§5.4 解三角形及其綜合應(yīng)用基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 正弦定理和余弦定理1.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinA=3sinB,c=,且cosC=,則a=( )A.2 B.3 C.3 D.4答案 B2.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,則等于( )A. B. C. D.答案 D3.在△ABC中,a=2,c=2,A=60°,則C=( )A.30° B.45° C.45°或135° D.60°答案 B4.(多選題)已知a,b,c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,下列四個(gè)命題中正確的是( )A.若tanA+tanB+tanC>0,則△ABC是銳角三角形B.若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,則△ABC是等腰三角形D.若==,則△ABC是等邊三角形答案 ACD5.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a∶b∶c=4∶3∶2,則=( )A. B. C. D.答案 D6.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若b+acosC=0,sinA=2sin(A+C),則=( )A. B. C. D.答案 C7.設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=1,A=2C,則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為( )A.(0,2+) B.(0,3+)C.(2+,3+) D.(2+,3+]答案 C考點(diǎn)二 解三角形及其綜合應(yīng)用8.在△ABC中,三邊長(zhǎng)分別為a,a+2,a+4,最小角的余弦值為,則這個(gè)三角形的面積為( )A. B. C. D.答案 A9.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD= m.?
答案 100[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 正弦定理和余弦定理1.(2020吉林長(zhǎng)春二模,8)在△ABC中,C=30°,cosA=-,AC=-2,則AC邊上的高為( )A. B.2 C. D.答案 C 依題意得sinA==,則sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×-×=.由正弦定理得=,得BC=,所以AC邊上的高為BC·sinC===,故選C.2.(2019安徽安慶二模,10)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,則等于( )A. B. C. D.答案 D 由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinA·cosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,則cosA=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×=3b2,得=.故選D.3.(2020陜西安康二模,15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=2,B=,tanC=7,則b= .?答案 解析 由tanC=7且C∈(0,π)可求得sinC=,cosC=.故sinA=sin(B+C)=sin=(cosC+sinC)=×=.由=?=?b=.4.(2020河南開(kāi)封二模,17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosB=-, .△ABC的面積是否存在最大值?若存在,求對(duì)應(yīng)三角形的三邊;若不存在,說(shuō)明理由.?從①a+c=2,②b=a這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.解析 若選①,由題意得sinB=,S=acsinB=ac≤=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)等號(hào)成立,則面積的最大值為,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=3,則b=.若選②,由題意得B=,則sinB=,因?yàn)?=,所以sinA=,A=,C=,所以a=c,S=acsinB=a2,a可以取任意正數(shù),所以△ABC的面積不存在最大值.5.(2020九師聯(lián)盟3月聯(lián)考,17)已知在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且=.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的外接圓半徑為2,求△ABC的面積S的最大值.解析 (1)由正弦定理及題意得=,化簡(jiǎn)得b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推論得cosA===,又因?yàn)?
cosB”是“△ABC為銳角三角形”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 B 若B∈,A∈,則sinA>0,cosB<0,則sinA>cosB,而此時(shí)△ABC為鈍角三角形,∴“sinA>cosB”不是“△ABC為銳角三角形”的充分條件.若△ABC為銳角三角形,則A,B∈且A>-B>0,∴sinA>sin=cosB,∴“sinA>cosB”是“△ABC為銳角三角形”的必要條件.綜上,“sinA>cosB”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件.2.(2018云南昭通一模,10)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosC=,bcosA+acosB=2,則△ABC的外接圓的面積為( )A.4π B.8π C.9π D.36π答案 C 已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2(R為△ABC的外接圓半徑).利用兩角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,則2RsinC=2,因?yàn)閏osC=,所以sinC=,所以R=3.故△ABC的外接圓面積為9π.故選C.3.(2019北京朝陽(yáng)一模文,4,5分)已知△ABC中,∠A=120°,a=,△ABC的面積為.若bb>c,故最大角是A,由a2=b2+c2-2bccosA,得4c2=2c2+c2-2·c2cosA,得cosA=-.誤區(qū)警示 根據(jù)三角形中“大邊對(duì)大角”判斷出哪個(gè)角最大,然后用余弦定理求解.6.(2019貴州凱里中學(xué)4月月考,17)已知銳角△ABC面積為S,∠A,∠B,∠C所對(duì)邊分別是a,b,c,∠A,∠C的平分線相交于點(diǎn)O,b=2且S=(a2+c2-b2),求:(1)∠B的大小;(2)△AOC周長(zhǎng)的最大值.解析 (1)∵S=(a2+c2-b2),∴acsinB=(a2+c2-b2),故acsinB=·2accosB?tanB=,∵B∈,∴B=.(2)設(shè)△AOC周長(zhǎng)為l,∠OAC=α,∵△ABC為銳角三角形,B=,∴A+C∈,C∈,∴A∈,則α∈,∵OA,OC分別是∠A,∠C的平分線,B=,∴∠AOC=,由正弦定理,===4.∴△AOC周長(zhǎng)l=4sinα+4sin+2=4sin+2.∵α∈,∴α+∈,∴當(dāng)α=時(shí),△AOC周長(zhǎng)取得最大值,最大值為4+2.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一 利用正弦、余弦定理解三角形1.(2019湖南四校調(diào)研聯(lián)考,10)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且+=1,則C=( )A. B. C. D.答案 B2.(2020浙江名校聯(lián)盟考,13)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,c=2,A=,3.則asinC= ,a+b的取值范圍是 .?答案 ;(1+,4+2)3.(2021屆廣東湛江二十一中月考,17)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a2+bc=(b+c)2.(1)求角A;(2)若b=1,c=3,D為BC的中點(diǎn),求中線AD的長(zhǎng).4.(2020山東泰安5月模擬,19)在①asinC-ccosBcosC=bcos2C;②5ccosB+4b=5a;③(2b-a)cosC=ccosA這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,然后解答補(bǔ)充完整的題目.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足 .?(1)求sinC;(2)已知a+b=5,△ABC的外接圓半徑為,求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn).
考法二 三角形形狀的判斷5.(2020山東濟(jì)寧二中10月月考,8)在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,a2=b2+c2-bc,則△ABC的形狀是( )A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案 A6.(2020山東青島三模,7)在△ABC中,如果cos(2B+C)+cosC>0,那么△ABC的形狀為( )A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形答案 A7.(多選題)(2020山東煙臺(tái)5月模擬,11)在△ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,則( )A.sin∠CDB= B.△ABC的面積為8C.△ABC的周長(zhǎng)為8+4 D.△ABC為鈍角三角形答案 BC考法三 與三角形的面積、范圍有關(guān)的問(wèn)題8.(2020湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考(六),10)設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=2,B=2A,則b的取值范圍為( )A.(2,2) B.(2,4)C.(2,2) D.(0,4)答案 A9.(2020河北正定中學(xué)第三次質(zhì)量檢測(cè),16)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,BD=,AB⊥AC,AC=2AB,則CD的最小值為 .?答案 10.(2020浙江紹興嵊州期末,15)在銳角△ABC中,D是邊BC上一點(diǎn),且AB=2,BC=3,AC=AD,若cos∠CAD=,則sinC= ;△ABC的面積是 .?答案 ;311.(2021屆江蘇蘇州八校聯(lián)盟第一次適應(yīng)性檢測(cè),18)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c=2.有以下3個(gè)條件:①2ccosA=b;②2b-a=2ccosA;③a+b=2c.請(qǐng)?jiān)谝陨?個(gè)條件中選擇一個(gè),求△ABC面積的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.12.(2020湖北襄陽(yáng)四中3月月考,17)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinB=bsin.(1)求A;(2)D是線段BC上的點(diǎn),若AD=BD=2,CD=3,求△ADC的面積.
[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 利用正弦、余弦定理解三角形1.(2018湖南衡陽(yáng)2月調(diào)研,6)在△ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,若2sinC=sinA+sinB,cosC=且S△ABC=4,則c=( )A. B.4 C. D.5答案 A 因?yàn)?sinC=sinA+sinB,所以由正弦定理可得2c=a+b①,由cosC=可得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-ab②,又由cosC=,得sinC=,所以S△ABC=absinC==4,∴ab=10③.由①②③解得c=,故選A.2.(2019寧夏石嘴山一模,8)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S表示△ABC的面積,若ccosB+3.bcosC=asinA,S=(b2+a2-c2),則B=( )A.90° B.60° C.45° D.30°答案 D 由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,所以sin(C+B)=sin2A?sinA=1,因?yàn)?°2,故c2>a2+b2,在△ABC中,cosC=<0,所以∠C為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形.選C.3.(2019四川蓉城名校聯(lián)盟第二次聯(lián)考,6)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若A=,a2=bc,則△ABC的形狀是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形答案 C 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc.∵a2=bc,∴bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,∴b=c.又A=,∴△ABC是等邊三角形.4.(2019湘東六校3月聯(lián)考,5)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足6sinA=4sinB=3sinC,則△ABC是( )A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.以上都有可能答案 C 由已知利用正弦定理可得6a=4b=3c,則可設(shè)a=2k,b=3k,c=4k,k>0,則cosC=<0,所以角C是鈍角,所以△ABC是鈍角三角形,故選C.5.(2019河南洛陽(yáng)一模,11)在△ABC中,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2+,則△ABC為( )A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.銳角非等邊三角形 D.鈍角三角形答案 B 由2acosB=c及正弦定理得2sinAcosB=sinC,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,∵A與B都為△ABC的內(nèi)角,∴A-B=0°,即A=B.∵sinAsinB(2-cosC)=sin2+,∴sinAsinB(2-cosC)=(1-cosC)+=1-cosC,∴-[cos(A+B)-cos(A-B)](2-cosC)=1-cosC,∴-(-cosC-1)(2-cosC)=1-cosC,即(cosC+1)(2-cosC)=2-cosC,整理得cos2C-2cosC=0,即cosC(cosC-2)=0,∴cosC=0或cosC=2(舍去),∴C=90°,則△ABC為等腰直角三角形.故選B.6.(2019廣東佛山順德第二次質(zhì)檢,17)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2bsinCcosA+asinA=2csinB.(1)證明:△ABC為等腰三角形;(2)若D為BC邊上的點(diǎn),BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的值.解析 (1)證明:∵2bsinCcosA+asinA=2csinB,∴由正弦定理得2bccosA+a2=2cb,由余弦定理得2bc·+a2=2bc,化簡(jiǎn)得b2+c2=2bc,∴(b-c)2=0,即b=c.故△ABC為等腰三角形.(2)解法一:由已知得BD=2,DC=1,∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1.又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,∴=-,
即=-,得2b2+c2=9,由(1)可知b=c,得b=.解法二:由已知可得CD=a=1,由(1)知,AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠DAC=∠ADB-∠C=2∠C-∠C=∠C=∠B,∴△CAB∽△CDA,∴=,即=,∴b=.考法三 與三角形面積、范圍有關(guān)的問(wèn)題1.(2018吉林長(zhǎng)春二中期中,9)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2sin=1,且a=2,則△ABC的面積的最大值為( )A. B. C. D.2答案 B ∵A∈(0,π),∴-∈,∵2sin=1,∴-=,∴A=.又a=2,∴4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,∴bc≤.△ABC的面積S=bcsinA≤××=,∴△ABC的面積的最大值為.故選B.2.(2018海南二模)在銳角三角形ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,已知a=,(b2+c2-3)tanA=bc,2cos2=(-1)cosC,則△ABC的面積為( )A. B.C. D.答案 A ∵a=,(b2+c2-3)tanA=bc,∴tanA=,即cosAtanA=,亦即sinA=,又A∈,∴A=,∵2cos2=(-1)cosC,∴1+cos(A+B)=(-1)cosC,∴1-cosC=(-1)cosC,∴cosC=,C∈,∴C=,由正弦定理可得=,解得c=,∴S△ABC=acsinB=×××=.故選A.3.(2018四川瀘州一模,16)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,外接圓半徑為1,且滿足=,則△ABC的面積的最大值為 .?答案 解析 設(shè)△ABC外接圓的半徑為r,則r=1,∴c=2rsinC=2sinC,b=2rsinB=2sinB,∵tanA=,tanB=,∴===,∴sinAcosB=cosA(2sinC-sinB)=2sinCcosA-sinBcosA,即sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,又∵sinC≠0,∴cosA=,又A為三角形的內(nèi)角,∴A=,∴cosA==,
∴bc=b2+c2-a2=b2+c2-(2rsinA)2=b2+c2-3≥2bc-3(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立),∴bc≤3,∴△ABC的面積S=bcsinA≤×3×=(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立),∴△ABC的面積的最大值為.2.(2020浙江省重點(diǎn)高中統(tǒng)練,16)已知△ABC的面積為S,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2sinC,,cosA成等比數(shù)列,b=a,2≤c2+ac≤18,則的最小值為 .?答案 解析 解法一:由2sinC,,cosA成等比數(shù)列,可得2sinCcosA=sinB,即2sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinCcosA=cosCsinA,即sinCcosA-cosC·sinA=sin(C-A)=0,所以C=A,從而c=a,則sinB=2sinA·cosA即b=2acosA,因?yàn)閎=a,所以cosA=,所以sinA=,由2≤c2+ac≤18,得2≤a2+a2≤18,解得1≤a≤3,令m=====,令t=a+1,t∈[2,4],則∈,且m====≥=,當(dāng)且僅當(dāng)t=3,即a=2時(shí)等號(hào)成立.所以所求最小值為.解法二:由解法一得m===1-,令t=2a-1,則t∈[1,5],則m=1-=1-=1-≥1-=,當(dāng)且僅當(dāng)t=3,即a=2時(shí)等號(hào)成立.所以所求最小值為.5.(2018陜西榆林二模,17)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知=.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC的面積S的最大值.解析 (1)∵=,∴=,即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC.∵0
