§5.2　三角恒等變換專題檢測1.(2019山東淄博模擬文,4)2+=(　　)A.2cos2　　B.2sin2　　C.4sin2+2cos2　　D.2sin2+4cos2答案　B　===sin2+cos2,====-2cos2,∴2+=2sin2+2cos2-2cos2=2sin2.故選B.2.(2018福建福州3月模擬,4)cos15°-4sin215°cos15°=(　　)A.　　B.　　C.1　　D.答案　D　解法一:cos15°-4sin215°cos15°=cos15°-2sin15°·2sin15°cos15°=cos15°-2sin15°·sin30°=cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°=.故選D.解法二:因?yàn)閏os15°=,sin15°=,所以cos15°-4sin215°·cos15°=×-4××=×=.故選D.3.(2020山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)第二次診斷,6)已知cos=2cos(π+α),且tan(α+β)=,則tanβ的值為(　　)A.-7　　B.7　　C.1　　D.-1答案　B　本題考查了誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式,重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力.因?yàn)閏os=2cos(π+α),所以sinα=-2cosα,即tanα=-2,又tan(α+β)=,則=,代入tanα=-2,解得tanβ=7,故選B.思路分析　由誘導(dǎo)公式得sinα=-2cosα,由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得tanα=-2,再由兩角和的正切公式得tan(α+β)=,將tanα=-2代入運(yùn)算即可.4.(2019四川成都二診,6)若α,β∈,且sinα=,sin(α-β)=-,則sinβ=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　B　由α,β∈,且sinα=,可得cosα=-=-.由sin(α-β)=-,可得sinαcosβ-cosαsinβ=-,cosβ+sinβ=-,即2cosβ+sinβ=-,又sin2β+cos2β=1,所以sinβ=.故選B.5.(2019云南師大附中4月聯(lián)考,4)已知sin(α+2β)=,cosβ=,α,β為銳角,則sin(α+β)的值為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　D　由cosβ=<,β為銳角,得<β<,sinβ=,又α為銳角,∴<α+2β<π.∵sin(α+2β)=>0,∴<α+2β<π,∴cos(α+2β)=-,∴sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]=sin(α+2β)cosβ-cos(α+2β)sinβ=×-×=,故選D.6.(2019安徽十校聯(lián)考,5)已知α為銳角,且7sinα=2cos2α,則sin=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A　由7sinα=2cos2α得7sinα=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sinα-2=0,解得sinα=-2(舍去)或sinα=,又由α為銳角,可得cosα=,∴sin=sinα+cosα=.7.(2019吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中,10)設(shè)α∈,β∈,且cosβ=tanα(1+sinβ),則(　　)A.α-β=　　B.α+β= C.2α-β=　　D.2α+β=答案　D　由cosβ=tanα(1+sinβ),可得cosβ=(1+sinβ),cosβcosα-sinαsinβ=sinα=cos,即cos(α+β)=cos,又α∈,β∈,則α+β∈(0,π),-α∈.故α+β=-α,即2α+β=.故選D.解后反思　三角恒等變換主要有以下四變:(1)變角:目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角,其方法通常是“配湊”.(2)變名:通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的,其手法通常有切化弦、正弦與余弦互化等.(3)變冪:通過“升冪與降冪”,把三角函數(shù)式的各項(xiàng)變成同次,目的是方便應(yīng)用公式.(4)變式:根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形,使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo),其方法通常有:常值代換、逆用或變用公式、通分與約分、分解與組合、配方與平方等.8.(2020河南、江西、湖南三省部分重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考,7)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有一個(gè)“引葭赴岸”問題:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深、葭長各幾何?”其意思為“今有水池1丈見方(即CD=10尺),蘆葦生長在水的中央,長出水面的部分為1尺.將蘆葦向池岸牽引,恰巧與水岸齊接(如圖所示).試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少?”設(shè)θ=∠BAC,現(xiàn)有下述四個(gè)結(jié)論:①水深為12尺;②蘆葦長為15尺;③tan=;④tan=-.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(　　)A.①③　　B.①③④　　C.①④　　D.②③④答案　B　本題以數(shù)學(xué)文化為背景考查二倍角公式,兩角和的正切公式,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.設(shè)BC=x尺,則AC=(x+1)尺,在Rt△ABC中,∵AB=5,∴52+x2=(x+1)2,∴x=12.∴tanθ=,∴tanθ==,解得tan=(負(fù)根舍去).∵tanθ=,∴tan==-,故正確結(jié)論的編號(hào)為①③④.9.(2016吉林東北師大附中等校聯(lián)考,14)已知0<θ<π,tan=,那么sinθ+cosθ=　　　　.?答案　-解析　由tan==,解得tanθ=-,即=-,∴cosθ=-sinθ,∴sin2θ+cos2θ=sin2θ+sin2θ=sin2θ=1,∵0<θ<π,∴sinθ=,∴cosθ=-,∴sinθ+cosθ=-.10.(2017甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬)若sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=,則cos(α-β)=　　　　.?答案　解析　將已知條件兩邊平方得sin2α+sin2β-2sinαsinβ=-,cos2α+cos2β-2cosαcosβ=,兩式相加并化簡得cos(α-β)=.11.(2017江蘇鹽城調(diào)研,4)若3sinα+cosα=0,則的值為　　　　.?答案　解析　∵3sinα+cosα=0,∴tanα=-,∴====. 12.(2018河南六市4月聯(lián)考,4)已知cosα=,cos(α-β)=,若0<β<α<,則β=　　　　.?答案　解析　由cosα=,0<α<,得sinα===,由0<β<α<,得0<α-β<.又cos(α-β)=,∴sin(α-β)===.由β=α-(α-β)得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.∵β∈,∴β=.思路分析　β=α-(α-β),求出sinα與sin(α-β)的值,即可利用兩角差的余弦公式求cosβ的值,從而得出β的大小.解題關(guān)鍵　細(xì)化角的范圍及合理利用湊角法是解決本題的關(guān)鍵.13.(2019臺(tái)州中學(xué)第一次模擬,15)已知α,β為銳角,tanα=,cos(α+β)=-,則cos2α=　　　　,tan(α-β)=　　　　.?答案　-;-解析　cos2α=cos2α-sin2α====-.因?yàn)?α∈(0,π),所以sin2α=.由α+β∈(0,π)且cos(α+β)=-,得sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-×+×=,sin(α-β)=sin[2α-(α+β)]=sin2αcos(α+β)-cos2αsin(α+β)=×+×=-,所以tan(α-β)==-.