§2.2　二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(舊課標(biāo))專題檢測(cè)1.(2020四川成都摸底測(cè)試,4)若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件則z=x-2y的最小值為(　　)A.0　　B.2　　C.4　　D.6答案　A　解法一:畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.由z=x-2y得y=x-z,其表示斜率為的動(dòng)直線.由得A,由圖可知,當(dāng)動(dòng)直線y=x-z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取得最小值,即zmin=1-2×=0.故選A.解法二:由得此時(shí)z=0;由得此時(shí)z=2;由得此時(shí)z=1.綜上所述,z的最小值為0,故選A.2.(2019黑龍江哈師大附中二模,5)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件則z=2-2x+y的最大值為(　　)A.　　B.　　C.　　D.2 答案　C　由實(shí)數(shù)x,y滿足的約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示,設(shè)u=-2x+y,則當(dāng)u=-2x+y取得最大值時(shí),z也取得最大值.聯(lián)立解得故A的坐標(biāo)為(1,1).由u=-2x+y得y=2x+u.由圖可知,當(dāng)直線y=2x+u過點(diǎn)A時(shí),直線在y軸上的截距最大,此時(shí)zmax=2-2+1=.故選C.3.(2019陜西三模,9)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組則z=|3x+y|的最大值為(　　)A.36　　B.18　　C.24　　D.12答案　B　解法一:作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.因?yàn)樵谄矫鎱^(qū)域內(nèi)x>0,y>0,所以z=|3x+y|=3x+y,即y=-3x+z.由圖象可知,當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí),z取得最大值.由解得故B的坐標(biāo)為(4,6),此時(shí)z=|3x+y|=|3×4+6|=18.所以zmax=18.故選B.解法二:作出可行域同解法一,z=×表示可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到直線3x+y=0的距離的 倍.由圖可知點(diǎn)B(4,6)到直線3x+y=0的距離最大,所以zmax=|3×4+6|=18.4.(2019寧夏銀川一中二模,7)如果點(diǎn)P(x,y)滿足點(diǎn)Q在曲線x2+(y+2)2=1上,則|PQ|的取值范圍是(　　)A.[-1,-1]　　B.[-1,+1]C.[-1,5]　　D.[-1,5]答案　D　曲線x2+(y+2)2=1對(duì)應(yīng)的圓心為M(0,-2),半徑為r=1,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,結(jié)合圖象可知,當(dāng)P位于點(diǎn)(-1,0)時(shí),|PQ|取得最小值,此時(shí)|PQ|=-1=-1.當(dāng)P位于點(diǎn)(0,2)時(shí),|PQ|取得最大值,最大值為2+3=5.綜上,|PQ|的取值范圍是[-1,5],故選D.56.(2018廣東廣州3月測(cè)試,8)若x,y滿足約束條件則z=x2+2x+y2的最小值為(　　)A.　　B.　　C.-　　D.-答案　D　 畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,z=x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1,其幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(-1,0)的距離的平方再減去1,觀察圖形可得,平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)(-1,0)的距離的最小值為,故z=x2+2x+y2的最小值為-1=-,選D.解題技巧　解決非線性規(guī)劃問題要注意三點(diǎn):第一,明確可行域是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域,分界線是實(shí)線還是虛線;第二,確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率,還是求點(diǎn)到直線的距離;第三,結(jié)合圖形確定最優(yōu)解.6.(2020河南鄭州一中、河北衡水中學(xué)等名校10月聯(lián)考,8)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組且目標(biāo)函數(shù)z=ax-2y的最大值為6,則實(shí)數(shù)a的值是(　　)A.4　　B.1或3　　C.2　　D.2或4答案　C　本題考查含參數(shù)的簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.作出可行域,如圖所示,目標(biāo)函數(shù)可化為y=x-(a>0),由圖可知當(dāng)直線y=x-經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取得最大值,由得A(a,1-a),所以zmax=a2-2(1-a)=6,解得a=2或a=-4(舍去).方法點(diǎn)撥　解決此類問題的方法:①構(gòu)建模型;②判斷二元一次不等式組表示的平面區(qū)域;③掌握求線性目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟:一畫、二移、三求. 7.(2019安徽六安一中模擬,5)已知實(shí)數(shù)x,y滿足則z=的取值范圍為(　　)A.　　B.(-∞,2]∪C.　　D.(-∞,0]∪答案　D　原不等式組可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為或畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,其中點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,2),而z==2+的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)M(0,-2)連線的斜率k再加上2,結(jié)合圖形可知k≥或k≤-2,因此z≥+2=或z≤-2+2=0.即z的取值范圍為(-∞,0]∪,故選D.解題關(guān)鍵?、僬_畫出不等式組表示的平面區(qū)域是求解本題的基礎(chǔ),而正確處理絕對(duì)值問題是畫圖的關(guān)鍵;②明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,確定最優(yōu)解是解決此類問題的核心.8.(2019湖南炎德英才大聯(lián)考(三),11)已知由不等式組確定的平面區(qū)域Ω的面積為7,定點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2),若N∈Ω,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則·的最小值是(　　)A.-8　　B.-7　　C.-6　　D.-4答案　B　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.由得C, 由圖可知,S△AOD=×4×4=8,而直線y=kx+2恒過點(diǎn)B(0,2),且(0,0)恒滿足y-kx≤2,當(dāng)k=0時(shí),y≤2,此時(shí)平面區(qū)域Ω的面積為6,6<7,當(dāng)k>0時(shí),平面區(qū)域Ω的面積小于6,不符合題意,由此可得k<0.依題意得S△BCD=×2×=1,解得k=-1或k=3(舍).所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,3),設(shè)N(x,y),z=·=x-2y.作出基本直線l0:x-2y=0,平移直線l0,可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C(-1,3)時(shí),z取得最小值,zmin=-1-2×3=-7,故選B.思路分析　作出不等式組所表示的平面區(qū)域,根據(jù)區(qū)域面積求得k的值,從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo),最后將·化為線性目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解.9.(2018四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校12月月考,7)已知變量x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=y-ax僅在點(diǎn)(-3,0)處取到最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A.　　B.(3,5)C.(-1,2)　　D.答案　A　畫出可行域如圖所示,其中A(-3,0),C(0,1),若目標(biāo)函數(shù)z=y-ax僅在點(diǎn)(-3,0)處取得最大值,由圖知,直線z=-ax+y的斜率大于直線x-2y+3=0的斜率,即a>,故選A. 10.(2018山東棲霞一中4月模擬,8)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=y-ax(a≠0)取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),則a的值為(　　)A.2　　B.1　　C.1或2　　D.-1答案　B　畫出不等式組表示的可行域,如圖中陰影部分所示(含邊界).由z=y-ax(a≠0)得y=ax+z(a≠0).因?yàn)閍≠0,所以要使z=y-ax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),必有a>0.①當(dāng)直線y=ax+z與直線AC重合,即a=1時(shí),直線y=ax+z在y軸上的截距最大,此時(shí)z取得最大值,且最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),符合條件;②當(dāng)直線y=ax+z與直線BC重合時(shí),直線y=ax+z在y軸上的截距最小,此時(shí)z取得最小值,不符合條件.故a=1,選B.11.(2019浙江寧波北侖中學(xué)一模,9)若x,y滿足約束條件則(x+1)y的取值范圍為(　　)A.[-3,0]　　B.　　C.　　D.答案　D　由題意作出可行域如圖所示, 易得A,B(-2,0),C,D(2,0),令z=(x+1)y,則當(dāng)x=-1時(shí),z=0;當(dāng)x≠-1時(shí),y=,顯然,當(dāng)曲線y=與直線AD:x+2y=2相切時(shí),z取得最大值,設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(t≠-1),則由y'=-,得解得故zmax=.如圖,當(dāng)曲線y=過點(diǎn)C時(shí),z取得最小值,zmin=(1+1)×=-3,綜上,(x+1)y的取值范圍是,故選D.12.(2020河南安陽(yáng)一模,13)若x,y滿足約束條件則z=的最大值為　　　　.?答案　解析　本題考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,z==·,表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)連線的斜率,由圖可知,的最大值即為點(diǎn)與點(diǎn)A的連線的斜率,由得點(diǎn) A的坐標(biāo)為,所以zmax==.思路分析?、佼嫵隹尚杏?②確定z=的幾何意義;③由數(shù)形結(jié)合確定最優(yōu)解位置;④求出最大值.13.(2019浙江臺(tái)州期末,13)已知x,y滿足條件則z=2x+y的最大值是　　　　,的最小值是　　　　.?答案　6;解析　畫出可行域如圖所示,當(dāng)y=-2x+z過點(diǎn)A(2,2)時(shí),zmax=6;易知表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,0)的距離,∴()min==.14.(2020安徽蕪湖第一中學(xué)9月月考,13)已知正數(shù)x,y滿足則z=4-x·的最小值為　　　　.?答案　 解析　作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示(區(qū)域不含y軸).z=4-x·=·=.令z'=2x+y,作出基本直線l0:2x+y=0,平移l0知,直線過點(diǎn)A(1,2)時(shí),z'取最大值4,此時(shí)z取得最小值,zmin==.技巧點(diǎn)撥　目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得,所以對(duì)于求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,可以直接求出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo),然后分別將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù),求出相應(yīng)的值,從而可確定目標(biāo)函數(shù)的最值.15.(2019重慶南開中學(xué)3月測(cè)試,14)已知定點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足當(dāng)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值是2時(shí),實(shí)數(shù)a的值是　　　　.?答案　2解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):由題意知=(x,y),=(2,0),設(shè)z===x,因?yàn)?O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值是2,所以x=2,此時(shí)點(diǎn)P落在直線x=a上,a=2.