§6.1 數(shù)列的概念及表示專題檢測(cè)1.在數(shù)列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2,n∈N*),則a2018的值為( )A.- B.5 C. D.答案 B 在數(shù)列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2,n∈N*),所以a2=1-=5,a3=1-=,a4=1-=-,所以{an}是以3為周期的周期數(shù)列,所以a2018=a672×3+2=a2=5,故選B.2.(2018廣東廣州一模,9)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,2anan+1=+1,設(shè)bn=,則數(shù)列{bn}是( )A.常數(shù)列 B.擺動(dòng)數(shù)列 C.遞增數(shù)列 D.遞減數(shù)列答案 D 由a1=2及2anan+1=+1,得an+1=+>2=1,所以0
0,a>1且f(10)0(n∈N*).(1)寫(xiě)出a1,a2,a3的值,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:0,所以a1=2,由S2==2+a2得a2=4,同理得a3=6.(3分)
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-,所以(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因?yàn)閍n>0,所以an-an-1-2=0,(5分)所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,an=2n.(7分)(2)證明:由(1)得Sn=n(n+1),則bn=,(10分)所以bn>n,則Tn>.(12分)又bn=<=n+,所以Tn<+=.(14分)綜上可得0,所以λ≤,設(shè)f(n)=,則f(n+1)-f(n)=-=,當(dāng)n≥4時(shí),n2-n-8>0,n2+3n-4>0,n2+n-6>0,所以f(n+1)>f(n),又可驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí),f(4)-f(3)>0也成立,所以當(dāng)n≥3時(shí),數(shù)列{f(n)}為遞增數(shù)列,所以f(n)min=f(3)=,即λ≤.綜上所述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.12.(20195·3原創(chuàng)題)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一個(gè)零點(diǎn),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=1-(n∈N*),定義所有滿足cm·cm+1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù),稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù),求數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù).解析 (1)依題意,知Δ=a2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x2-4x+4.所以Sn=n2-4n+4.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1-4+4=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-5.所以an=(2)由題意得cn=
由cn=1-(n≥2)可知,當(dāng)n≥5時(shí),恒有cn>0.又c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=-,c5=,c6=,所以c1·c2<0,c2·c3<0,c4·c5<0,所以數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)為3.
