專題一 集合與常用邏輯用語備考篇【考情探究】課標解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、集合的概念與運算1.理解集合的含義,能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)表示集合.2.理解集合之間的包含關(guān)系,能識別給定集合的子集,在具體問題中了解全集與空集的含義.3.理解兩個集合的并集與交集的含義,并會求它們的交集與并集;理解給定一個集合的子集的補集含義,會求給定子集的補集;會用韋恩(Venn)圖表示集合間的基本關(guān)系及運算.1.考查內(nèi)容:從近五年高考看,本專題重點考查集合的交、并、補運算,所給的數(shù)集既有連續(xù)型(如2020新高考Ⅰ卷第1題直接給出了兩個連續(xù)型集合,求它們的并集,而2020課標Ⅰ卷理數(shù)第1題則是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后給定了集合交集來求參數(shù)的值)、又有離散型的數(shù)集(如2020課標Ⅱ卷文數(shù)第1題與2020天津卷第1題);對充分條件、必要條件的考查常與其他知識結(jié)合(如2020北京卷的第9題以三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式為背景考查了充分、必要條件的推理判斷);全(特)稱命題的考查相對較少.2.本專題是歷年必考的內(nèi)容,在選擇題、填空題中出現(xiàn)較多,多以給定的集合或不等式的解集為載體,以集合語言和符號語言為表現(xiàn)形式,考查集合的交、并、補運算;也會與解不等式、函數(shù)的定義域、值域相結(jié)合進行考查.3.對于充分、必要條件的判斷,含有一個量詞的命題的否定可以與每一專題內(nèi)容相關(guān)聯(lián),全稱命題及特稱命題是重要的數(shù)學語言,高考考題充分體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).1.對于給定的集合,首先應(yīng)明確集合的表示方法,對于描述法表述的集合,要明確集合的元素是什么(是數(shù)集、點集等),明確集合是不等式的解集,是函數(shù)的定義域還是值域,把握集合中元素的屬性是重點.2.了解命題及其逆命題、否命題與逆否命題;通過對概念的理解,會分析四種命題的關(guān)系,會寫出一個命題的其他三個命題,并判斷其真假.能用邏輯聯(lián)結(jié)詞正確地表達相關(guān)的數(shù)學命題.3.對于充分、必要條件的判斷問題,必須明確題目中的條件與結(jié)論分別是什么,它們之間的互推關(guān)系是怎樣的,要加強這方面的訓(xùn)練.4.關(guān)于全稱命題與特稱命題,一般考查命題的否定.對含有一個量詞的命題進行真假判斷,要學會用特值檢驗.二、常用邏輯用語1.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.【真題探秘】命題立意已知給定的兩個連續(xù)型的數(shù)集,求它們的并集.
解題指導(dǎo)1.進行集合運算時,首先看集合是否最簡,能化簡先化簡,再運算.2.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算,常借助Venn圖求解.(2)連續(xù)型數(shù)集的運算,常借助數(shù)軸求解,運用數(shù)軸時要特別注意端點是實心還是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三個特征,特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到,解題后要進行檢驗,要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化.2.對連續(xù)數(shù)集間的運算,借助數(shù)軸的直觀性,進行合理轉(zhuǎn)化;對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系,求其中參數(shù)的取值范圍時,要注意等號能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,關(guān)注對空集的討論,防止漏解.4.解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系:一是元素與集合的從屬關(guān)系:二是集合與集合的包含關(guān)系.5.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法.[教師專用題組]1.真題多維細目表考題涉分題型難度考點考向解題方法核心素養(yǎng)2020新高考Ⅰ,15單項選擇題易集合的運算集合的并集運算數(shù)軸法數(shù)學運算2020新高考Ⅱ,15單項選擇題易集合的運算集合的并集運算定義法數(shù)學運算2020課標Ⅰ理,25選擇題易集合的運算解不等式、集合的交集運算定義法數(shù)學運算2020課標Ⅰ文,15選擇題易集合的運算解不等式、集合的交集運算定義法數(shù)學運算2020北京,14選擇題易集合的運算集合的交集運算定義法數(shù)學運算2020天津,15選擇題易集合的運算集合的交、補集運算定義法數(shù)學運算2020天津,25選擇題易充分、必要條件解不等式、充分、必要條件的判斷定義法邏輯推理2020北京,94選擇題難充分、必要條件誘導(dǎo)公式、角的終邊位置與角大小關(guān)系、充分、必要條件的判斷定義法邏輯推理風格.2.2020年新高考考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1題,新高考Ⅱ卷第1題直接給出了兩個集合求它們的并集或交集,課標Ⅰ卷理數(shù)則是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同時通過它們的交集確定參數(shù)的值,北京卷與新高考Ⅰ卷相近,直接求兩個給定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5題以學生參加體育鍛煉為背景考查了利用韋恩(Venn)圖求兩個集合交集中元素所占總體的比例問題,體現(xiàn)了集合的應(yīng)用價值;③2020年北京卷第9題以三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式為背景考查了充分、必要條件的判斷.3.在備考時還要適當關(guān)注求集合的補集運算,對含有一個量詞的命題的真假判斷,集合與充分、
必要條件相結(jié)合的命題方式,在不同背景下抽象出數(shù)學本質(zhì)的方法等.應(yīng)強化在知識的形成過程、知識的遷移中滲透學科素養(yǎng).§1.1 集合基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一 集合及其關(guān)系1.若用列舉法表示集合A=,則下列表示正確的是( )A.A={x=3,y=0} B.A={(3,0)} C.A={3,0} D.A={(0,3)}答案 B2.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},則( )A.M=N B.M?N C.M∩N=? D.N?M答案 D3.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B?A,則實數(shù)a的值為( )A.或- B.-或 C.或-或0 D.-或或0答案 D4.已知含有三個實數(shù)的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},則a2021+b2021等于 .?答案 -1考點二 集合的基本運算5.已知集合M={x|-1
0},B={x|lg(x+1)≤1},則(?RA)∩B=( )A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-10,x∈A},則B=( )A.{-1,0} B.{-1} C.{0,1} D.{1}答案 D 由題意可知,集合B由集合A中為正數(shù)的元素組成,因為集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.設(shè)集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列說法:①1?A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正確的說法個數(shù)是( )A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C 易知A={y|y≥4},所以①②都是正確的;(0,5)是點,而集合A中元素是數(shù),所以③是錯誤的.故選C.3.(2020陜西西安中學第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},則正確的是( )A.0?A B.{0}∈A C.?∈A D.{0}?A答案 D 對于A,0∈A,故A錯誤;對于B,{0}?A,故B錯誤;對于C,空集?是任何集合的子集,即??A,故C錯誤;對于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正確.故選D.4.(2019遼寧沈陽質(zhì)量檢測三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},則A中元素的個數(shù)為( )A.1 B.5 C.6 D.無數(shù)個答案 C 由題意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的個數(shù)為6.故選C.5.(2020廣西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么( )A.若a=3,則B?A B.若a=3,則A?BC.若A?B,則a=2 D.若A?B,則a=3答案 B 當a=3時,A={1,3},又因為B={1,2,3},所以A?B.若A?B,則a=2或3.故選B.6.(2019遼寧師大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x?A},則下列集合A與B的關(guān)系中正確的是( )A.A?B B.A?BC.B?A D.A∈B答案 D 因為x?A,所以B={?,{0},{1},{0,1}},則集合A={0,1}是集合B中的一個元素,所以A∈B,故選D.7.(2020安徽江淮十校第一次聯(lián)考,1)已知集合A=,集合B={x|x2-4≤0},若A∩B=P,則集合P的子集個數(shù)為( )A.2 B.4 C.8 D.16答案 B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},則P=A∩B={-2,2},所以P的子集個數(shù)為4,故選B.
8.(2019廣東六校9月聯(lián)考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B?A,則實數(shù)a的所有可能取值的集合為( )A.{-1} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}答案 D 因為B?A,所以當B=?,即a=0時滿足條件;當B≠?時,a≠0,∴B=,又知B?A,∴-∈A,∴a=±1.綜上可得實數(shù)a的所有可能取值集合為{-1,0,1},故選D.易錯警示 由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A?B或A?B且B≠?”時,一定要注意討論A=?和A≠?兩種情況,A=?的情況易被忽略,從而導(dǎo)致失分.9.(2019河南豫南九校第一次聯(lián)考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,則非零實數(shù)m的值是 .?答案 2解析 若3-m=1,則m=2,符合題意;若3-m=2,則m=1,此時集合B中的元素不滿足互異性,故m≠1;若3-m=3,則m=0,不符合題意.故答案為2.考點二 集合的基本運算1.(2019金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),則(?RA)∪(?RB)=( )A.R B.?C.[3,5) D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案 D ?RA=[5,+∞),?RB=(-∞,3),所以(?RA)∪(?RB)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原聯(lián)盟9月聯(lián)考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=},則A∩B=( )A.∪(2,+∞) B.
C.∪(2,+∞) D.R答案 A 因為集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=}=,所以A∩B=∪(2,+∞),故選A.3.(2018河北石家莊3月質(zhì)檢,1)設(shè)集合A={x|-12},?RB={x|x≥0}.對于選項A,(?RA)∩B={x|x≤-1},故A錯誤;對于選項B,A∩B={x|-1-1},故C錯誤;對于選項D,A∪B={x|x≤2},故D錯誤.故選B.名師點撥 對于集合的交、并、補運算,利用數(shù)軸求解能減少失誤.4.(2020山東夏季高考模擬,1)設(shè)集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},則A∩B=( )A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.?答案 C 本題主要考查集合的含義及集合的運算.聯(lián)立消y可得x2+x-2=0,∴x=1或-2,∴方程組的解為或從而A∩B={(1,1),(-2,4)},故選C.5.(2019山東濟南外國語學校10月月考,1)已知R為實數(shù)集,集合A=,B=,則圖中陰影部分表示的集合為( )
A.{-1}∪[0,1] B. C. D.{-1}∪答案 D ∵>0,∴x≠-1且x(x-1)>0,∴x<-1或-11,∴A={x|x<-1或-11}.∵(x+1)>0,∴x>或x<-1,∴B=.∴A∪B=.故圖中陰影部分表示的集合為?R(A∪B)={-1}∪,即{-1}∪.故選D.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一 集合間基本關(guān)系的求解方法1.(2021屆江蘇揚州二中期初檢測,2)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},則滿足A∪B={0,-1,1}的集合B的個數(shù)是( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 A2.(2020山東濱州6月三模)已知集合M={x|x=4n+1,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z},則( )A.M?N B.N?M C.M∈N D.N∈M答案 A3.(2019遼寧沈陽二中9月月考,14)設(shè)集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A?(A∩B),則實數(shù)a的取值范圍為 .?答案 (-∞,9]考法二 集合運算問題的求解方法4.(2021屆河南鄭州一中開學測試,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B=,則(?UA)
∩B=( )A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超級全能生第一次聯(lián)考,1)記全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},則(?UA)∩B=( )A.[2,+∞) B.? C.[1,2) D.(1,2)答案 C6.(2021屆湖湘名校教育聯(lián)合體入學考,1)設(shè)全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(?UB)={x|24},B={x|2a≤x≤a+3}.若B?A,則實數(shù)a的取值范圍為 .?答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①當B=?時,只需2a>a+3,即a>3;②當B≠?時,根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸.可得或解得a<-4或22}與N={x|13} D.{x|x≤1}答案 D 由題中韋恩圖知陰影部分表示的集合是?U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴?U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模擬,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(?UN)={x|x=1或x≥3},則( )A.a= B.a≤ C.a=- D.a≥答案 C ∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1
