專題五　三角函數(shù)與解三角形備考篇【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、三角函數(shù)的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.4.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.5.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α、π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.1.本專題考查的核心素養(yǎng)以數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理為主,同時(shí)兼顧考查直觀想象.2.從近幾年高考情況來(lái)看,本專題內(nèi)容為高考必考內(nèi)容,考題難度以中檔題為主,題型在選擇題、填空題和解答題均有可能出現(xiàn),比如(2020新高考Ⅰ的第10題(多選題),第15題(填空題),第17題(解答題),占20分;2020課標(biāo)Ⅰ理第9題考查二倍角公式,第16題是翻折問題與解三角形的結(jié)合;2020北京第14題考查三角函數(shù)最值及誘導(dǎo)公式,第17題選條件用正、余弦定理解三角形與求三角形的面積結(jié)合等).1.在復(fù)習(xí)備考中,注意基礎(chǔ)知識(shí)的積累,基礎(chǔ)概念、定義要弄清楚.2.切實(shí)掌握三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)以及基本變換思想.3.高考對(duì)正弦定理和余弦定理的考查較為靈活,題型多變,往往以小題的形式獨(dú)立考查正弦定理或余弦定理,以解答題的形式綜合考查定理的綜合應(yīng)用,多與三角形周長(zhǎng)、面積有關(guān);有時(shí)也會(huì)與平面向量、三角恒等變換等結(jié)合考查.二、三角恒等變換1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.三、三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用1.理解正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)及圖象.2.能畫y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖象變換的影響.3.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型,會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題.四、解三角形及綜合應(yīng)用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的解三角形問題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的問題.【真題探秘】必備知識(shí)正弦定理、余弦定理.核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.解題指導(dǎo)在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí),一般全部化為角的關(guān)系或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理,出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理.易錯(cuò)警示應(yīng)用正、余弦定理時(shí),注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí),注意角的限制范圍.[教師專用題組]1.真題多維細(xì)目表考題涉分題型難度考點(diǎn)考向解題方法核心素養(yǎng)2020課標(biāo)Ⅰ理,95選擇題中三角恒等變換二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算2020課標(biāo)Ⅰ,文7,理75選擇題易三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最小正周期定義法數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅰ,105多項(xiàng)選擇題中三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)定義法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020北京,145填空題中三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的最值的應(yīng)用直接法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020課標(biāo)Ⅰ理,165填空題中解三角形余弦定理的應(yīng)用直接法邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2020天津,85選擇題中三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用三角函數(shù)的周期、最值,圖象平移逐項(xiàng)判斷法數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)運(yùn)算2020北京,1713解答題中解三角形及其綜合應(yīng)用條件選擇;正、余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,兩角和的正弦公式直接法邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅰ,1710解答題中解三角形及其綜合應(yīng)用條件選擇;正、余弦定理的應(yīng)用直接法邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2020天津,1614解答題中解三角形及其綜合應(yīng)用正、余弦定理的應(yīng)用,兩角和的正弦公式、二倍角公式直接法邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2.命題規(guī)律與探究1.從2020年高考情況來(lái)看,本章內(nèi)容為高考熱點(diǎn),考題難度以中檔為主,選擇題、填空題和解答題均有可能出現(xiàn).2.高考試題中主要考查三角函數(shù)的圖象及其變換、性質(zhì)及其應(yīng)用,以及正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,有時(shí)也以化簡(jiǎn)求值為背景考查三角恒等變換等問題.3.在處理三角函數(shù)與解三角形有關(guān)問題時(shí),熟記公式是解決此類問題的前提,同時(shí)注意換元法在解決與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)問題中的應(yīng)用.4.本章重點(diǎn)考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.3.命題變化與趨勢(shì)1.高考對(duì)本章內(nèi)容的考查在穩(wěn)定中有所提升,考查方式及題目難度在2020年變化較大,分值所占比重比往年要高,要引起足夠重視.2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①以三角函數(shù)圖象為背景考查誘導(dǎo)公式、圖象的變換、性質(zhì)的應(yīng)用以及三角恒等變換(如2020年新高考Ⅰ卷第10題);②以解三角形為載體考查正弦、余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用(如2020年新高考Ⅰ卷第17題,是一種全新的題型,需要先選擇條件,再解三角形,有很強(qiáng)的自主選擇性, 考查了學(xué)生探究問題的能力);③以函數(shù)、不等式、向量為載體與三角函數(shù)有關(guān)的綜合性問題仍要關(guān)注.同時(shí)需要注意數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想在解題中的應(yīng)用.§5.1　三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)　三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1.單位圓中,200°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為(　　)A.10π　　B.9π　　C.π　　D.π答案　D2.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(m,-2m),其中m≠0,則sinα+cosα=(　　)A.-　　B.±　　C.-　　D.±答案　B3.若sinθ·cosθ<0,>0,則角θ是(　　)A.第一象限角　　B.第二象限角C.第三象限角　　D.第四象限角答案　D4.在平面直角坐標(biāo)系中,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,將角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角β,若sin=,則cosβ=(　　)A.-　　B.　　C.　　D.-答案　D5.已知扇形的周長(zhǎng)為20cm,當(dāng)這個(gè)扇形的面積最大時(shí),半徑R為(　　)A.4cm　　B.5cm　　C.6cm　　D.7cm答案　B6.已知sin+3cos(π-θ)=sin(-θ),則sinθcosθ+cos2θ=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C7.已知點(diǎn)P(1,3)在角α的終邊上,則=　　　　.?答案　[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1.(2020山西模擬)“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的(　　)A.充分不必要條件　　B.必要不充分條件C.充要條件　　D.既不充分也不必要條件答案　A　當(dāng)θ為第一或第四象限角時(shí),cosθ>0,所以“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分條件,當(dāng)cosθ>0時(shí),θ是第一或第四象限角或x軸正半軸上的角,所以“θ為第一或第四象限角”不是“cosθ>0”的必要條件,所以“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分不必要條件.故選A.易錯(cuò)警示　忽視角的終邊在x軸正半軸上的情況.2.(2019北京海淀期中,5)角θ終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,y),且sinθ=-,則tanθ=(　　)A.-　　B.　　C.-　　D.答案　C　本題考查三角函數(shù)的定義.sinθ===-,∴y=-3,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3),∴tanθ==-.故選C.3.(2020山西大同期中)設(shè)a=sin,b=cos,c=tan,則(　　)A.aMP>OM,所以b0.故選D.2.(2018云南曲靖質(zhì)檢,5)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊在直線y=3x上,則sin=(　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　A　由題意知θ的終邊在第一或第三象限,且tanθ=3,則sin=sin2θ+cos2θ===,故選A.解后反思　用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的兩種情況:(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則直接用三角函數(shù)的定義求解三角函數(shù)值;(2)已知角α的終邊所在的直線方程,注意終邊位置有兩個(gè),對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值有兩組.3.(2020山西太原名校聯(lián)盟4月模擬,7)已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,將角α的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)(-3,4),則cosα=(　　)A.　　B.-　　C.　　D. 答案　B　本題主要考查三角函數(shù)的定義、兩角和的余弦公式,通過角的旋轉(zhuǎn)以及湊角法轉(zhuǎn)化角α的形式,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.將角α的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的角為α-,由三角函數(shù)的定義,可得cos==-,sin==,所以cosα=cos+=coscos-sinsin=×-×=-,故選B.思路分析　首先利用三角函數(shù)定義求出角的正、余弦值,然后利用湊角法把角α轉(zhuǎn)化為+,再利用兩角和的余弦公式求得結(jié)果.4.(2019新疆石河子一中期中,7)已知角β的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為,若角β的終邊繞著坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到角α,則=(　　)A.-　　B.　　C.-7　　D.7答案　D　∵角β的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為,∴cosβ=,sinβ=,∴角β的終邊繞著坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到角α,則sinα=sin=cosβ=,cosα=cos=-sinβ=-,∴cos2α=2cos2α-1=,sin2α=2sinαcosα=-,∴==7.故選D.思路分析　由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可求cosβ,sinβ,利用誘導(dǎo)公式可求sinα,cosα的值,根據(jù)二倍角公式可求cos2α,sin2α,代入計(jì)算即可.5.(2017北京海淀期中)若角θ的終邊過點(diǎn)P(3,-4),則sin(θ-π)=　　　　.?答案　解析　由角θ的終邊過點(diǎn)P(3,-4),得sinθ=-,所以sin(θ-π)=-sinθ=.6.(2018陜西榆林一模,13)若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P,則sinαtanα的值是　　　　.?答案　解析　設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,OP=r==1,∴sinα=-,tanα==-,∴sinαtanα=×=.思路分析　利用三角函數(shù)的定義即可求解.考法二　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用1.(2019四川成都石室中學(xué)4月月考,2)已知α為第二象限角,且sinα+cosα=,則cosα-sinα=(　　)A.　　B.-　　C.±　　D.答案　B　∵sinα+cosα=,兩邊平方得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,∴(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1+=,∵α為第二象限角,∴cosα-sinα=-,故選B.2.(2020河南六市一模,5)已知cos=,且α∈,則tanα=(　　)A.　　B.　　C.-　　D.±答案　B　∵cos=,∴sinα=-.又α∈,∴cosα=-=-,∴tanα==.故選B.3.(2020吉林長(zhǎng)春二模,9)已知α為銳角,且=tan,則角α=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C　本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式等,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.由條件得=,又因?yàn)棣翞殇J角,所以sin=cos,即sin=sin-,所以有α-=-,解得α=,故選C.4.(2020湖北武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)已知θ∈,則+的最小值為　　　　.? 答案　5+4解析　=+1,=+1,令=k,k>0,則=+1,==(k+1)2=k2+2k+1,∴+=·+=+k2+2k+1=+k2++2k+1≥2+2+1=5+4,當(dāng)且僅當(dāng)k4=4,2k2=4,即k=時(shí),取等號(hào),則+的最小值為5+4.思路分析　令=k,k>0,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得出=+1,=k2+2k+1,從而將+化為+k2++2k+1,再結(jié)合基本不等式得出最值.考法三　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值1.(2019河北邯鄲重點(diǎn)中學(xué)3月聯(lián)考,5)已知3sin=-5cos,則tan=(　　)A.-　　B.-　　C.　　D.答案　A　由3sin=-5cos,得sin=-cos,所以tan==-.2.(2017巴蜀黃金大聯(lián)考,4)已知coscos-sinsin=coscosx+,則sin2x等于(　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　A　∵coscos-sinsin=coscos+sinsin=cos=cos=,∴coscosx+=,即-sinxcosx=-=-.∴sin2x=.∴sin2x=.故選A.3.(2020廣東深圳統(tǒng)測(cè),6)已知tanα=-3,則sin=(　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　D　sin=sin=cos2α=cos2α-sin2α==,將tanα=-3代入,原式==-,故選D.4.(2020江西九江模擬,14)已知cos=,則sin（+2α）=　　　　.?答案　-解析　本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.因?yàn)?++2α=,所以sin=sin-2[]=cos=2cos2-1,把cos=代入得,原式=2×-1=-.