn)：1、掌握與圓有關(guān)的角，如圓心角、圓周角、弦切角等概念；2、掌握?qǐng)A心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)；3、掌握?qǐng)A周角定理及其推論；4、掌握弦切角定理及其推論；5、掌握各角之間的轉(zhuǎn)化及其綜合運(yùn)用。精典例題：【例1】如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，點(diǎn)P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度數(shù)。分析：注意條件AC＝BC＝PC，聯(lián)想到圓的定義，畫出以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑的圓，問(wèn)題則得以解決。解：∵AC＝BC，PC＝BC∴A、B、P三點(diǎn)在以C為圓心，AC為半徑的圓上若P、C在AB的同側(cè)，則∠APB＝∠ACB∵∠ACB＝1000，∴∠APB＝500若P、C在AB的異側(cè)，則∠APB＝1800－50＝1300 【例2】如圖，在△ABC中，∠B＝900，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC切于點(diǎn)D，直線ED交BC的延長(zhǎng)線于F，若AD∶AE＝2∶1，求cot∠F的值。分析：由AD∶AE＝2∶1和△ADE∽△ABD有DE∶DB＝1∶2，而∠F＝∠EBD，則cot∠F＝cot∠EBD＝，故結(jié)論得證。解：連結(jié)BD∵AC為⊙O的切線，∴∠1＝∠2∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD∴，即∴∵BE為⊙O的直徑，∴∠BDE＝900∴∠2＋∠BEF＝900，∵∠F＋∠BEF＝900，∴∠2＝∠F∴cot∠F＝cot∠2＝＝2【例3】如圖，由矩形ABCD的頂點(diǎn)D引一條直線分別交BC及AB的延長(zhǎng)線于F、G，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交△BGF的外接圓于H，連結(jié)GH、BH。（1）求證：△DFA∽△HBG；（2）過(guò)A點(diǎn)引圓的切線AE，E為切點(diǎn)，AE＝，CF∶FB＝ 1∶2，求AB的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，又知AD＝6，求tan∠HBG的值。分析：（1）證∠DAF＝∠AFB＝∠BGH，∠DFA＝∠HFG＝∠HBG即可；（2）由DC∥AG，得CF∶FB＝CD∶BG＝1∶2，則AB∶AG＝1∶3，由切割線定理得AB＝3；（3）由（2）知AB＝3，AG＝9，過(guò)A作AQ⊥DG于Q。由得。所以DF＝DG＝。由得，所以。故tan∠HBG＝tan∠HFG＝tan∠QFA＝＝18。探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題一】如圖，已知，半圓的直徑AB＝6cm，CD是半圓上長(zhǎng)為2cm的弦，問(wèn)：當(dāng)弦CD在半圓上滑動(dòng)時(shí)，AC和BD延 長(zhǎng)線的夾角是定值嗎？若是，試求出這個(gè)定角的正弦值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：本題有一定難度，連結(jié)BC（或AD）可構(gòu)成直角三角形，這是遇直徑常用的輔助線。解；連結(jié)BC∵CD為定長(zhǎng)，雖CD滑動(dòng)，但的度數(shù)不變，∴∠PBC為定值∴∠P＝∠ACP－∠PBC＝900－∠PBC為定值∵∠PCD＝∠PBA，∴△PCD∽△PBA∴在Rt△PBC中，cos∠P＝，∴sin∠P＝評(píng)注：本題是在變中尋不變，有一定的難度，但考慮到常用的輔助線――直徑，問(wèn)題便迎刃而解了。變式：如圖，BC與AD交于E，其它條件與上題一致，問(wèn)∠P與∠DEB的大小關(guān)系？分析：∵AB為直徑，則∠PCB＝∠ADB＝900，而cos∠P＝，又∵△CED∽△AEB，∴＝cos∠DEB?！郼os∠P＝cos∠DEB，故∠P與∠DEB的大小相等。 【問(wèn)題二】如圖，AB是⊙O的直徑，弦（非直徑）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一點(diǎn)。（1）當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APC與∠APD的關(guān)系如何？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APC與∠APD的關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論（不討論P(yáng)與A重合的情形）。分析：（1）P在劣弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APC＝∠APD，利用垂徑定理及圓周角定理易證；（2）P在優(yōu)弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APC＋∠APD＝1800，∠APC所對(duì)的弧是，∠APD所對(duì)的弧是，而，的度數(shù)和等于的度數(shù)和，等于3600，由圓周角定理易證明得到結(jié)論。跟蹤訓(xùn)練：一、選擇題：1、下列命題中，正確的命題個(gè)數(shù)是（）①頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角；②圓周角度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半； ③900的圓周角所對(duì)的弦是直徑；④圓周角相等，則它們所對(duì)的弧也相等。A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)2、已知AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A＝500，點(diǎn)P是⊙O上異于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是（）A、650B、1150C、650或1150D、1300或5003、O為銳角△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為D、E、F，則OD∶OE∶OF為（）A、∶∶B、∶∶C、cosA∶cosB∶cosCD、sinA∶sinB∶sinC4、如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DC分別切⊙O于B、C，若∠ACE＝250，則∠D為（）A、500B、550C、600D、6505、如圖，⊙O經(jīng)過(guò)⊙O1的圓心O1，∠ADB＝，∠ACD＝，則與之間的關(guān)系是（）A、＝B、 C、D、二、填空題：6、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則＝。7、如圖，A、B、C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，當(dāng)BC平分∠ABO時(shí)，能得出結(jié)論（任寫一個(gè)）。8、如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點(diǎn)，則∠1＋∠2＝。9、如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，PO交⊙O于C，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)B，PA＝AB，PD平分∠APB交AB于點(diǎn)D，則∠ADP＝。10、如圖，已知直徑AB⊥CD于E，∠COB＝，則＝。11、如圖，⊙O1與⊙O2為兩個(gè)等圓，O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，⊙O1與⊙O2交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B的直線交⊙O1于C，交⊙O2于D，過(guò)C作⊙O1的切線CE與過(guò)D作⊙O2的切線DE交于E，則∠E＝。三、計(jì)算題或證明題： 12、如圖，已知P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，OP與AB相交于點(diǎn)M，C為上一點(diǎn)。求證：∠OPC＝∠OCM。13、如圖，⊙O1與⊙O2交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求證：（1）；（2）E為△ABC的內(nèi)心。14、如圖，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC。（1）求證：FB＝FC；（2）； （3）若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC＝1200，BC＝6cm，求AD的長(zhǎng)。15、如圖，⊙O的直徑AB＝6，P為AB上一點(diǎn)，過(guò)P作⊙O的弦CD，連結(jié)AC、BC，設(shè)∠BCD＝∠ACD，當(dāng)時(shí)，是否存在正實(shí)數(shù)，使弦CD最短？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。16、如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于F，交AE于點(diǎn)M，且∠B＝∠CAE，EF∶FD＝4∶3。（1）求證：AF＝DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD＝10，求△ABC的面積。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、選擇題：ACCAD二、填空題：6、1400；7、OC∥AB等；8、900；9、450；10、1；11、1200 三、計(jì)算題或證明題：12、提示：連結(jié)OA，，∴，又∠O是公共角，△OCM∽△OPC。13、略證：（1）連結(jié)，O1B，由O1A＝O1B可得∠O1AD＝∠O1CA，∠AO1D是公共角，∴△O1AD∽△O1CA；（2）連結(jié)AE、BE，由∠ABE＝∠AO1C＝∠ABC，∠BAE＝∠BO1E＝∠BAC。14、（1）（2）略；（3）cm。15、解：連結(jié)OD，設(shè)存在正實(shí)數(shù)，則在⊙O中過(guò)P點(diǎn)的所有弦中，只有垂直于直徑的弦最短?！郈P⊥AB于P?！?，設(shè)AP＝，則BP＝，又AB＝6∴，解得∴OP＝OA－AP＝＝在Rt△POD中，cos∠POD＝，∴∠POD＝300，∠ACD＝150∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝900∴∠BCD＝900－150＝750∵∠BCD＝∠ACD ∴＝5，即存在正實(shí)數(shù)，使CD弦最短。16、（1）先證∠ADE＝∠DAE；（2）作AN⊥BE于N，設(shè)FE＝，F(xiàn)D＝，可求DE＝，由得：AN＝，可得EN＝，cos∠AED＝；（3）△CAE∽△ABE，。