§2.3 基本不等式與不等式的綜合應(yīng)用專題檢測(cè)1.(2020山東師大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lgx(x>0) B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)答案 C 本題主要考查應(yīng)用基本不等式求最值,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理.對(duì)于A,由于x2+≥2=x,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),取“=”,故A不正確;對(duì)于B,當(dāng)x∈(π,2π)時(shí),sinx<0,sinx+≤-2,故B不正確;對(duì)于C,x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0恒成立,故C正確;對(duì)于D,當(dāng)x=0時(shí),=1,故D不正確.2.(2020西南四省八校9月聯(lián)考,12)若x>0,y>0,x+2y=1,則的最大值為( )A. B. C. D.答案 C =,∵x>0,y>0,x+2y=1,∴+=·1=(x+2y)=5++≥5+2=5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)即x=y=時(shí),取“=”,∴≤,故的最大值為,選C.
3.(2020山東青島期初調(diào)研,8)函數(shù)f(x)=x2+x+(x>0)的最小值為( )A.4+2 B.4 C.8 D.+2答案 A ∵x>0,∴f(x)=x2+x+=x2++x+≥2+2=4+2,當(dāng)且僅當(dāng)即x=時(shí)取“=”,∴f(x)min=4+2,故選A.4.(2018福建廈門外國(guó)語(yǔ)中學(xué)模擬,10)已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,+=1,則a+2b的最小值是( )A.3 B.2 C.3 D.2答案 B ∵a>0,b>0,∴a+1>1,b+1>1,又∵+=1,∴a+2b=[(a+1)+2(b+1)]-3=[(a+1)+2(b+1)]·-3=1+++2-3≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“=”,故選B.5.(2018河北大名一中月考)已知關(guān)于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集為(x1,x2),則x1+x2+的最大值是( )A. B. C. D.-答案 D 由題意知x1,x2是方程x2-4ax+3a2=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2=3a2,x1+x2=4a,∴x1+x2+=4a+,∵a<0,∴-≥2=,即4a+≤-,當(dāng)且僅當(dāng)4a=,即a=-時(shí),取“=”,故x1+x2+的最大值為-.故選D.6.(2019晉冀魯豫名校期末聯(lián)考,10)已知函數(shù)f(x)=x2ex,若a>0,b>0,p=f,q=f,r=f(ab),
則( )A.q≤r≤p B.q≤p≤r C.r≤p≤q D.r≤q≤p答案 D 因?yàn)?=-=≥0,所以≥,又≥(a>0,b>0),所以≥ab.易得函數(shù)f(x)=x2ex在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(ab)≤f≤f,即r≤q≤p.7.(2020河南濮陽(yáng)第二次檢測(cè),9)已知a>2,b>2,則+的最小值為( )A.2 B.4 C.6 D.16答案 D 因?yàn)閍>2,b>2,所以a-2>0,b-2>0.令x=b-2,y=a-2,則x>0,y>0.原式=+≥2=2≥2=2=2≥2=16.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號(hào).故選D.思路分析 利用換元思想,設(shè)x=b-2,y=a-2,則x>0,y>0,將原式化為+,兩次使用基本不等式求解.8.(2019新疆昌吉教育共同體聯(lián)考,9)在1和17之間插入(n-2)個(gè)數(shù),使這n個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,若這(n-2)個(gè)數(shù)中第一個(gè)為a,第(n-2)個(gè)為b,當(dāng)+取最小值時(shí),n的值為( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 D 由已知得a+b=18,則+=×=≥×(26+10)=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=5a時(shí)取等號(hào),此時(shí)a=3,b=15,可得n=9.故選D.9.(2019遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校五模,9)已知函數(shù)f(x)=+x+sinx,若正實(shí)數(shù)a,b滿足
f(4a)+f(b-9)=0,則+的最小值是( )A.1 B. C.9 D.18答案 A 因?yàn)閒(x)=+x+sinx,所以f(-x)=-x-sinx=-=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),易知f(x)單調(diào)遞增,又正實(shí)數(shù)a,b滿足f(4a)+f(b-9)=0,所以4a+b-9=0,所以+=(4a+b)=4+++1=≥×(5+2)=1,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a=3時(shí),取等號(hào).故選A.10.(2020黑龍江道里檢測(cè),10)設(shè)a,b,c,d均為大于零的實(shí)數(shù),且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,則a2+b2+m的最小值為( )A.8 B.4+2 C.5+2 D.4答案 B ∵a,b,c,d均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,∴a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd≥2ab+2·2+ab+cd=4+3ab+cd≥4+2=4+2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,c=d,3ab=cd,即a=b=,c=d=時(shí)取等號(hào),∴a2+b2+m的最小值為4+2.故選B.11.(多選題)(2020山東煙臺(tái)期中,11)下列結(jié)論正確的是( )A.若a>b>0,c
B.若x>y>0,且xy=1,則x+>>log2(x+y)C.設(shè){an}是等差數(shù)列,若a2>a1>0,則a2>D.若x∈[0,+∞),則ln(1+x)≥x-x2
答案 AC 對(duì)于A,∵c-d>0,∴->->0,又∵a>b>0,∴->->0,∴>,故A正確;對(duì)于B,∵x>y>0,且xy=1,∴可取x=2,y=,此時(shí)x+=4,==,log2(x+y)=log2>log22=1,故不滿足x+>>log2(x+y),故B不正確;對(duì)于C,∵{an}是等差數(shù)列,∴a2=.又∵a3-a2=a2-a1>0,∴a3>a2>a1>0,∴>,即a2>,故C正確;對(duì)于D,令f(x)=ln(1+x)-x+x2,x≥0,則f'(x)=-1+x===,x>0,令f'(x)>0,可得x>3,令f'(x)<0,可得0a可得x-a>0,則x-a+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-a=2,即x=a+2時(shí),上式取得最小值4,則5-a≤4,可得a≥1,故a的最小值為1.
13.(2020上海復(fù)旦大學(xué)附中9月綜合練,8)已知≤+1對(duì)于任意的x∈(1,+∞)恒成立,則a的取值范圍是 .?答案 [-3,1]解析 由已知≤+1對(duì)于任意的x∈(1,+∞)恒成立可知,a2+2a+2≤+x對(duì)于任意的x∈(1,+∞)恒成立,令g(x)=+x,x>1,則g(x)=+x-1+1≥2+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取“=”,∴a2+2a+2≤g(x)min=5,∴a2+2a-3≤0,∴-3≤a≤1,故答案為[-3,1].14.(2019安徽黃山八校聯(lián)考,16)不等式(acos2x-3)sinx≥-3對(duì)任意x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?答案 解析 令g(x)=(acos2x-3)sinx,sinx=t,-1≤t≤1,則原函數(shù)化為g(t)=(-at2+a-3)t,即g(t)=-at3+(a-3)t,由-at3+(a-3)t≥-3整理得(t-1)[-at(t+1)-3]≥0,由t-1≤0知,-at(t+1)-3≤0,即a(t2+t)≥-3,當(dāng)t=0,-1時(shí)該不等式恒成立,當(dāng)0
