§4.1　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算專題檢測(cè)1.(2020湖南衡陽八中月考,5)已知直線y=-x+m是曲線y=x2-3lnx的一條切線,則m的值為(　　)A.0　　B.2　　C.1　　D.3答案　B　設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),結(jié)合題意可知y'=2x0-=-1,解得x0=1或x0=-(舍去),將其代入曲線y=x2-3lnx得y0=1,所以切點(diǎn)為(1,1),將其代入切線方程可得1=-1+m,解得m=2.故選B.2.(2019河北唐山二模,8)已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則曲線f(x)在x=2處的切線斜率等于(　　)A.6　　B.-2　　C.-6　　D.-8答案　B　設(shè)x>0,則-x<0,f(-x)=x2-2x,又f(x)為奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x)=-x2+2x,x>0,則f'(x)=-2x+2,則f'(2)=-2.故選B.一題多解　當(dāng)x≤0時(shí),f'(x)=2x+2,則f'(-2)=-2,由于f(x)為奇函數(shù),所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f'(2)=f'(-2)=-2,故曲線f(x)在x=2處的切線斜率為-2,故選B.3.(2019福建福州一模,7)已知函數(shù)f(x)=xsinx,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)f'(x)的部分圖象大致為(　　) 答案　A　由題意知f'(x)=sinx+xcosx,為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除C,D,設(shè)g(x)=f'(x),則g'(x)=2cosx-xsinx,則g'(0)=2>0,排除B,故選A.4.(2020江西九江十校4月模擬,10)若曲線y=x4-x3+ax(x>0)存在斜率小于1的切線,則a的取值范圍為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C　由題意得y'=4x3-3x2+a<1當(dāng)x>0時(shí)有解.設(shè)f(x)=4x3-3x2+a(x>0),∴f'(x)=12x2-6x=6x(2x-1),令f'(x)<0得00得x>,∴f(x)min=f=a-<1,則a<.故選C.5.(2019廣西南寧二中4月月考,7)如圖所示,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+3是曲線y=f(x)在x=1處的切線,令h(x)=,h'(x)是h(x)的導(dǎo)函數(shù),則h'(1)的值是(　　)A.2　　B.1　　C.-1　　D.-3答案　D　由圖象可知直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,2),則k+3=2,k=-1, 即f'(1)=-1,且f(1)=2.∵h(yuǎn)(x)=,∴h'(x)=,則h'(1)=f'(1)-f(1)=-1-2=-3,故選D.6.(2019湖北武漢4月調(diào)研,12)設(shè)曲線C:y=3x4-2x3-9x2+4,在曲線C上一點(diǎn)M(1,-4)處的切線記為l,則切線l與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A.1　　B.2　　C.3　　D.4答案　C　y'=12x3-6x2-18x,則y'|x=1=12×13-6×12-18×1=-12,∴曲線y=3x4-2x3-9x2+4在點(diǎn)M(1,-4)處的切線方程為y+4=-12(x-1),即12x+y-8=0.聯(lián)立解得或或故切線與曲線C還有其他的公共點(diǎn)(-2,32),,∴切線l與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C.7.(2018陜西西安八校第一次聯(lián)考,12)曲線y=x3上一點(diǎn)B處的切線l交x軸于點(diǎn)A,△OAB(O為原點(diǎn))是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形,則切線l的傾斜角為(　　)A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.120°答案　C　對(duì)y=x3求導(dǎo)得y'=3x2,設(shè)切點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),則B點(diǎn)處的切線l的斜率為3,∴切線l的方程為y-=3(x-x0),令y=0,得x=x0,則A.∵△OAB是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形,∴|OA|=|AB|,即=,∴=,∴切線l的斜率為3=,∴切線l的傾斜角為60°,故選C. 8.(2020河南新鄉(xiāng)一中二模,12)已知函數(shù)f(x)=aex(a>0)與g(x)=2x2-m(m>0)的圖象在第一象限有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同,當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　D　設(shè)切點(diǎn)為A(x0,y0),所以整理得由m=2-4x0>0和x0>0,解得x0>2.由上可知a=,令h(x)=,x>2,則h'(x)=.因?yàn)閤>2,所以h'(x)=<0,h(x)=在(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以00,曲線f(x)=3x2-4ax與g(x)=2a2lnx-b有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線相同,則實(shí)數(shù)b的最小值為(　　)A.0　　B.-　　C.-　　D.-答案　B　設(shè)曲線y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(diǎn)P(x0,y0)處的切線相同,因?yàn)閒'(x)=6x-4a,g'(x)=,由題意得f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),所以3-4ax0=2a2lnx0-b,6x0-4a=,由6x0-4a=得x0=a或x0=-a(舍去),即有b=a2+2a2lna.令h(t)=t2+2t2lnt(t>0),則h'(t)=4t(1+lnt),當(dāng)4t(1+lnt)>0,即t>時(shí),h'(t)>0,當(dāng)4t(1+lnt)<0,即00)上存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析　(1)f'(x)=,故切線的斜率為f'(e)=-,又f(e)=,∴切線方程為y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0.(2)當(dāng)00,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0.故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.故f(x)在x=1處取得極大值.∵f(x)在區(qū)間(m>0)上存在極值,∴01,解得0時(shí),證明:f(x)0),故h'(x)=-1.由h'(x)=0得x=1,h'(x),h(x)隨x的變化情況如下:x(0,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)↗極大值↘∴h(x)max=h(1)=ln1-1=-1<0,∴f(x)0,m(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增,當(dāng)x>0時(shí),m″(x)=-(x+1)ex.易知m″(x)<0,則m'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又m'(0)=1>0,m'(1)=1-e<0,∴存在x0∈(0,1),使得m'(x0)=-x0+1=0,x∈(0,x0)時(shí),m'(x)>0,m(x)單調(diào)遞增,x∈(x0,+∞)時(shí),m'(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,∴m(x)max=m(x0)=(1-x0)+x0+1=(1-x0)+x0+1>0,又m(-2)=3e-2-1<0,m(2)=-e2+3<0,∴m(x)在(-2,x0),(x0,2)內(nèi)各存在一個(gè)零點(diǎn),故曲線f(x)與g(x)存在2條公切線.