專題三　函數(shù)的概念、性質(zhì)與基本初等函數(shù)備考篇【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、函數(shù)的概念1.了解函數(shù)三要素及分段函數(shù),會求簡單函數(shù)的定義域.2.會根據(jù)不同需要選擇恰當(dāng)方法表示函數(shù).1.本專題重點考查以基本函數(shù)或由基本函數(shù)組合的函數(shù)為載體,考查函數(shù)的三要素、表示方法及性質(zhì)、圖象.特別是以指數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體,新高考Ⅰ第6題考查了指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用.2.常結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、分段函數(shù)考查函數(shù)的零點與方程根的問題.3.函數(shù)與其他知識結(jié)合考查.如函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與不等式、函數(shù)與解析幾何.考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想方法.1.本專題內(nèi)容為高考熱點.考題難度覆蓋易,中,難.題型主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).2.處理函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)問題,常畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合法解決,綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性,并注意函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化應(yīng)用.3.要關(guān)注在數(shù)列、解析幾何中的最值問題以及數(shù)學(xué)建模解決實際問題.二、函數(shù)的基本性質(zhì)了解函數(shù)奇偶性、周期性的含義,理解函數(shù)單調(diào)性、最值及幾何意義.三、二次函數(shù)與冪函數(shù)了解二次函數(shù)、冪函數(shù)的概念,理解二次函數(shù)圖象并簡單應(yīng)用.四、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)了解指數(shù)函數(shù)模型背景,實數(shù)指數(shù)冪的含義,理解有理指數(shù)冪的含義,指數(shù)函數(shù)的概念,單調(diào)性.掌握冪的運算,指數(shù)函數(shù)的圖象.五、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì),了解對數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì),掌握對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過的特殊點,會用換底公式.六、函數(shù)的圖象理解描點法作圖和圖象變換.利用函數(shù)圖象討論函數(shù)性質(zhì).七、函數(shù)與方程了解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)系.八、函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用,基本函數(shù)等不同函數(shù)類型的增長意義.【真題探秘】核心考點函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,抽象函數(shù)及不等式.思路分析利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性畫出示意圖,結(jié)合圖象解不等式. 核心素養(yǎng)直觀想象、邏輯推理.思想方法分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.方法總結(jié)奇偶性與單調(diào)性綜合的兩種題型及解法:1.比較大小.一般解法是先利用奇偶性將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,然后利用單調(diào)性比較大小.2.抽象不等式問題.解題步驟:(1)將所給不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系;(2)利用奇偶性得出其區(qū)間上的單調(diào)性,并利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)符號“f”,轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題,注意偶函數(shù)中結(jié)論f(x)=f(|x|)的靈活運用.[教師專用題組]1.真題多維細(xì)目表考題涉分題型難度考點考向解題方法核心素養(yǎng)2020新高考Ⅰ,85單項選擇題難函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性奇函數(shù)與解不等式數(shù)形結(jié)合邏輯推理2020新高考Ⅱ,75單項選擇題中函數(shù)的單調(diào)性已知單調(diào)性求參數(shù)取值范圍定義法邏輯推理2020新高考Ⅰ,65單項選擇題中函數(shù)模型及其應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用待定系數(shù)法數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運算2020課標(biāo)Ⅰ文,85選擇題易指數(shù)式與對數(shù)式指數(shù)與對數(shù)的互化公式法數(shù)學(xué)運算2020天津,35選擇題易函數(shù)圖象的識辨由解析式判斷圖象排除法邏輯推理2020北京,64選擇題易函數(shù)圖象的應(yīng)用結(jié)合圖象求不等式解集圖象觀察法邏輯推理2020天津,65選擇題中指數(shù)式與對數(shù)式指數(shù)與對數(shù)的大小比較中間量法數(shù)學(xué)運算2020北京,104選擇題中函數(shù)模型及其應(yīng)用函數(shù)模型的應(yīng)用綜合法數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運算2020課標(biāo)Ⅰ理,125選擇題難指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用放縮法定義法邏輯推理2020北京,155填空題中函數(shù)模型及其應(yīng)用與函數(shù)有關(guān)的實際應(yīng)用問題數(shù)形結(jié)合直接法數(shù)學(xué)建模邏輯推理數(shù)學(xué)運算2020北京,115填空題易求函數(shù)的定義域?qū)?shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域定義法數(shù)學(xué)運算2020天津,95選擇題難函數(shù)零點由零點個數(shù)求參數(shù)的范圍數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)運算邏輯推理2.命題規(guī)律與探究1.從2020年高考情況來看,本章內(nèi)容為高考熱點,考題難度覆蓋易、中、難,題型主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).2.本章內(nèi)容在2020年高考試題中多以基本初等函數(shù),特別是指數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體,如新高考Ⅰ卷第6題,課標(biāo)Ⅰ卷第8(文)、12(理)題、北京卷第6、11題等,這些題以指數(shù)、對數(shù)運算為主線,考查了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì). 3.在處理函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)問題時,可利用數(shù)形結(jié)合法畫出函數(shù)圖象,綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性,并注意函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化運用,如新高考Ⅰ卷第8題.4.本章重點考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運算和邏輯推理.3.命題變化與趨勢1.高考對本章內(nèi)容的考查較為穩(wěn)定,考查方式及題目難度與往年相比變化不大,延續(xù)此前的考試風(fēng)格.2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①函數(shù)模型及其應(yīng)用,如新高考Ⅰ卷第6題,基于新冠肺炎疫情初始階段累計感染病例數(shù)的數(shù)學(xué)模型的研究成果,考查了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和從資料中提取信息的能力,突出數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用,同時考查了利用單調(diào)性解不等式、比較大小,利用周期性求函數(shù)值;②結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、分段函數(shù)考查函數(shù)的零點與方程的根的問題;③函數(shù)與其他知識結(jié)合考查,如函數(shù)性質(zhì)與數(shù)列結(jié)合考查,函數(shù)知識在概率問題中的應(yīng)用等.常以這些內(nèi)容為考查重點,同時需要加強對數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在解決函數(shù)問題中的應(yīng)用,備考時需給予關(guān)注和強化.3.適當(dāng)關(guān)注函數(shù)與其他章節(jié)知識的交匯應(yīng)用,如在數(shù)列中求最值,解決解析幾何中最值問題以及函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用.§3.1　函數(shù)的概念基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一　函數(shù)的有關(guān)概念1.設(shè)函數(shù)f(x)=lg(1-x),則函數(shù)f(f(x))的定義域為(　　)A.(-9,+∞)　　B.(-9,1)　　C.[-9,+∞)　　D.[-9,1)答案　B2.下列函數(shù)為同一函數(shù)的是(　　)A.y=x2-2x和y=t2-2t　　B.y=x0和y=1C.y=和y=x+1　　D.y=lgx2和y=2lgx 答案　A3.函數(shù)f(x)=++(x-4)0的定義域為　　　　　　　　　　　.?答案　{x|x<-2或-24}4.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=的定義域為　　　　.?答案　考點二　函數(shù)的表示方法5.下列圖象可以表示以M={x|0≤x≤1}為定義域,以N={y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的是(　　)答案　C6.已知f(2x+1)=x2-2x,則f(x)=　,?f(3)=　　　　.?答案　x2-x+;-17.已知函數(shù)f(x)=則f=　　　　.?答案　 8.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(f(a))=2,則a=　　　　.?答案　[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一　函數(shù)的有關(guān)概念　若f(x)對于任意實數(shù)x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,則f(1)=(　　)A.2　　B.0　　C.1　　D.-1答案　A　令x=1,得2f(1)-f(-1)=4①,令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2②,聯(lián)立①②,解得f(1)=2.故選A.考點二　函數(shù)的表示方法1.已知函數(shù)f(x)=若f(f(0))=4a,則實數(shù)a等于(　　)A.　　B.　　C.2　　D.9答案　C　f(f(0))=f(2)=4+2a=4a?a=2,選C.2.(2020浙江Z20聯(lián)盟開學(xué)聯(lián)考,6)已知函數(shù)f(x)=若f(a)≤1,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.(-∞,-4]∪[2,+∞)　　B.[-1,2]C.[-4,0)∪(0,2]　　D.[-4,2]答案　D　本題考查分段函數(shù)的概念以及不等式的解法;考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算的能力和分類討論的思想;考查了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由f(a)≤1得或解得-4≤a≤0或00且a≠1)的值域是[4,+∞),則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.(1,+∞)　　B.(2,+∞)　　C.(1,2]　　D.(,2]答案　D　當(dāng)x≤2時,f(x)=8-2x∈[4,8),當(dāng)x>2時,f(x)=3+logax,∵函數(shù)f(x)的值域是[4,+∞),∴當(dāng)x>2時的值域是[4,+∞)的子集,若01.當(dāng)x>2時,f(x)=3+logax是增函數(shù),且f(x)>3+loga2,此時只需4≤3+loga2<8,即1≤loga2<5,也即1≤<5,則f(x)的x的取值范圍是(　　)A.(-∞,-1)∪(2,+∞)　　B.(-∞,-)∪(,+∞)C.(-∞,-)∪(2,+∞)　　D.(-∞,-1)∪(,+∞)答案　C　由題意知,x>0時,f(x)遞增,故f(x)>f(0)=0,又x≤0時,f(x)=0,故若f(x2-2)>f(x),則x2-2>x,且x2-2>0,解得x>2或x<-,故選C.5.(2019北京西城期末文,13)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(f(0))=　　　　;若方程f(x)=b有且僅有3個不同的實數(shù)根,則實數(shù)b的取值范圍是　　　　.? 答案　;解析　∵f(0)=e0=1,∴f(f(0))=f(1)=-12+1+=.作出分段函數(shù)y=f(x)的圖象,再觀察y=b的圖象.∴b∈時,方程f(x)=b有且僅有3個不同的實數(shù)根.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一　函數(shù)定義域的求法1.函數(shù)y=的定義域是(　　)A.(-∞,2]　　B.(0,2]　　C.(-∞,1]　　D.[1,2]答案　B2.若函數(shù)f(x)=的定義域為一切實數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.?答案　[0,4]3.已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2],那么g(x)=的定義域是　　　　　　　　　　　　.?答案　∪考法二　函數(shù)解析式的求法4.若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1,g(-1)=5,且圖象過原點,則g(x)的解析式為(　　) A.g(x)=2x2-3x　　B.g(x)=3x2-2xC.g(x)=3x2+2x　　D.g(x)=-3x2-2x答案　B5.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f(-x)=ex,則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　　　　　　　.?答案　f(x)=e-x-ex6.已知函數(shù)f(x)=,若f(x)+f=3,則f(x)+f(2-x)=　　　　.?答案　6考法三　分段函數(shù)問題的解題策略7.(2019山西太原三中模擬,10)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(m)=3,則實數(shù)m的值為(　　)A.-2　　B.8　　C.1　　D.2答案　D8.已知實數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)=若f(1-a)=f(1+a),則a的值為(　　)A.-　　B.　　C.-　　D.答案　A9.若函數(shù)f(x)=則f(f(-8))=(　　)A.-2　　B.2　　C.-4　　D.4答案　C10.已知f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,則f(f(-3))=(　　)A.-2　　B.2　　C.3　　D.-3答案　B 11.(2020山西平遙中學(xué)第一次月考)已知函數(shù)f(x)=若f(x)=-1,則x=　　　　.?答案　2或[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一　函數(shù)定義域的求法1.(2020浙江鎮(zhèn)海中學(xué)分校檢測,6)已知函數(shù)f(x)=的定義域是R,則實數(shù)a的取值范圍是　(　　)A.[2,+∞)　　B.　　C.　　D.答案　A　令t=2x(t>0),則at2+at+3a-6≥0對t>0恒成立,所以a≥,又<=2,所以a≥2.故選A.易錯警示　忽視t>0,容易錯選B.2.(2019華南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考,8)已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,1],則函數(shù)g(x)=的定義域是(　　)A.[0,1]　　B.(0,1)　　C.[0,1)　　D.(0,1]答案　B　由函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1],得-1≤x≤1,令-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1,又由1-x>0且1-x≠1,解得x<1且x≠0,所以函數(shù)g(x)的定義域為(0,1),故選B.3.(2019徐州檢測,3)函數(shù)f(x)的定義域是[-1,1],則函數(shù)f(lox)的定義域為　　　　　　.?答案　解析　因為f(x)的定義域是[-1,1],所以-1≤lox≤1,所以≤x≤2,故所求定義域為. 考法二　函數(shù)解析式的求法1.(2018重慶巴蜀中學(xué)二診,4)與函數(shù)y=10lg(x-1)的圖象相同的函數(shù)是(　　)A.y=x-1　　B.y=|x-1|C.y=　　D.y=答案　C　函數(shù)y=10lg(x-1)的定義域為{x|x>1},且y=x-1.對于A,它的定義域為R,故不符合題意;對于B,它的定義域為R,故不符合題意;對于C,它的定義域為{x|x>1},對應(yīng)關(guān)系也與題干相同,故符合題意;對于D,它的定義域為{x|x≠-1},故不符合題意.故選C.2.已知f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]=x+2,則f(x)=(　　)A.x+1　　B.2x-1　　C.-x+1　　D.x+1或-x-1答案　A　設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),則由f(f(x))=x+2,可得k(kx+b)+b=x+2,即k2x+kb+b=x+2,∴k2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,則f(x)=x+1.故選A.3.(2014湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)=(　　)A.-3　　B.-1　　C.1　　D.3答案　C　解法一:∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由題意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,則f(1)+g(1)=1,故選C.解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,顯然符合題意,∴f(1)+g(1)=12+1-13=1.選C.4.(2016北京朝陽二模,13)為了響應(yīng)政府推進“菜籃子”工程建設(shè)的號召,某經(jīng)銷商投資60 萬元建了一個蔬菜加工基地.第一年支出各種費用8萬元,以后每年支出的費用比上一年多2萬元.每年銷售蔬菜的收入為26萬元.設(shè)f(n)表示前n(n∈N*)年的純利潤(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出費用-投資額),則f(n)=　　　　　　　(用n表示),此經(jīng)銷商從第　　　　年開始盈利.?答案　-n2+19n-60;5解析　f(n)=26n-60-=-n2+19n-60(n∈N*),設(shè)此經(jīng)銷商從第n年開始盈利,則即解得∴n=5.考法三　分段函數(shù)問題的解題策略1.已知函數(shù)f(x)=的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.(-∞,-1)　　B.C.　　D.答案　C　由題意知y=lnx(x≥1)的值域為[0,+∞).故要使f(x)的值域為R,則必有y=(1-2a)x+3a為增函數(shù),且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0,且a≥-1,解得-1≤a<,故選C.2.(2019天津七校期中聯(lián)考,7)對實數(shù)m,n定義運算“