§3.7 函數(shù)與方程基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn) 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根1.設(shè)f(x)=lnx+x-2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案 B2.已知函數(shù)f(x)=|2x-2|+b的兩個零點(diǎn)分別為x1,x2(x1>x2),則下列結(jié)論正確的是( )A.1
1,x1+x2<2 D.x1>1,x1+x2<1答案 A3.已知函數(shù)f(x)=F(x)=f(x)-x-1,且函數(shù)F(x)有2個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )A.(-∞,0] B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,+∞)答案 C4.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=f(1-x)-1的零點(diǎn)個數(shù)為( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C
[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn) 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根1.(2020重慶模擬,3)函數(shù)f(x)=-x的零點(diǎn)位于區(qū)間( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案 B 本題考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用,體現(xiàn)了邏輯推理能力.考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),其圖象為一條不間斷的曲線.∵f(1)=-=>0,f(2)=-=-<0,∴f(1)·f(2)<0,∴由零點(diǎn)存在性定理可知,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(1,2).故選B.2.已知函數(shù)f(x)=-log3x,若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)=0的解,且x00,故x0∈(2,3),∴g(x0)=[x0]=2.故選B.4.(2017湖南衡陽八中一模,11)設(shè)函數(shù)f(x)=若互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足f(x1)=f(x2)=f(x3),則x1+x2+x3的取值范圍是( )
A. B. C. D.答案 B 函數(shù)f(x)=的圖象如圖,不妨設(shè)x10)的最小值為8,則( )A.a∈(5,6) B.a∈(7,8)C.a∈(8,9) D.a∈(9,10)答案 A 由題意得f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=a+log2a=8,將問題轉(zhuǎn)化為a+log2a=8有解,求a的范圍.令g(a)=a+log2a-8,a>0,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(5)=5+log25-8<0,g(6)=6+log26-8>0,所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知a∈(5,6).故選A.解題點(diǎn)撥 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,得到f(x)min=f(0);將問題轉(zhuǎn)化為a+log2a=8有解,求a的范圍.令g(a)=a+log2a-8,a>0,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,得到答案.6.(2020北京門頭溝一模,7)已知函數(shù)f(x)=且關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,1]答案 B 本題考查分段函數(shù)與方程的根,考查學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題的能力,考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法分析問題的能力,滲透直觀想象的核心素養(yǎng),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的綜合性.關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-x+a只有一個交點(diǎn),如圖所示,當(dāng)a>1時,滿足題意,故選B.7.(2020四川南充模擬,9)設(shè)函數(shù)f(x)=若方程f(x)=a有且只有一個實(shí)根,則實(shí)數(shù)a滿足( )A.a<0 B.0≤a<1 C.a=1 D.a>1答案 C 關(guān)于x的方程f(x)=a有且只有一個實(shí)根?y=f(x)的圖象與直線y=a只有一個交點(diǎn),畫出函數(shù)的圖象如圖,觀察函數(shù)的圖象可知當(dāng)a=1時,y=f(x)的圖象與直線y=a只有一個交點(diǎn),故選C.8.已知f(x)=則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)個數(shù)是 .?答案 5解析 由2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1.作出函數(shù)y=f(x)的圖象(如圖).
由圖象知直線y=與y=f(x)的圖象有2個交點(diǎn),直線y=1與y=f(x)的圖象有3個交點(diǎn).因此函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)有5個.9.(2017山東棗莊4月模擬,12)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .?答案 (0,1)解析 f(x)==畫出f(x)的圖象如圖,由函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點(diǎn),知f(x)=m有三個根,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1).10.(2020湖南長沙第一中學(xué)4月第七次大聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=函數(shù)g(x)=[f(x)]2-mf(x)+2,若函數(shù)g(x)恰有4個零點(diǎn),則整數(shù)m的最小取值為 .?答案 4解析 令y=,x>0,則y'=,據(jù)此可得f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)x=e時,f(x)取得極大值,為f(e)=1.作出f(x)的大致圖象,如圖.令f(x)=t,則原問題等價于t2-mt+2=0有兩
個不相等的實(shí)數(shù)根,設(shè)為t1,t2,且t1∈(0,1),t2=∈(2,+∞),故m=t1+∈(3,+∞),故m的最小整數(shù)值為4.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一 函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)及所在區(qū)間的判斷方法1.(2019河北石家莊模擬,5)f(x)=ex-x-2在下列哪個區(qū)間必有零點(diǎn)( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)答案 C2.(多選題)(2021屆山東棗莊三中第一次月考(9月))已知函數(shù)f(x)=下列是函數(shù)y=f(|f(x)|)+1的零點(diǎn)個數(shù)的4個判斷,其中正確的是( )A.當(dāng)k>0時,有3個零點(diǎn) B.當(dāng)k<0時,有2個零點(diǎn)C.當(dāng)k>0時,有4個零點(diǎn) D.當(dāng)k<0時,有1個零點(diǎn)答案 CD3.(2020寧夏銀川一中第一次月考,5)下列函數(shù)中,在(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是( )A.y=lox B.y=3x-1 C.y=x2- D.y=-x3答案 B4.(多選題)(2021屆江蘇揚(yáng)州邗江蔣王中學(xué)第一次質(zhì)量檢測,12)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=ex(x+1),則下列命題正確的是( )A.當(dāng)x>0時,f(x)=-e-x(x-1)
B.函數(shù)f(x)有3個零點(diǎn)C.f(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1)D.?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2答案 BC考法二 函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用5.(2021屆重慶巴蜀中學(xué)高考適應(yīng)性月考(一),12)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-mx-m+有4個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A. B. C. D.答案 B6.(2020江蘇如皋中學(xué)第一學(xué)期階段檢測,18)已知f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=g(x)=f(x)-a.(1)若函數(shù)g(x)恰有三個不相同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;(2)記h(a)為函數(shù)g(x)的所有零點(diǎn)之和.當(dāng)-10,所以f(2)f(3)<0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,知函數(shù)f(x)=lnx-在區(qū)間(2,3)上必存在零點(diǎn).故選B.2.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)所在區(qū)間為( )A. B.(-1,0)C. D.(4,5)答案 A 本題考查分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.當(dāng)x≤0時,30時,f(x)=2x+log9x2-9=2x+log3x-9為增函數(shù),且f(3)=0,則x=3是唯一的零點(diǎn),所以令f(f(x))=0,得f(x)=2x+log3x-9=3,因?yàn)閒(3)=0<3,f=8+log3-9>8×1.414+log33-9=3.312>3,所以函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選A.3.(2019湖南婁底二模,9)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xlnx=1的解,則x1x2等于( )A.1 B.-1 C.e D.答案 A 考慮到x1,x2是函數(shù)y=ex、函數(shù)y=lnx分別與函數(shù)y=的圖象的公共點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo),而A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱,因此x1x2=1.故選A.解題關(guān)鍵 本題考查函數(shù)與方程的綜合問題,正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,將方程xex=1的解、方程xlnx=1的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ex、函數(shù)y=lnx分別與函數(shù)y=的圖象的公共點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)來求解.4.(2018百校聯(lián)盟TOP20三月聯(lián)考,16)已知函數(shù)f(x)=x|x-4|+2x,存在x3>x2>x1≥0,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),則x1x2·f(x3)的取值范圍是 .?答案 (64,81)
解析 f(x)=x|x-4|+2x=作出f(x)的圖象如圖,由圖象可知,x1+x2=6,且2m)的圖象有一個交點(diǎn)A(2,2),并且與拋物線y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分有兩個交點(diǎn)B、C,由解得B(-1,-1),C(-2,-2),∵拋物線y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分必須包含B、C兩點(diǎn),且點(diǎn)A(2,2)一定在y=2(x>m)的圖象上,才能使y=f(x)的圖象與直線y=x有3個交點(diǎn),∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1≤m<2.5.(2018吉林長春十一高中、東北師大附中等五校聯(lián)合模擬)函數(shù)f(x)滿足對任意x∈R,都有f(x+2)=-f(-x),且f(x)=g(x)=-x+,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在(-1,3)上的零點(diǎn)之和是 .?答案 5解析 ∵f(x+2)=-f(-x),∴f(1)=0,易知在區(qū)間(-1,3)上,函數(shù)f(x)的圖象和直線g(x)=-x+都關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱,且直線g(x)=-x+和曲線f(x)在區(qū)間(-1,3)上有五個交點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)的對稱性得到h(x)在(-1,3)上的零點(diǎn)之和為4+1=5.
