§5.3 三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用專題檢測1.(2017陜西師大附中二模)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)是偶函數(shù)的充要條件是( )A.φ=kπ+,k∈Z B.φ=2kπ+,k∈ZC.φ=kπ+,k∈Z D.φ=2kπ+,k∈Z答案 A ∵函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2cos是偶函數(shù),∴φ-=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z.故選A.2.(2019河北衡水中學(xué)3月全國大聯(lián)考,9)將曲線C1:y=2cos上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度,再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線C2,則C2的方程為( )A.y=2sin4x B.y=2sinC.y=2sinx D.y=2sin答案 A 將曲線C1:y=2cos上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度,可得y=2sin2x的圖象,再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變,可得曲線C2:y=2sin4x,故選A.3.(2019貴州貴陽第一次適應(yīng)性考試,8)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,點(diǎn),,在圖象上,若x1,x2∈,x1≠x2,且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)=( )
A.3 B. C.0 D.-答案 D 由圖可知函數(shù)y=f(x)的周期為T=2×=4π,所以ω=,又點(diǎn),在函數(shù)y=f(x)圖象上,所以且|φ|<,所以φ=-,A=3,則f(x)=3sin,x1,x2∈,x1≠x2,f(x1)=f(x2),根據(jù)圖象對稱性知x1+x2=+=,所以f(x1+x2)=f=3sin=-.4.(2020湖南永州祁陽二模,7)已知ω>0,函數(shù)f(x)=cos在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( )A. B. C. D.答案 B 本題考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,余弦型函數(shù)的周期.令2kπ≤ωx-≤2kπ+π(k∈Z),得≤x≤(k∈Z),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上單調(diào)遞減,所以其中k∈Z,解得
4k+≤ω≤2k+(k∈Z).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上單調(diào)遞減,所以T≥π?ω≤2,又ω>0,所以k=0,故有≤ω≤.故選B.方法總結(jié) 對于函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))(ω>0),如果它在區(qū)間(a,b)上單調(diào),那么基本的處理方法是先求出f(x)單調(diào)區(qū)間的一般形式,利用(a,b)是單調(diào)區(qū)間的子集得到ω滿足的不等式組,利用ω>0和不等式組有解確定整數(shù)k的值即可.5.(2018河南六市第一次聯(lián)考,5)已知函數(shù)f(x)=2sinωx+(ω>0)的圖象與函數(shù)g(x)=cos(2x+φ)的圖象的對稱中心完全相同,則φ為( )A. B.- C. D.-答案 D 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(ω>0)的圖象與函數(shù)g(x)=cos(2x+φ)的圖象的對稱中心完全相同,所以ω=2,φ=-+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),∵|φ|<,∴φ=-,故選D.6.(2019湖南衡陽高中畢業(yè)班聯(lián)考(二),4)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度,再將所得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,得到函數(shù)g(x)=Asin(ωx+φ)的圖象.已知函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的( )
A.最小正周期為π,最大值為2B.最小正周期為π,圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.最小正周期為π,圖象關(guān)于直線x=對稱D.最小正周期為π,在區(qū)間上單調(diào)遞減答案 D 對于g(x),由題圖可知,A=2,T=4=,∴ω==3.則g(x)=2sin(3x+φ),又由g=2可得φ=-+2kπ,k∈Z,而|φ|<,∴φ=-.∴g(x)=2sin,∴f(x)=2sin.∴f(x)的最小正周期為π,選項(xiàng)A,C錯誤.對于選項(xiàng)B,令2x+=kπ(k∈Z),所以x=-,k∈Z,所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(k∈Z),所以選項(xiàng)B錯誤;當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,所以f(x)在上是減函數(shù),所以選項(xiàng)D正確.故選D.7.(2019北京西城一模,11)函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期T= ;如果對于任意的x∈R都有f(x)≤a,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?答案 π;[,+∞)解析 ∵f(x)=sin2x+cos2x=sin,∴T===π.∵f(x)=sin≤,
∴a≥.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[,+∞).8.(2020河南六市一模,15)已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),當(dāng)|f(m)-f(n)|=4時(shí),|m-n|的最小值為,若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位長度后所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,則φ的最小值為 .?答案 解析 函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ω>0),當(dāng)|f(m)-f(n)|=4時(shí),|m-n|的最小值為=·,∴ω=3,故f(x)=2sin.將函數(shù)f(x)的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位長度后,得到y(tǒng)=2sin的圖象.根據(jù)所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,可得-3φ+=kπ+,k∈Z,即φ=--,k∈Z,令k=-1,可得φ的最小值為.9.(2019海南文昌中學(xué)三模,16)若函數(shù)f(x)=sin(0<ω<1)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)有最值,則ω的取值范圍為 .?答案 ∪解析 若函數(shù)f(x)有最值,則ωx+=kπ+,k∈Z,即ωx=kπ+,即x=,k∈Z,∵f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)有最值,∴π<<2π,即1<<2,即ω
0得k>-,當(dāng)k=0時(shí),<ω<,當(dāng)k=1時(shí),<ω<,∵0<ω<1,∴<ω<1,綜上所述,<ω<或<ω<1,10.(2016寧夏育才中學(xué)第四次月考,16)關(guān)于函數(shù)f(x)=cos2x-2sinxcosx有下列命題:①若存在x1,x2有x1-x2=π,則f(x1)=f(x2)成立;②f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱;④將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后將與y=2sin2x的圖象重合.其中正確命題的序號是 .(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)?答案?、佗劢馕觥(x)=2cos,可知函數(shù)的最小正周期T=π,所以①正確;當(dāng)x∈時(shí),2x+∈[0,π],因?yàn)閥=cosx在[0,π]上是減函數(shù),所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以②錯誤;因?yàn)閒=2cos=0,所以③正確;因?yàn)閒=2cos=-2cos≠2sin2x,故④錯誤,故答案為①③.11.(2018北京海淀二模,16)已知函數(shù)f(x)=2cosxsinx-+.(1)寫出f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,α]上單調(diào)遞增,求α的最大值.
解析 (1)f(x)=2cosx+=sinxcosx-cos2x+=sin2x-·+=sin2x-cos2x=sin.所以函數(shù)f(x)的最小正周期T==π.所以f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為,即.(6分)(2)由(1)可知f(x)=sin.當(dāng)x∈[0,α]時(shí),2x-∈.因?yàn)閥=sinx在上單調(diào)遞增,且f(x)在[0,α]上單調(diào)遞增,所以?,所以解得0<α≤π.故α的最大值為π.(13分)12.(2019北京東城一模文,15)已知函數(shù)f(x)=4cosx·sin+1.
(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期,并畫出f(x)在區(qū)間[0,π]上的圖象.解析 (1)f=4cossin+1=4cossin+1=4××1+1=-1.(3分)(2)f(x)=4cosxsin+1=4cosx+1=4cosx+1=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=2=2sin.(9分)所以f(x)的最小正周期T==π.(10分)因?yàn)閤∈[0,π],所以2x-∈.列表如下:2x--0πx0πf(x)-1020-2-1
13.(2019四川綿陽一診,18)已知函數(shù)f(x)=sin+4cos2x,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)在上的單調(diào)遞減區(qū)間及值域.解析 (1)f(x)=sin+4cos2x=+2(1+cos2x)=sin2x-cos2x+2cos2x+2=sin2x+cos2x+2=sin+2.由題意得g(x)=sin+2-2,化簡得g(x)=sin.(2)由≤x≤,可得≤2x-≤.當(dāng)≤2x-≤即≤x≤時(shí),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
∴g(x)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.∵g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴g(x)max=g=sin=1.又g=sin=sin=-sin=-
