專題二 不等式備考篇【考情探究】課標解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等關(guān)系,會從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.從近幾年高考情況來看,是高考的熱點,以容易題為主,主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),分值為5分;本專題內(nèi)容在高考試題中多以函數(shù)、不等式等知識為載體,用基本不等式解決求最值問題(如2020新高考Ⅰ卷第11題、2020天津卷第14題).在與集合的交、并、補運算結(jié)合的問題中,一般是求出不等式的解集.主要命題點有:(1)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用,常與函數(shù)相結(jié)合考查,注意不等式的等價變形;(2)不等式的解法,常與集合的基本運算相結(jié)合考查;(3)一元二次不等式恒成立問題,常與函數(shù)結(jié)合考查;(4)考查線性目標函數(shù)的最值,借助數(shù)形結(jié)合的思想,將直線在縱軸上的截距弄清楚,準確作圖是解題關(guān)鍵,要清楚目標函數(shù)的最值、最優(yōu)解的概念,若目標函數(shù)不是線性的,則常與線段的長度、直線的斜率等有關(guān);(5)考查利用基本不等式求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等,常與函數(shù)結(jié)合命題,解題時要注意應(yīng)用基本不等式的三個前提條件.二、簡單的線性規(guī)劃1.會從實際問題中抽象出二元一次不等式(組).2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.掌握二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的判斷方法.4.了解線性規(guī)劃的意義,并會簡單應(yīng)用.5.了解與線性規(guī)劃有關(guān)的概念(約束條件,目標函數(shù),可行解,可行域,最優(yōu)解).6.會用圖解法解決線性目標函數(shù)的最值問題.7.掌握線性規(guī)劃實際問題的解決方法.三、基本不等式與不等式的綜合應(yīng)用了解基本不等式的證明過程,會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.【真題探秘】命題立意
(1)必備知識:不等式的性質(zhì)、基本不等式、指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).(2)思想方法:化歸轉(zhuǎn)化法,數(shù)形結(jié)合法.(3)核心素養(yǎng):邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.解題指導(dǎo)運用消元法與配方法得選項A正確,運用不等式的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得選項B正確,運用基本不等式、對數(shù)運算的性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得選項C錯誤,用基本不等式及不等式性質(zhì)得選項D正確.解題過程∵a>0,b>0,a+b=1,∴0
成立,B正確;對于C選項,∵00,b>0,∴l(xiāng)og2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正確;對于D選項,∵(+)2=a+b+2=1+2≤1+a+b=2,∴+≤成立,D正確.故選ABD.易錯警示①統(tǒng)一變量時,忽略變量的范圍.②用基本不等式求最值時,忽略等號成立的條件.知能拓展(1)方法拓展:求解兩個變量的最值問題,其中一種方法就是統(tǒng)一成一個變量,需要注意變量的范圍,另一種方法就是通過拆、添項或配湊法構(gòu)造出基本不等式的形式,利用基本不等式求解.(2)總結(jié)提升:利用基本不等式求最值,設(shè)a,b∈(0,+∞),則a+b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號).一般地,①已知a,b∈(0,+∞),若a+b=P(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,積ab有最大值,是P2;②已知a,b∈(0,+∞),若ab=S(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,和a+b有最小值,是2.[教師專用題組]1.真題多維細目表考題涉分題型難度考點考向解題方法核心素養(yǎng)
2020新高考Ⅰ,115多項選擇題中不等式的概念和性質(zhì)比較大小逐項判斷法數(shù)學(xué)運算2020課標Ⅰ,文13,理135填空題中簡單的線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)的最值數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)運算2020天津,145填空題易基本不等式利用基本不等式求最值配湊法公式法數(shù)學(xué)運算2.命題規(guī)律與探究1.從近幾年高考情況來看,本章內(nèi)容的考題以容易題為主,主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),分值為5分.2.本章內(nèi)容在高考試題中多以函數(shù)、不等式等知識為載體,用基本不等式解決求最值問題(如2020年新高考Ⅰ卷第11題、2020年天津卷第14題).3.在與集合的交、并、補集運算結(jié)合的問題中,常需要求出不等式的解集,如2020年課標Ⅰ卷理數(shù)第2題.4.本章重點考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運算.3.命題變化與趨勢1.考查不等式的性質(zhì)、不等式的解法、基本不等式,形式比較穩(wěn)定,新高考中,本章內(nèi)容變化較大,刪除了簡單的線性規(guī)劃(新課程標準),因此高考對不等式的概念和性質(zhì)以及不等式的解法的考查力度會加大.2.建議復(fù)習(xí)時以基礎(chǔ)題為主,同時要注意不等式與其他章節(jié)知識的綜合,這部分難度相對較大,比較有區(qū)分度,但從近幾年考題分析,總體上高考在這一章考查形式比較穩(wěn)定,復(fù)習(xí)有章可循.4.真題典例核心考點 不等式的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用.儲備知識 1.基本不等式.2.二次函數(shù)求最值.3.指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì).易錯警示 1.在統(tǒng)一一個變量時,忽略變量的范圍.2.在用基本不等式求最值時,忽略等號成立的條件.方法總結(jié) 利用基本不等式求最值時,要熟悉利用拆、添項或配湊因式,構(gòu)造基本不等式形式的技巧,同時注意“一正、二定、三相等”的原則.
思想方法 求解有兩個變量的最值問題,其中一個方法就是統(tǒng)一成一個變量,需要注意變量的范圍;另一個方法就是通過拆、添項或配湊法構(gòu)造出基本不等式的形式.§2.1 不等式及其解法基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一 不等式的性質(zhì)1.若a>b>0,c B.< C.> D.<答案 D2.已知a1,a2∈(0,1),記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是( )A.MN C.M=N D.不確定答案 B
3.已知x>y>z,x+y+z=0,則下列不等式成立的是( )A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|答案 C考點二 不等式的解法4.不等式x2+2x-3≥0的解集為( )A.{x|x≤-3或x≥1} B.{x|-1≤x≤3}C.{x|x≤-1或x≥3} D.{x|-3≤x≤1}答案 A5.若關(guān)于x的不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|10的解集是{x|x>2或x<1}B.不等式-6x2-x+2≤0的解集是C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7-2},則k=-
B.若不等式的解集為,則k=C.若不等式的解集為R,則k<-D.若不等式的解集為?,則k≥答案 ACD[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一 不等式的概念和性質(zhì)1.(2019福建廈門期末,3)實數(shù)x,y滿足x>y,則下列不等式成立的是( )A.<1 B.2-x<2-yC.lg(x-y)>0 D.x2>y2答案 B 由x>y,得-x<-y,指數(shù)函數(shù)y=2x是定義域R上的單調(diào)遞增函數(shù),所以2-x<2-y,故選B.2.已知實數(shù)a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是( )A.a0,∴b>a;又a-c=-==>0,∴a>c,∴b>a>c,即ca>0,c∈R,則下列不等式中不一定成立的是( )A.< B.-c>-c
C.> D.ac2-c.因為-=>0,所以>.當(dāng)c=0時,ac2=bc2,所以D不成立,選D.4.(2019廣東清遠期末,10)已知<<0,給出下列三個結(jié)論:①a22;③lga2>lg(ab).正確結(jié)論的序號是( )A.①② B.①③ C.②③ D.①②③答案 A 因為<<0,所以b2,正確;③a2-ab=a(a-b)<0,所以a20,(b-a)2≥0,所以-(a+b)≤0,所以p≤q.
考點二 不等式的解法1.(2019上海復(fù)旦附中4月模擬,13)下列不等式中,與不等式≥0同解的是( )A.(x-3)(2-x)≥0 B.(x-3)(2-x)>0C.≥0 D.≥0答案 D 不等式≥0等價于=≥0,故選D.2.(2019湖北黃岡元月調(diào)研,3)關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)答案 C ∵關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-=1,關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-2)<0可化為(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,∴不等式的解集為{x|1f(3a)的解集為( )A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4)答案 B 因為函數(shù)f(x)=在定義域R上為減函數(shù),所以由f(a2-4)>f(3a),可得a2-4<3a,整理得a2-3a-4<0,解得-1b>0,c>1,則下列不等式成立的是( )A.lnacb D.<答案 C2.(多選題)(2020山東濱州三校聯(lián)考,4)設(shè)a>1>b>-1,b≠0,則下列不等式中恒成立的是( )A.< B.> C.a>b2 D.a2>b2答案 CD3.(2020北京順義期末檢測,5)若b>a>1,則下列不等式一定正確的是( )A.ab>2 B.a+b<2 C.< D.+>2答案 D考法二 不等式的解法4.(2020北京昌平高考模擬,5)已知關(guān)于x的不等式ax-b≤0的解集是[2,+∞),則關(guān)于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是( )A.(-∞,-3)∪(2,+∞) B.(-3,2)C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-2,3)答案 A5.(2019廣東梅州3月模擬,6)關(guān)于x的不等式x2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有3個正整數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為( )A.(5,6] B.(5,6) C.(2,3] D.(2,3)答案 A6.(2020浙江慈溪期中,13)已知a,b,c∈R,若{x|ax2+bx+c>0}={x|1”
或“=”).若記{x|cx2+bx+a<0}=P,則?RP= (用描述法表示集合).?答案 <;[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 不等式性質(zhì)的應(yīng)用1.已知非零實數(shù)a,b滿足a0 B.>C.abb2,∴C錯誤.對于D,∵f(x)=x3在R上是增函數(shù),且a B.> C.> D.>答案 D ∵a,故A項正確;∵aa,將a,故B項正確;根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可知,C項正確;∵ab2,故>不成立.故選D.3.(2018河北衡水中學(xué)十五模)已知<<0,則下列選項中錯誤的是( )A.|b|>|a| B.ac>bcC.>0 D.ln>0
答案 D <<0,當(dāng)c<0時,>>0,即b>a>0,∴|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此時0<<1,∴l(xiāng)n<0.同理,當(dāng)c>0時,D錯誤.故選D.4.(2019北京楊鎮(zhèn)一中月考文,4)已知a,b∈R,若a0,則a2b,a與2b的大小關(guān)系無法確定,故A錯誤.選項B中,若b=0,則ab=b2;若b>0,則abb2,故B錯誤.選項C中,若0c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a答案 B 由題意得a>1,0b>c,故選B.6.(2018北京東城一模,3)已知a,b∈R,且a>b,則下列不等式一定成立的是( )A.a2-b2>0 B.cosa-cosb>0C.-<0 D.e-a-e-b<0答案 D ∵a>b,∴-a<-b.由y=ex在R上單調(diào)遞增可知,e-ab2 B.1>>
C.+<2 D.aeb>bea答案 D 由題意可得b>1,B錯誤;+>2,C錯誤;∵beb>0,-b>-a>0,由不等式同向同正可乘性可知-bea>-aeb,∴bea
