大學(xué)微積分-函數(shù)的極值與最值應(yīng)用
一、函數(shù)的極值三、經(jīng)濟應(yīng)用舉例二、函數(shù)的最值
一、函數(shù)的極值及其求法xyox2x3x5x4x1aby=f(x)x0x0
極值的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義,定義如果對任意的x≠x0,恒有則稱f(x0)為f(x)的一個極大(小)值.f(x)f(x0))x0x0函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,函數(shù)取得極值的點稱為極值點.
例y=sinx,x?[0,2?]sinx在取極大值?23?2sinx在取極小值注意:0和2?不是sinx的極值點
極值存在的必要條件x0x0定理設(shè)函數(shù)y=f(x)在極值點x0可導(dǎo),則f?(x0)=0.注1:如果f?(x)=0,那么稱x0為f(x)的駐點.
極值存在的必要條件定理設(shè)函數(shù)y=f(x)在極值點x0可導(dǎo),則f?(x0)=0.注1:如果f?(x)=0,那么稱x0為f(x)的駐點.注2:駐點不一定是極值點.xyoy=|x|xyoy=x3xyoy=x2注3:不可導(dǎo)點也可能是極值點.
極值可疑點不可導(dǎo)點駐點?兩個充分條件
極值存在的第一充分條件定理設(shè)函數(shù)x0是f(x)的極值可疑點,f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)(x0－d,x0+d)連續(xù)且可導(dǎo)(在x0可以不可導(dǎo)):(1)當(dāng)x?(x0－d,x0)時,f?(x)>0,當(dāng)x?(x0,x0+d)時,f?(x)<0,則x0是f(x)的極大值點.(2)當(dāng)x?(x0－d,x0)時,f?(x)<0,當(dāng)x?(x0,x0+d)時,f?(x)>0,則x0是f(x)的極小值點.(3)在上述兩個區(qū)間,f?(x)同號,則x0不是極值點.+x0+x0x0++x0一階導(dǎo)數(shù)變號法
例1解f?(x)=3x2－6x－9=3(x+1)(x－3)求函數(shù)f(x)=x3－3x2－9x+5的極值.f?(x)x1=－1,x2=3xf(x)－13(－∞,－1)(－1,3)(3,+∞)令f?(x)=0得:+0+0極大極小極大值f(－1)=10極小值f(3)=－22
例1求函數(shù)f(x)=x3－3x2－9x+5的極值.Mm圖形如下:
例2解求函數(shù)的極值.當(dāng)x=2時,f?(x)不存在,但f(x)在R上連續(xù).當(dāng)x<2時,f?(x)>0當(dāng)x>2時,f?(x)<0所以f(2)=1為f(x)的極大值.M
極值存在的第二充分條件定理設(shè)函數(shù)y=f(x)在駐點x0二階可導(dǎo),(1)如果f??(x0)>0,則f(x)在x0取極小值;+x0+x0(2)如果f??(x0)<0,則f(x)在x0取極大值.稱為“二階導(dǎo)數(shù)非零法”1.記憶——特例法:y=x2,y=－x2說明：2.只適用于駐點,不能用于判斷不可導(dǎo)點3.f??(x0)=0時不可使用.xyoy=x3
例3求函數(shù)f(x)=x3+3x2－24x－20的極值.解f?(x)=3x2+6x－24f??(x)=6x+6=3(x+4)(x－2)令f?(x)=0得:∴極大值f(－4)=60=－48∵f??(－4)=x1=－4,x2=2－18<0∵f??(2)=18>0∴極小值f(2)
Mm例3求函數(shù)f(x)=x3+3x2－24x－20的極值.圖形如下:
1.確定函數(shù)的定義域；4.用極值的第一或第二充分條件判定.注意:第二充分條件只能判定駐點的情形.求極值的步驟:2.求導(dǎo)數(shù)f?(x);3.求定義域內(nèi)的極值可疑點(即駐點和一階不可導(dǎo)點)；
二、函數(shù)的最值及其求法極值是局部的,而最值是全局的.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則函數(shù)f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值.
求閉區(qū)間[a,b]上最值的步驟:3.最大值M=max{f(x1),…,f(xk),f(a),f(b)}最小值m=min{f(x1),…,f(xk),f(a),f(b)}.1.求出定義域內(nèi)所有的極值可疑點(駐點和一階不可導(dǎo)點)x1,x2,…,xk,并算出相應(yīng)函數(shù)值f(xk);2.計算f(a),f(b)；
例4求函數(shù)f(x)=在[－1,0.5]上的最值.解x=0是f(x)的不可導(dǎo)點.令f?(x)=0得:∵∴最大值是0,x1=25f(0)=0f(－1)=－2最小值是－2
例5求函數(shù)y=在上的最值.解當(dāng)時,y?>0又∵y在上是連續(xù)的∴y在上單調(diào)遞增∴最小值是∵∴y沒有最大值
更進一步,若實際問題中有最大(小)值,且有唯一駐點,則不必判斷極大還是極小,立即可以斷定該駐點即為最大(小)值點.說明:1.如果f(x)在[a,b]上單調(diào),則它的最值必定在端點a和b處取得;2.如果f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且有唯一駐點x0為極值點,則f(x0)必定是最大值或最小值;
例6當(dāng)0≤x≤1,p>1時,證明證令f(x)=xp+(1－x)p∴結(jié)論成立.∵f(0)=f(1)=1f?(x)=pxp－1－p(1－x)p－1令f?(x)=0,得駐點x=1/2
例7解將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？axa-2x設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為
例7解將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為a-2x求導(dǎo)得:V=x(a－2x)2,V?=(a－2x)(a－6x)唯一駐點x=a/6
三、經(jīng)濟應(yīng)用舉例1.平均成本(AC)最低問題例8設(shè)成本函數(shù)為則平均成本為得唯一駐點x=400此時平均成本和邊際成本均為4.一般,當(dāng)平均成本最低時,平均成本與邊際成本相等.所以當(dāng)x=400時,平均成本最低.
2.最大利潤問題例9利潤函數(shù)為解故當(dāng)產(chǎn)量x=7時,利潤最大.此時價格p=44.設(shè)某產(chǎn)品的需求量x是價格p(元)的函數(shù):每天生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=120+2x+x2問工廠每天產(chǎn)量為多少時,利潤最大?此時價格多少?令L?(x)=70－10x=0,而L??(x)=－10<0得唯一駐點x=7
某廠生產(chǎn)某種商品,其年銷售量為100萬件,每批生產(chǎn)需增加準(zhǔn)備費1000元,而每件商品的庫存費為0.05元.如果年銷售率是均勻的(即商品庫存數(shù)為批量的一半),問應(yīng)分幾批生產(chǎn),能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費和庫存費之和最小？3.最優(yōu)批量—庫存問題例10解設(shè)分x批生產(chǎn),則生產(chǎn)準(zhǔn)備費和庫存費之和為得唯一駐點x=5,
