§3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)專題檢測1.(2017北京朝陽期中)已知函數(shù)f(x)=ax2-x,若對(duì)任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式>0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A. B.C. D.答案 D 由題意知函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則解得a≥,故選D.2.(2018河北石家莊一模,9)設(shè)f(x)是定義在[-2b,3+b]上的偶函數(shù),且在[-2b,0]上為增函數(shù),則f(x-1)≥f(3)的解集為( )A.[-3,3] B.[-2,4] C.[-1,5] D.[0,6]答案 B 因?yàn)閒(x)是定義在[-2b,3+b]上的偶函數(shù),所以有-2b+3+b=0,解得b=3,由函數(shù)f(x)在[-6,0]上為增函數(shù),得f(x)在(0,6]上為減函數(shù),故f(x-1)≥f(3)?f(|x-1|)≥f(3)?|x-1|≤3,故-2≤x≤4.選B.3.(2018廣東省際名校(茂名)聯(lián)考(二),4)設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是( )A.y=在R上為減函數(shù)B.y=|f(x)|在R上為增函數(shù)C.y=-在R上為增函數(shù)
D.y=-f(x)在R上為減函數(shù)答案 D A錯(cuò),如f(x)=x3,則y=的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),在定義域上無單調(diào)性;B錯(cuò),如f(x)=x3,則y=|f(x)|在R上無單調(diào)性;C錯(cuò),如f(x)=x3,則y=-的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),在定義域上無單調(diào)性.故選D.4.(2018浙江紹興高三3月適應(yīng)性模擬,4)已知a∈R,則“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函數(shù)”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案 C 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2是偶函數(shù),充分性成立;當(dāng)f(x)=x2+ax是偶函數(shù)時(shí),f(-x)=f(x),解得a=0,必要性成立,所以“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函數(shù)”的充分必要條件.故選C.5.(2018吉林長春二模,4)若f(x)=是奇函數(shù),則f(g(-2))的值為( )A. B.-C.1 D.-1答案 C ∵f(x)=是奇函數(shù),∴x<0時(shí),g(x)=-+3,∴g(-2)=-+3=-1,f(g(-2))=f(-1)=g(-1)=-+3=1.故選C.6.(2018甘肅慶陽一中5月模擬,10)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+4)=f(x),當(dāng)x∈(4,6]時(shí),f(x)=2x+1,則f(x)在區(qū)間[-2,0)上的表達(dá)式為( )A.f(x)=2x+1 B.f(x)=-2-x+4-1C.f(x)=2-x+4+1 D.f(x)=2-x+1答案 B 當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),-x∈(0,2],∴-x+4∈(4,6],又∵當(dāng)x∈(4,6]時(shí),f(x)=2x+1,∴f(-x+4)=2-x+4+1.又∵f(x+4)=f(x),∴f(-x+4)=f(-x),又∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=2-x+4+1,∴當(dāng)x∈[-2,0)
時(shí),f(x)=-2-x+4-1.故選B.7.(2019北京朝陽一模,4)若函數(shù)f(x)=則函數(shù)f(x)的值域是( )A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.[0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,2)答案 A 當(dāng)x<1時(shí),f(x)=2x.如圖,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),值域?yàn)?0,2);當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=-log2x.如圖,f(x)為單調(diào)遞減函數(shù),值域?yàn)?-∞,0].綜上,f(x)的值域?yàn)?-∞,2).故選A.8.(2019江都中學(xué)、揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)、溧水高級(jí)中學(xué)聯(lián)考,13)已知函數(shù)f(x)=的圖象上存在點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?答案 a<0或a≥解析 設(shè)(x,y)(x>0)為函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點(diǎn),則(-x,y)也在y=f(x)的圖象上,則有=alnx,∴=(2e-x)lnx.設(shè)g(x)=(2e-x)lnx(x>0),
則g'(x)=-lnx+=-lnx+-1,g″(x)=--,則g″(x)<0且g'(e)=0,∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g'(x)<0,∴g(x)≤g(e)=e,∴≤e,∴a<0或a≥.9.(2017天津河北二模,14)設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù),若g(x)=f(x)-2x在區(qū)間[2,3]上的值域?yàn)閇-2,6],則函數(shù)g(x)在[-2017,2017]上的值域?yàn)椤 ??答案 [-4030,4044]解析 由g(x)在區(qū)間[2,3]上的值域?yàn)閇-2,6],可設(shè)g(x0)=-2,g(x1)=6,x0,x1∈[2,3],則g(x0)=f(x0)-2x0=-2.∵y=f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù),∴對(duì)于任意n∈N*,g(x0+n)=f(x0+n)-2(x0+n)=f(x0)-2x0-2n=-2-2n.同理g(x1+n)=6-2n,又2017-3=2014,-2017-2=-2019,于是g(x)在[-2017,2017]上的最小值是-2-2×2014=-4030;在[-2017,2017]上的最大值是6-2×(-2019)=4044.∴函數(shù)g(x)在[-2017,2017]上的值域?yàn)閇-4030,4044].解題分析 本題考查了函數(shù)的值域、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用,考查了利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.10.(2019浙江金麗衢十二校2018學(xué)年高三第一次聯(lián)考,12)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x-1)=f(x+1),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,則f= .若在區(qū)間[-1,3]內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .?
答案 ;解析 由已知可得函數(shù)f(x)是周期為2的偶函數(shù),則f=f=f=.當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),-x∈[0,1),∴f(x)=f(-x)=-x,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),2-x∈[0,1],∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=2-x,當(dāng)x∈(2,3]時(shí),x-2∈(0,1],∴f(x)=f(x-2)=x-2,從而在區(qū)間[-1,3]上,f(x)的解析式為f(x)=令g(x)=0?f(x)=k(x+1),則需保證兩個(gè)函數(shù)y=f(x)和y=k(x+1)的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn),畫出圖象(畫圖略)可得k∈.11.(2018山東煙臺(tái)期中,16)設(shè)函數(shù)D(x)=則下列結(jié)論正確的是 .?(1)D(x)的值域?yàn)閧0,1};(2)D(x)是偶函數(shù);(3)D(x)是周期函數(shù);(4)D(x)不是單調(diào)函數(shù).答案 (1)(2)(3)(4)解析 由題意可知,D(x)的值域?yàn)閧0,1},(1)正確.∵D(-x)==D(x),∴D(x)是偶函數(shù),(2)正確.∵D(x+1)==D(x),∴T=1,(3)正確.∵D()=0,D(2)=1,D()=0,顯然D(x)不是單調(diào)函數(shù),∴(4)正確.
12.(2019啟東中學(xué)、前黃中學(xué)、淮陰中學(xué)等七校聯(lián)考,16)已知函數(shù)f(x)=ex--2x是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)若f(a-1)+f(2a2)≤0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析 (1)因?yàn)閒(x)=ex--2x是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),所以f(0)=0,所以m=1.(4分)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=ex--2x,f(-x)=-ex+2x=-f(x),符合題意.(6分)(2)f'(x)=ex+-2,因?yàn)閑x+≥2,所以f'(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),f'(x)=0,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,(10分)所以所以0≤a≤.(14分)(忘記定義域扣2分)13.(2019江蘇沙溪高級(jí)中學(xué)檢測)已知函數(shù)f(x)=-(a>0,x>0).(1)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.解析 (1)設(shè)任意x2>x1>0,則x2-x1>0,x1x2>0.因?yàn)閒(x2)-f(x1)=-=-=>0,所以f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).(2)因?yàn)閒(x)在上的值域是,又由(1)得f(x)在上是單調(diào)增函數(shù),所以f=,f(2)=2,易知a=.14.(2018江蘇泰州中學(xué)期中,17)已知函數(shù)f(x)=x2+(x-1)·|x-a|.(1)若a=-1,求滿足f(x)=1的x的取值集合;(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若a<1且不等式f(x)≥2x-3對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立,求a的取值范圍.解析 (1)當(dāng)a=-1時(shí),有f(x)=當(dāng)x≥-1時(shí),2x2-1=1,解得x=1或x=-1,當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=1恒成立,∴x的取值集合為{x|x≤-1或x=1}.(2)f(x)=若f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(x)是連續(xù)的,則有解得a≥,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(3)設(shè)g(x)=f(x)-(2x-3),則g(x)=若不等式g(x)≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立,
則當(dāng)x
