§1.2 常用邏輯用語(yǔ)基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 命題及其關(guān)系(舊課標(biāo))1.命題“若α=,則sinα=1”的逆否命題是( )A.若α≠,則sinα≠1 B.若α=,則sinα≠1C.若sinα≠1,則α≠ D.若sinα=1,則α=答案 C2.有下列四個(gè)命題:①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題;②“全等三角形的面積相等”的否命題;③“若q≤1,則x2+2x+q=0有實(shí)根”的逆否命題;④“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆命題.其中真命題為( )A.①② B.②③ C.③④ D.①③答案 D考點(diǎn)二 充分條件與必要條件3.已知等比數(shù)列{an}中,a1>0,則“a1
0”是“ab>0”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 D5.已知直線m、n和平面α,在下列給定的四個(gè)結(jié)論中,m∥n的一個(gè)必要但不充分條件是( )A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥αC.m∥α,n?α D.m、n與α所成的角相等答案 D6.“k=-”是“直線y=kx+1與圓(x-2)2+y2=1相切”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件答案 A考點(diǎn)三 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(舊課標(biāo))7.已知命題p:?x∈R,3x>0;命題q:?x0∈R,log2x0<0.則下列命題為真命題的是( )A.p∧q B.(?p)∨(?q)C.(?p)∧q D.p∧(?q)答案 A8.設(shè)命題p:函數(shù)y=sin2x的最小正周期為π;命題q:函數(shù)y=cosx的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則下列結(jié)論正確的是( )A.p為假 B.?q為假C.p∨q為假 D.p∧q為假答案 D9.已知a∈R,命題p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命題q:?x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命題p∧q為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?答案 a≤-2或a=1考點(diǎn)四 全稱量詞與存在量詞
10.命題“?x∈R,x2-2x+4≤0”的否定為( )A.?x∈R,x2-2x+4≥0 B.?x0∈R,-2x0+4>0C.?x?R,x2-2x+4≥0 D.?x0?R,-2x0+4>0答案 B11.命題“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )A.?x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.?x?(0,+∞),lnx=x-1C.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.?x0?(0,+∞),lnx0=x0-1答案 A12.下列命題為真命題的是( )A.?x0∈R,-x0+2=0B.命題“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是“?x0∈R,+x0+1=0”C.?θ∈R,函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)都不是偶函數(shù)D.在△ABC中,“A=B”是“sinA=sinB”的充要條件答案 D[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 命題及其關(guān)系(舊課標(biāo))1.(2018豫南豫北高三第二次聯(lián)考,2)若原命題為“若z1,z2為共軛復(fù)數(shù),則|z1|=|z2|”,則該命題的逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次為( )A.真、真、真 B.真、真、假 C.假、假、真 D.假、假、假答案 C 因?yàn)樵}為真,所以它的逆否命題為真;若|z1|=|z2|,當(dāng)z1=1+i,z2=-1+i時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)不是共軛復(fù)數(shù),所以原命題的逆命題為假,故其否命題也是假命題,故選C.
2.(2017福建泉州惠南中學(xué)2月模擬,4)A,B,C三個(gè)學(xué)生參加了一次考試,其中A,B的得分均為70分,C的得分為65分,已知命題p:若及格分低于70分,則A,B,C都沒(méi)有及格,在下列四個(gè)命題中,為p的逆否命題的是( )A.若及格分不低于70分,則A,B,C都及格B.若A,B,C都及格,則及格分不低于70分C.若A,B,C至少有1人及格,則及格分不低于70分D.若A,B,C至少有1人及格,則及格分不高于70分答案 C 根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知,命題p:若及格分低于70分,則A,B,C都沒(méi)有及格的逆否命題是若A,B,C至少有1人及格,則及格分不低于70分.故選C.3.(2020廣西南寧二中8月月考,6)已知命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù),則m≤1”,則下列結(jié)論正確的是( )A.否命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是減函數(shù),則m>1”是真命題B.逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”是真命題C.逆否命題“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是減函數(shù)”是真命題D.逆命題“若m≤1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù)”是假命題答案 B 易知選項(xiàng)A,D錯(cuò)誤.∵f(x)=ex-mx,∴f'(x)=ex-m,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f'(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1,∴原命題是真命題,而其逆否命題為“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”,由原命題與其逆否命題的等價(jià)性可知其逆否命題也為真命題,故選B.4.(2018山東濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考,3)原命題:“a,b為兩個(gè)實(shí)數(shù),若a+b≥2,則a,b中至少有一個(gè)不小于1”,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )A.逆命題:若a,b中至少有一個(gè)不小于1,則a+b≥2,為假命題B.否命題:若a+b<2,則a,b都小于1,為假命題
C.逆否命題:若a,b都小于1,則a+b<2,為真命題D.“a+b≥2”是“a,b中至少有一個(gè)不小于1”的必要不充分條件答案 D 原命題:“a,b為兩個(gè)實(shí)數(shù),若a+b≥2,則a,b中至少有一個(gè)不小于1,逆命題:“a,b為兩個(gè)實(shí)數(shù),若a,b中至少有一個(gè)不小于1,則a+b≥2”,否命題:“a,b為兩個(gè)實(shí)數(shù),若a+b<2,則a,b都小于1”,逆否命題:“a,b為兩個(gè)實(shí)數(shù),若a,b都小于1,則a+b<2”,逆否命題顯然為真命題,故原命題也為真命題,當(dāng)a=1.5,b=0時(shí),a+b≥2不成立,即逆命題為假命題,故否命題為假命題.所以“a+b≥2”是“a,b中至少有一個(gè)不小于1”的充分不必要條件.故選D.5.(2018河北衡水金卷A信息卷(五),14)命題p:若x>0,則x>a;命題q:若m≤a-2,則ma,則x>0,故a≥0.因?yàn)槊}q的逆否命題為真命題,所以命題q為真命題,則a-2<-1,解得a<1.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1).6.下列命題正確的有 (填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)).?①“若log2a>0,則函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題;②命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若a≠0,則ab≠0”;③命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題;④命題“若a∈M,則b?M”與命題“若b∈M,則a?M”等價(jià).答案?、佗芙馕觥?duì)于①,若log2a>0,則a>1,所以函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),故①不正確;易知②正確;對(duì)于③,原命題的逆命題是“若x+y是偶數(shù),則x,y都是偶數(shù)”,是假命題,
如1+3=4是偶數(shù),但3和1均為奇數(shù),故③不正確;對(duì)于④,命題“若a∈M,則b?M”與命題“若b∈M,則a?M”互為逆否命題,因此二者等價(jià),所以④正確.綜上,可知正確的有②④.考點(diǎn)二 充分條件與必要條件1.(2018遼寧莊河高級(jí)中學(xué)、沈陽(yáng)第二十中學(xué)第一次聯(lián)考,2)“a=1”是“復(fù)數(shù)z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)為純虛數(shù)”的( )A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A 復(fù)數(shù)z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)為純虛數(shù),則∴a=1,∴“a=1”是“復(fù)數(shù)z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)為純虛數(shù)”的充要條件,選A.2.(2019浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期初聯(lián)考,5,4分)“直線3x+my+4=0與直線(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案 B 由直線3x+my+4=0與直線(m+1)x+2y-2=0平行,可得3×2=m(m+1)?m=-3或m=2,所以“直線3x+my+4=0與直線(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的必要不充分條件.選B.3.(2018天津?yàn)I海新區(qū)七校聯(lián)考,4)已知集合A={x||x-1|+|x-4|<5},集合B={x|y=log2(2x-x2)},則“x∈A”是“x∈B”的 ( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 B 對(duì)于|x-1|+|x-4|<5,當(dāng)x>4時(shí),2x-5<5,解得x<5,∴40,解得01且b>1”是“ab>1”的充分條件;
②已知平面向量a,b,“|a|>1,|b|>1”是“|a+b|>1”的必要不充分條件;③已知a,b∈R,“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件;④命題p:“?x0∈R,使≥x0+1且lnx0≤x0-1”的否定為?p:“?x∈R,都有exx-1”.其中真命題的個(gè)數(shù)是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C ①已知a,b∈R,“a>1且b>1”能夠推出“ab>1”,“ab>1”不能推出“a>1且b>1”,故①正確;②已知平面向量a,b,“|a|>1,|b|>1”不能推出“|a+b|>1”,|a+b|>1不能推出|a|>1且|b|>1,故②不正確;③已知a,b∈R,當(dāng)a2+b2≥1時(shí),a2+b2+2|a|·|b|≥1,則(|a|+|b|)2≥1,則|a|+|b|≥1,又a=0.5,b=0.5滿足|a|+|b|≥1,但a2+b2=0.5<1,所以“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件,故③正確;④命題p:“?x0∈R,使≥x0+1且lnx0≤x0-1”的否定為?p:“?x∈R,都有exx-1”,故④不正確.所以真命題的個(gè)數(shù)為2.故選C.5.設(shè)n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n= .?答案 3或4解析 由題意可知一元二次方程有根,所以判別式Δ=16-4n≥0,解得n≤4,又n∈N*,逐個(gè)分析,當(dāng)n=1,2時(shí),方程沒(méi)有整數(shù)根;而當(dāng)n=3時(shí),方程有整數(shù)根1,3;當(dāng)n=4時(shí),方程有整數(shù)根2.故一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=3或4.6.設(shè)命題p:|4x-3|≤1,命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若?p是?q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A. B.C.(-∞,0]∪ D.(-∞,0)∪答案 A 設(shè)A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.
解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A=.解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.解法一:?p所對(duì)應(yīng)的集合為?RA=,?q所對(duì)應(yīng)的集合為?RB={x|xa+1}.由?p是?q的必要不充分條件,知?RB??RA,所以或解得0≤a≤.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解法二:∵?p是?q的必要不充分條件,∴q是p的必要不充分條件,即p是q的充分不必要條件.∴A?B,∴或解得0≤a≤.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選A.考點(diǎn)三 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(舊課標(biāo))1.(2017重慶第一次診斷,2)命題p:甲的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分,命題q:乙的數(shù)學(xué)成績(jī)低于100分,則p∨(????q)表示( )A.甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)都低于100分
B.甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)低于100分C.甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于100分D.甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分答案 D 由題設(shè)可知,????q表示乙的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分,則p∨(????q)表示甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分,應(yīng)選D.2.(2019安徽六安第一中學(xué)模擬(四),3)已知命題p:若△ABC為銳角三角形,則sinAA+B>,∴>A>-B>0,則sinA>sin=cosB,可知p是假命題;命題q:?x,y∈R,若x+y≠5,則x≠-1或y≠6的逆否命題是?x,y∈R,若x=-1且y=6,則x+y=5,是真命題,∴原命題q是真命題.∴(?p)∧q為真命題.故選B.3.(2019廣東天河高中畢業(yè)班綜合測(cè)試,7)已知命題p:若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log1.20.2,則a0”的必要不充分條件,則下列命題為真命題的是( )A.p∧q B.p∧(?q)C.(?p)∧(?q) D.(?p)∧q答案 D 命題p:因?yàn)閎=1.20.2>1,0a>c.故命題p為假命題.命題q:“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分條件,故命題q是真命題.則(?p)∧q為真命題.故選D.4.(2019河北唐山第一次模擬,6)已知命題p:f(x)=x3-ax的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;命題q:g(x)=xcosx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.則下列命題為真命題的是( )A.?p B.q C.p∧q D.p∧(?q)
答案 D 對(duì)于f(x)=x3-ax,有f(-x)=(-x)3-a(-x)=-(x3-ax)=-f(x),為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以p為真命題;對(duì)于g(x)=xcosx,有g(shù)(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-g(x),為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以q為假命題,則?p為假命題,p∧q為假命題,p∧(?q)為真命題,故選D.5.(2019陜西西安二模,5)已知命題p:對(duì)任意x>0,總有sinxf(0)=0,所以x>sinx.故命題p為真命題.命題q:直線l1:ax+2y+1=0,l2:x+(a-1)y-1=0,若l1∥l2,則a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1,當(dāng)a=-1時(shí),兩直線重合.故命題q為假命題.故p∨q為真命題.故選D.6.(2019安徽六安一中3月模擬,7)設(shè)命題p:?x0∈(0,+∞),+x0=;命題q:?a,b∈(0,8),a+,b+中至少有一個(gè)不小于2,則下列命題為真命題的是( )A.p∧q B.(?p)∧qC.p∧(?q) D.(?p)∧(?q)答案 B 因?yàn)閒(x)=3x+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)>f(0)=1>,∴p假;假設(shè)a+,b+都小于2,則a++b+<4,又根據(jù)基本不等式可得a++b+≥4,矛盾,∴q真,∴(????p)∧q為真命題,故選B.解題關(guān)鍵 正確判斷每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假與正確應(yīng)用真值表是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)四 全稱量詞與存在量詞1.(2017河北五個(gè)一名校聯(lián)考,3)命題“?x0∈R,12 D.?x∈R,f(x)≤1或f(x)>2答案 D 根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可知原命題的否定形式為“?x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”.故選D.2.(2017青海西寧二模,4)下列命題中的假命題是( )A.?x∈R,21-x>0B.?a∈R,使函數(shù)y=xa的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.?a∈R,使函數(shù)y=xa的圖象經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn).?x∈(0,+∞),2x>x答案 C 對(duì)于A,根據(jù)函數(shù)y=21-x的圖象可以判斷A正確;對(duì)于B,當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)y=xa的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故B正確;對(duì)于C,對(duì)于函數(shù)y=xa,當(dāng)x為正值時(shí),y不可能為負(fù),故C錯(cuò);對(duì)于D,根據(jù)函數(shù)y=2x,y=x的圖象,可判定2x>x,故D正確.故選C.3.(2019河南八所重點(diǎn)高中第二次聯(lián)合測(cè)評(píng),2)已知集合A是奇函數(shù)集,B是偶函數(shù)集.若命題p:?f(x)∈A,|f(x)|∈B,則?p為( )A.?f(x)∈A,|f(x)|?B B.?f(x)?A,|f(x)|?BC.?f(x)∈A,|f(x)|?B D.?f(x)?A,|f(x)|?B答案 C 全稱命題的否定為特稱命題,一是要改寫(xiě)量詞,二是要否定結(jié)論,所以由命題p:?f(x)∈A,|f(x)|∈B,得?p為?f(x)∈A,|f(x)|?B,故選C.4.(2019北京海淀一模文,4)已知ab+c B.?c<0,a0,a>b+c D.?c>0,a0時(shí),a1”B.“若a>b,則a-5>b-5”的逆否命題是“若a-5≤b-5,則a≤b”C.?x∈R,2x-1>0D.?x0∈(0,2),使得sinx0=1答案 C 逐一考察所給的命題:A.“?x∈R,sinx≤1”的否定為“?x0∈R,sinx0>1”,該命題是真命題;B.“若a>b,則a-5>b-5”的逆否命題是“若a-5≤b-5,則a≤b”,該命題是真命題;C.當(dāng)x=0時(shí),2x-1=0,則?x∈R,2x-1>0是假命題;D.顯然當(dāng)x0=時(shí),sinx0=1成立,該命題是真命題.故選C.6.(2018安徽馬鞍山含山聯(lián)考,5)已知函數(shù)f(x)=ex-lox,給出下列兩個(gè)命題:命題p:若x0≥1,則f(x0)≥3;命題q:?x0∈[1,+∞),f(x0)=3.則下列敘述錯(cuò)誤的是( )
A.p是假命題B.p的否命題是若x0<1,則f(x0)<3C.?q:?x∈[1,+∞),f(x)≠3D.?q是真命題答案 D 由函數(shù)f(x)的解析式可得函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=ex+,則f'(x)>0,故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,結(jié)合f(1)=e1-lo1=e,可得當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇e,+∞),據(jù)此可得命題p是假命題,命題q是真命題,?q是假命題.p的否命題是:若x0<1,則f(x0)<3,?q:?x∈[1,+∞),f(x)≠3.故選D.7.(2017四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末)若?x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命題,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( )A.(-∞,2] B.(2,3]C. D.{3}答案 A 本題考查全稱命題與特稱命題的關(guān)系與基本不等式.若?x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命題,則?x∈,使得2x2-λx+1≥0恒成立,即?x∈,λ≤2x+恒成立,又2x+≥2=2(當(dāng)且僅當(dāng)2x=,即x=時(shí),取“=”),所以λ≤=2.8.(2018山東師大附中二模,9)已知命題“?x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1)答案 B ∵命題“?x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命題,∴命題“?x∈R,2x2+(a-1)x+>0”是真命題,∴Δ=(a-1)2-4×2×<0,即(a-1)2<4,∴-20且a≠1,則“l(fā)oga(a-b)>1”是“(a-1)b<0”成立的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A2.(2019遼寧鞍山一中一模,2)已知0<α<π,則“α=”是“sinα=”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A3.(2020山東泰安檢測(cè),6)“a<-1”是“?x0∈R,asinx0+1<0”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A4.(2020北京東城二模,8)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2,那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A
5.(2019河南中原名校聯(lián)考,6)已知p:->0,q:≤0,則p是q成立的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A6.(2020江蘇鹽城中學(xué)月考,4)設(shè)a∈R,則“a=2”是“直線y=-ax+2與直線y=x-1垂直”的 條件.?答案 充分不必要考法二 與全(特)稱命題有關(guān)的參數(shù)的求解方法7.(2019湖南三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考,6)設(shè)a∈Z,函數(shù)f(x)=ex+x-a,若命題p:“?x∈(-1,1),f(x)≠0”是假命題,則a的取值有( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)答案 D8.(2020江蘇六校聯(lián)盟第三次聯(lián)考,6)若命題“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?答案 (2,+∞)考法三 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷方法9.(2020江西撫州臨川一中期中,7)已知命題p:函數(shù)y=+sinx,x∈(0,π)的最小值為2;命題q:若向量a,b,滿足a·b=b·c,則a=c.下列正確的是( )A.(?p)∧q B.p∨q C.p∧(?q) D.(?p)∧(?q)答案 D10.(2020廣東深圳五校聯(lián)考,5)已知命題p:若x>y,則-x<-y;命題q:若x>y,則x2>y2,下列命題中,真命題是( )A.p∧q B.p∨q C.(?p)∧(?q) D.(?p)∨q
答案 B11.(2020陜西西安中學(xué)3月線上考試,3)已知命題p:若a>|b|,則a2>b2;命題q:m、n是直線,α為平面,若m∥α,n?α,則m∥n.下列命題為真命題的是( )A.p∧q B.p∧(?q)C.(?p)∧q D.(?p)∧(?q)答案 B[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 充分條件與必要條件的判斷方法1.(2019浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期中,2)設(shè)n∈N*,則“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{}為等比數(shù)列”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A 若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則=q,所以=q2,所以{}是等比數(shù)列;反過(guò)來(lái),若{}是等比數(shù)列,則{an}不一定是等比數(shù)列,例如數(shù)列1,1,-1,-1,所以選A.2.(2019寧夏頂級(jí)名校9月聯(lián)考,3)設(shè)a>0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù)”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 A 由f(x)=ax在R上是減函數(shù)可得a∈(0,1);由函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù)得2-a>0,∴0,|a·b|=|a|·|b|·|cos|,∵a·b=|a·b|,∴|a|·|b|·cos=|a|·|b|·|cos|,∴cos=|cos|,∴∈,a,b不一定共線,充分性不成立.必要性:若a,b共線,則a,b的夾角為0或π,當(dāng)a,b的夾角為0時(shí),滿足a·b=|a|·|b|=|a·b|,當(dāng)a,b的夾角為π時(shí),a·b=-|a·b|,必要性不成立.故選D.4.(2019云南昆明9月調(diào)研,3)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,給出下列命題:①“a=b”是“ac=bc”的充要條件;②“a+5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件;③“a>b”是“a2>b2”的充分條件;④“a<5”是“a<3”的必要條件.其中真命題的個(gè)數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B 對(duì)于①,“a=b”?“ac=bc”,但當(dāng)c=0時(shí),“ac=bc”“a=b”,故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件,故①為假命題;對(duì)于②,“a+5是無(wú)理數(shù)”?“a是無(wú)理數(shù)”且“a是無(wú)理數(shù)”?“a+5是無(wú)理數(shù)”,故“a+5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件,故②
為真命題;對(duì)于③,“a>b”“a2>b2”且“a2>b2”“a>b”,故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件,故③為假命題;對(duì)于④,∵{a|a<3}?{a|a<5},∴“a<5”是“a<3”的必要條件,故④為真命題.故真命題的個(gè)數(shù)為2,故選B.方法總結(jié) 判斷命題為真命題時(shí)要進(jìn)行推理,判斷命題為假命題時(shí)只需舉出反例即可.5.(2020豫北名校尖子生9月對(duì)抗賽,6)方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是( )A.0≤a≤1 B.a<1C.a≤1 D.00”是“f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2)”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 C 當(dāng)x>0時(shí),設(shè)y==1-,∴y=在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
令h(x)=,則有h(0)=0,h(-x)=-h(x),∴h(x)=是奇函數(shù)且在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)=+ex在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.∵x1+x2>0,∴x1>-x2,又f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x1)>f(-x2),同理f(x2)>f(-x1),故f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2),充分性成立.記g(x)=f(x)-f(-x),由f(x)=+ex在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增得f(-x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,∴g(x)=f(x)-f(-x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,由f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2)可得f(x1)-f(-x1)>f(-x2)-f(x2),即g(x1)>g(-x2),∴x1>-x2,即x1+x2>0,必要性成立.故選C.考法二 與全(特)稱命題有關(guān)的參數(shù)的求解方法1.(2018湖南湘東五校4月聯(lián)考,3)已知命題“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )A.(-∞,0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4)答案 D 因?yàn)槊}“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,所以命題的否定“?x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命題,則Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得00,2x-a>0.若“?p”和“p∧q”都是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,1]C.(1,2) D.(1,+∞)答案 C 方程x2+ax+1=0無(wú)實(shí)根等價(jià)于Δ=a2-4<0,即-20,2x-a>0等價(jià)于a<2x在(0,+∞)上恒成立,即a≤1.因“?p”是假命題,所以p是真命題,又因“p∧q”是假命題,則q是假命題,∴得10,q:x2-5x+6<0.若“(?q)∧p”為真,則x的取值范圍是 .?答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)解析 p為真命題時(shí),由x2+2x-3>0,得x>1或x<-3;q為真命題時(shí),由x2-5x+6<0,解得2x,則下列命題中,為真命題的是( )A.p∧q B.p∨(?q) C.p∧(?q) D.(?p)∧q答案 D 當(dāng)x<0時(shí),>=1,即3x>4x對(duì)任意x∈(-∞,0)恒成立,故p是假命題;令g(x)=tanx-x,則g'(x)=-1,∵?x∈,00,
∴g(x)>g(0)=0.∴tanx-x>0,即命題q是真命題,∴(?p)∧q是真命題,故答案為D.3.(2018湖南株洲質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)(二),5)下列各組命題中,滿足“‘p∨q’為真、‘p∧q’為假、‘?q’為真”的是( )A.p:y=在定義域內(nèi)是減函數(shù);q:f(x)=ex+e-x是偶函數(shù)B.p:?x∈R,x2+x+1≥0;q:x>1是x>2成立的充分不必要條件C.p:x+的最小值是6;q:直線l:3x+4y+6=0被圓(x-3)2+y2=25截得的弦長(zhǎng)為3D.p:拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0);q:過(guò)橢圓+=1的左焦點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)是3答案 B A.y=在(-∞,0)和(0,+∞)上分別是減函數(shù),則命題p是假命題,易知q是真命題,則?q是假命題,不滿足題意.B.判別式Δ=1-4=-3<0,則?x∈R,x2+x+1≥0成立,即p是真命題,x>1是x>2成立的必要不充分條件,即q是假命題,則“‘p∨q’為真、‘p∧q’為假、‘?q’為真”,故B滿足題意.C.當(dāng)x<0時(shí),x+的最小值不是6,則p是假命題,圓心到直線的距離d===3,則弦長(zhǎng)=2=8,則q是假命題,則p∨q為假命題,不滿足題意.D.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),則p是真命題,橢圓的左焦點(diǎn)為(-1,0),當(dāng)x=-1時(shí),y2=,則y=±,則最短的弦長(zhǎng)為×2=3,即q是真命題,則?q是假命題,不滿足題意.故選B.
解題關(guān)鍵 本題主要考查復(fù)合命題真假的判斷,結(jié)合條件分別判斷命題p,q的真假是解決本題的關(guān)鍵.本題綜合性較強(qiáng),涉及的知識(shí)點(diǎn)較多.
