§3.8 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn) 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用1.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為( )A. B.C. D.-1答案 D2.(2021屆江蘇蘇州開學(xué)初調(diào)研)大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵,記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q.科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)v與log3成正比,當(dāng)v=1m/s時,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為900.當(dāng)v=2m/s時,其耗氧量的單位數(shù)為( )A.1800 B.2700 C.7290 D.8100答案 D3.某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t∈(0,14]時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當(dāng)t∈(14,40]時,曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于等于80時聽課效果最佳.(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式;(2)老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳?請說明理由.
[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn) 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用1.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),按逆時針方向沿周長為l的平面圖形運(yùn)動一周,A,P兩點(diǎn)間的距離y與動點(diǎn)P所走過的路程x的關(guān)系如圖所示,則動點(diǎn)P所走的圖形可能是( )答案 D 對于A,當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動時,y=x,不符合題意;對于B,在橢圓中,y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象不是對稱的,不符合題意;對于C,當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動時,y=x,不符合題意;對于D,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AP是直徑時,y最大,此時,x=,符合題意.故選D.2.(2019北京牛欄山一中期中,8)在股票買賣過程中,經(jīng)常會用各種曲線來描述某一只股票的變化趨勢,其中一種曲線是即時價格曲線y=f(x),一種曲線是平均價格曲線y=g(x).例如:f(2)=3表示開始交易后2小時的即時價格為3元,g(2)=4表示開始交易后2小時內(nèi)所有成交股票的平均價格為4元.下列四個圖中,實線表示y=f(x),虛線表示y=g(x).其中可能正確的是( )
答案 B 剛開始交易時,即時價格和平均價格應(yīng)該相等,故A錯誤;開始交易后,平均價格應(yīng)該跟隨即時價格變動,即時價格與平均價格同增同減,且平均價格在任何時刻的變化幅度應(yīng)該小于即時價格的變化幅度,當(dāng)即時價格最低時,平均價格還沒有達(dá)到最低值,平均價格的最小值大于即時價格的最小值,故C、D均錯誤,只有選項B滿足條件,故選B.評析 考查函數(shù)的實際應(yīng)用問題,要求學(xué)生學(xué)知識要學(xué)活,不能“僵化”的學(xué)習(xí).本題同時重點(diǎn)考查識圖、認(rèn)圖的能力.3.(2019北京八中10月月考,5)調(diào)查表明,酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因,交通法規(guī)規(guī)定:駕駛員在駕駛機(jī)動車時血液中酒精含量不得超過0.02mg/ml.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小時50%的速度減少,他至少要經(jīng)過 小時才可以駕駛機(jī)動車(精確到小時)( )?A.1 B.2C.4 D.6答案 C 設(shè)n小時后才可以駕駛機(jī)動車,由題意得0.3(1-50%)n≤0.02,∴≤,∴n≥4,即至少要經(jīng)過4小時后才可以駕駛機(jī)動車.故選C.4.(2019陜西第一次模擬聯(lián)考,16)定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0,且當(dāng)x∈(0,1]時,f(x)=x,則下列四個命題中,正確的是 (填序號).?①f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=0;②方程f(x)=log5|x|有5個根;③f(x)=④函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.答案?、佗冖邰芙馕觥《x在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0,可得f(x+2)=-f(x)=f(-x),即有函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,故④正確;
又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故可得f(x)的周期為4,由x∈(0,1]時,f(x)=x,可得f(1)=1,又f(0)=0,f(2)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=504×(1+0-1+0)+1+0-1=0,故①正確;當(dāng)x∈[-1,0)時,-x∈(0,1],所以f(-x)=-x=-f(x),故f(x)=x(-1≤x<0),所以f(x)=x(-1≤x≤1),由f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱可得f(x)=2-x(1≤x≤3),如圖,作出y=f(x)的圖象和y=log5|x|的圖象,可得它們有五個交點(diǎn),即方程f(x)=log5|x|有5個根,故②正確;由f(x)的周期為4,且-1≤x≤1時,f(x)=x,1≤x≤3時,f(x)=2-x,可得當(dāng)-1+4k≤x≤4k+1,k∈Z時,f(x)=x-4k,1+4k≤x≤4k+3,k∈Z時,f(x)=2-x+4k,故③正確.故答案為①②③④.5.(1)某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了2019年春節(jié)前后,從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數(shù)圖象,如圖所示,則此人在12月26日大約賣出了西紅柿 千克.?(2)牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只,為保證羊群的生長空間,實際蓄養(yǎng)量不能達(dá)到最大蓄養(yǎng)量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知羊群的年增長量y只和實際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0).①寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出這個函數(shù)的定義域;②求羊群年增長量的最大值;③當(dāng)羊群的年增長量達(dá)到最大值時,求k的取值范圍.答案 (1)
解析 (1)前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)為y=kx+b,k≠0,將點(diǎn)(1,10)和點(diǎn)(10,30)代入函數(shù)解析式得解得k=,b=,所以y=x+,則當(dāng)x=6時,y=.(2)①根據(jù)題意,由于最大蓄養(yǎng)量為m只,實際蓄養(yǎng)量為x只,則蓄養(yǎng)率為,故空閑率為1-,由此可得y=kx(0
0,所以040(1+20%)n,整理得nlg5>(n+1)lg4,解得n>6,
因而經(jīng)過7年后,A產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量,故選B.2.(2020四川綿陽模擬,8)2020年3月,國內(nèi)新冠肺炎疫情得到有效控制,人們開始走出家門享受春光.某旅游景點(diǎn)為吸引游客,推出團(tuán)體購票優(yōu)惠方案如表:購票人數(shù)1~5051~100100以上門票價格13元/人11元/人9元/人兩個旅游團(tuán)隊計劃游覽該景點(diǎn),若分別購票,則共需支付門票費(fèi)1290元;若合并成一個團(tuán)隊購票,則需支付門票費(fèi)990元,那么這兩個旅游團(tuán)隊的人數(shù)之差為( )A.20 B.30 C.35 D.40答案 B 設(shè)兩個旅游團(tuán)隊的人數(shù)分別為a,b,且a,b∈N*,不妨令a≥b.∵1290不能被13整除,∴a+b≥51.若51≤a+b≤100,則11(a+b)=990,得a+b=90,①由共需支付門票費(fèi)為1290元可知,11a+13b=1290,②聯(lián)立①②解得b=150,a=-60,不符合題意;若a+b>100,則9(a+b)=990,得a+b=110,③由共需支付門票費(fèi)為1290元可知,1≤b≤50,51≤a≤100,得11a+13b=1290,④聯(lián)立③④解得a=70,b=40.∴這兩個旅游團(tuán)隊的人數(shù)之差為70-40=30.故選B.3.(2020江西南昌模擬,7)衡東土菜辣美鮮香,享譽(yù)三湘.某衡東土菜館為實現(xiàn)100萬元年經(jīng)營利潤目標(biāo),擬制訂員工的獎勵方案:在經(jīng)營利潤超過6萬元的前提下獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨經(jīng)營利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過3萬元,同時獎金不能超過利潤的20%.下列函數(shù)模型中,符合該要求的是( )(參考數(shù)據(jù):1.015100≈4.432,lg11≈1.041)A.y=0.04x B.y=1.015x-1C.y=tan D.y=log11(3x-10)
答案 D 本題結(jié)合現(xiàn)實生活情境,考查了函數(shù)模型的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).對于函數(shù)y=0.04x,當(dāng)x=100時,y=4>3,不符合題意;對于函數(shù)y=1.015x-1,當(dāng)x=100時,y=3.432>3,不符合題意;對于函數(shù)y=tan,不滿足在x∈(6,100]上遞增,不符合題意;對于函數(shù)y=log11(3x-10),滿足在x∈(6,100]上是增函數(shù),且y≤log11(3×100-10)=log112901) B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)答案 ABD 由所給數(shù)據(jù)可知y隨x的增大而增大,且增長速度越來越快,而A,D中的函數(shù)的增長速度越來越慢,B中的函數(shù)增長速度保持不變.故選ABD.4.(多選題)某單位準(zhǔn)備印制一批證書,現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇,甲廠費(fèi)用分為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分,先收取固定的制版費(fèi),再按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi),乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi),甲廠的總費(fèi)用y1(千元),乙廠的總費(fèi)用y2(千元)與印制證書數(shù)量x(千個)的函數(shù)關(guān)系圖象分別如圖中甲、乙所示,則( )
A.甲廠的制版費(fèi)為1千元,印刷費(fèi)平均每個為0.5元B.甲廠的總費(fèi)用y1與印制證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=0.5x+1C.當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時,乙廠的印刷費(fèi)平均每個為1.5元D.當(dāng)印制證書數(shù)量超過2千個時,乙廠的總費(fèi)用y2與印制證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=x+E.若該單位需印制證書數(shù)量為8千個,則該單位選擇甲廠更節(jié)省費(fèi)用答案 ABCD 由題圖知甲廠的制版費(fèi)為1千元,印刷費(fèi)平均每個為0.5元,故A正確;甲廠的總費(fèi)用y1與印制證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y1=0.5x+1,故B正確;當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時,乙廠的印刷費(fèi)平均每個為3÷2=1.5元,故C正確;易知當(dāng)x>2時,y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=x+,故D正確.當(dāng)x=8時,y1=0.5×8+1=5,y2=×8+=,因為當(dāng)x>6時,y1>y2,所以當(dāng)印制8千個證書時,選擇乙廠更節(jié)省費(fèi)用,故E不正確.故選ABCD.5.(2018上海崇明一模,21)若存在常數(shù)k(k>0),使得對定義域D內(nèi)的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,則稱函數(shù)f(x)在其定義域D上是“k-利普希茲條件函數(shù)”.(1)若函數(shù)f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希茲條件函數(shù)”,求常數(shù)k的最小值;(2)判斷函數(shù)f(x)=log2x是不是“2-利普希茲條件函數(shù)”,若是,請證明;若不是,請說明理由;(3)若y=f(x)(x∈R)是周期為2的“1-利普希茲條件函數(shù)”,證明:對任意的實數(shù)x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.解析 (1)若函數(shù)f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希茲條件函數(shù)”,則存在k(k>0),使得對于定義域
[1,4]上任意兩個x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,不妨設(shè)x1>x2,則k≥=恒成立.∵1≤x22|x1-x2|,∴函數(shù)f(x)=log2x不是“2-利普希茲條件函數(shù)”.(3)設(shè)f(x)的最大值為M,最小值為m,在一個周期[0,2]內(nèi)f(a)=M,f(b)=m,則|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b)≤|a-b|.若|a-b|≤1,顯然有|f(x1)-f(x2)|≤|a-b|≤1.若|a-b|>1,不妨設(shè)a>b,則0
