專題六　數(shù)列備考篇【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、數(shù)列的概念及其表示1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).1.本專題內(nèi)容的考題以中等難度偏下為主.題型以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn),如2020新高考Ⅰ第18題(解答題).2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在(1)以等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì),通項(xiàng)公式和求和公式為載體,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.(2)需關(guān)注以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題.數(shù)列與其他專題知識(shí)結(jié)合考查,如數(shù)列與函數(shù)、不等式、統(tǒng)計(jì)等進(jìn)行綜合考查,涉及內(nèi)容較為全面,題型新穎、方法靈活多變.1.處理等差、等比數(shù)列的基本問題時(shí),要靈活利用等差、等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,利用基本量求解.2.數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考?？純?nèi)容,要靈活掌握數(shù)列求和的各種方法.3.重視方程、函數(shù)、分類討論思想的應(yīng)用.二、等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.三、等比數(shù)列1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.四、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用1.掌握數(shù)列求和的幾種常見方法.2.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.【真題探秘】解題技巧在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中,共有a1,an,q,n,Sn五個(gè)量,已知其中的三個(gè),就可以求其余的兩個(gè),求解時(shí),一般將已知轉(zhuǎn)化為a1,q的關(guān)系,然后利用方程思想求解.核心考點(diǎn)等比數(shù)列通項(xiàng)公式及基本量的運(yùn)算,數(shù)列求和,歸納推理.核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理.知能拓展等差數(shù)列中的數(shù)形結(jié)合 (1)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d可變形為an=dn+(a1-d).若d=0,則an=a1是常數(shù)列;若d≠0,則an是關(guān)于n的一次函數(shù).點(diǎn)(n,an)是直線y=dx+(a1-d)上的一群孤立的點(diǎn).單調(diào)性:d>0時(shí),{an}為單調(diào)遞增數(shù)列;d<0時(shí),{an}為單調(diào)遞減數(shù)列.(2)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可表示為Sn=n2+n,令A(yù)=,B=a1-,則Sn=An2+Bn.當(dāng)A≠0,即d≠0時(shí),Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),(n,Sn)在二次函數(shù)y=Ax2+Bx的圖象上,為拋物線y=Ax2+Bx上的一群孤立的點(diǎn).利用此性質(zhì)可解決前n項(xiàng)和Sn的最值問題.[教師專用題組]1.真題多維細(xì)目表考題涉分題型難度考點(diǎn)考向解題方法核心素養(yǎng)2020新高考Ⅰ,145填空題易等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和定義法公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算2020北京,84選擇題中等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)積的最值定義法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020課標(biāo)Ⅰ文,165填空題中數(shù)列的求和奇、偶項(xiàng)數(shù)列求和公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020新高考Ⅰ,1812解答題中等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求通項(xiàng)公式及分組轉(zhuǎn)化法求和公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020課標(biāo)Ⅰ理,1712解答題中等比數(shù)列的基本量運(yùn)算錯(cuò)位相減法求和公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020天津,1915解答題中數(shù)列的綜合應(yīng)用求通項(xiàng)公式,證明不等式,數(shù)列求和公式法直接證明數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2.命題規(guī)律與探究1.從2020年新高考情況來看,本專題內(nèi)容的考題以容易題為主,題型以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),也在解答題第18題位置出現(xiàn),分值約為17分,比往年要高.2.本專題內(nèi)容在高考試題中多以等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算為載體,以數(shù)列遞推關(guān)系形式表現(xiàn),考查數(shù)列求和(如新高考Ⅰ卷第14題)及數(shù)列最值(北京卷第8題)等綜合問題.3.在處理等差、等比數(shù)列基本量運(yùn)算,遞推關(guān)系求通項(xiàng),數(shù)列求和等問題時(shí),常用公式法.4.本章重點(diǎn)考查的學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.3.命題變化與趨勢(shì)1.高考對(duì)本專題內(nèi)容的考查較為穩(wěn)定,考查方式及題目難度在2020年新高考Ⅰ卷中有所變化(如新高考Ⅰ卷第18題第(2)問,需要理解數(shù)列{bm}的意義才能準(zhǔn)確求解,不再是傳統(tǒng)的數(shù)列求和問題),天津卷中變化不大,仍然是等差(比)均有考查,第(3)問構(gòu)造新數(shù)列求和. 2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì),要重視教材習(xí)題(如2020年新高考Ⅰ卷第14題,其實(shí)就是人教A版必修5第46頁中A組第6題的簡(jiǎn)單變式);②數(shù)列求和.常以這些內(nèi)容為考查重點(diǎn),同時(shí)需關(guān)注以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題、數(shù)列與其他章節(jié)知識(shí)結(jié)合考查的問題,如數(shù)列與函數(shù)等知識(shí)結(jié)合.3.在不同背景下抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法值得關(guān)注.應(yīng)強(qiáng)化在知識(shí)的形成過程、知識(shí)的遷移中滲透學(xué)科素養(yǎng).§6.1　數(shù)列的概念及表示基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)　數(shù)列的概念及表示1.已知數(shù)列,,,,,…,則5是它的(　　)A.第19項(xiàng)　　B.第20項(xiàng)　　C.第21項(xiàng)　　D.第22項(xiàng)答案　C2.已知數(shù)列{an}滿足:?m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=,那么a5=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn=,則a2017=(　　)A.2016　　B.2017　　C.4032　　D.4034答案　B4.在數(shù)列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2,n∈N*),則a2018的值為(　　)A.-　　B.5　　C.　　D. 答案　B5.在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=,則S2020=　　　　.?答案　0[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)　數(shù)列的概念及表示1.(多選題)已知數(shù)列{an}滿足an+1=1-(n∈N*),且a1=2,則(　　)A.a3=-1　　B.a2019=C.S6=3　　D.2S2019=2019答案　ACD　由數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=1-(n∈N*),可得a2=,a3=-1,a4=2,a5=,……,所以an+3=an,數(shù)列的周期為3,所以a2019=a672×3+3=a3=-1,S6=3,S2019=,故選ACD.2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2-2n+2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　)A.an=2n-3　　B.an=2n+3C.an=　　D.an=答案　C　當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1時(shí)a1的值不適合n≥2的通項(xiàng)公式,故選C.易錯(cuò)警示　利用an=Sn-Sn-1求通項(xiàng)公式時(shí),應(yīng)注意n≥2這一前提條件,易忽視驗(yàn)證n=1致誤.3.若數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)a10=(　　)A.28　　B.29　　C.　　D. 答案　C　an+1=兩邊取倒數(shù)得=,∴-=3,因?yàn)閍1=1,所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,所以=1+(n-1)×3=3n-2,即an=,所以a10==.故選C.4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=,則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是(　　)A.3　　B.19　　C.　　D.答案　C　令f(x)=x+(x>0),當(dāng)x∈(0,3)時(shí),f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.an=,n∈N*,不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=9或n=10時(shí),a9=a10=最大.5.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),則有(　　)A.Sn=4n-1　　B.{Sn}為等比數(shù)列C.an=3×4n-1　　D.an=答案　ABD　∵an+1=3Sn,∴Sn+1-Sn=3Sn,∴Sn+1=4Sn,又∵S1=a1=1≠0,∴{Sn}是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列,∴Sn=4n-1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n-1-4n-2=3×4n-2,又當(dāng)n=1時(shí),不符合上式,∴an=綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一　利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式1.(2021屆安徽太和一中開學(xué)摸底檢測(cè))已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若 (1-2x)2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021,數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=++…+,an+1=Sn·Sn+1,則S2021=(　　)A.-　　B.　　C.2021　　D.-2021答案　A2.(2020重慶直屬校(重慶第八中學(xué)等)3月月考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足-(n2+n-2)Sn-2(n2+n)=0,n∈N*,則數(shù)列的前2020項(xiàng)和T2020=　　.?答案　考法二　由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式3.(2019廣東廣雅中學(xué)模擬,7)在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N*),則{an}的通項(xiàng)公式為(　　)A.an=　　B.an=　　C.an=　　D.an=答案　B4.(2019河南濮陽重點(diǎn)高中聯(lián)考,9)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=35,且滿足an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2),則的最小值為(　　)A.2　　B.　　C.　　D.12答案　C5.(2019山西盂縣一中模擬,8)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),則a18=(　　) A.　　B.　　C.3　　D.答案　B6.(2020新教材地區(qū)第一次月考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an>0,-=1,那么an<32成立的n的最大值為　　　　.?答案　5考法三　數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)7.(2019河南中原名校第三次聯(lián)考,18)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*).(1)求a1,a2;(2)若bn=n(2-n)(an-1),求{bn}的最大項(xiàng),并寫出取最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一　利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn=an+1-1,則an=　　　　.?答案　解析　由a1=1,Sn=an+1-1,可得a1=a2-1=1,解得a2=6.當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=an-1,又Sn=an+1-1,兩式相減可得an=Sn-Sn-1=an+1-1-an+1,即有an+1=4an(n≥2),則an=6·4n-2(n≥2),又a1=1不符合上式,所以an=2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且當(dāng)n≥2時(shí),有=1成立,則S2017=　　　　.? 答案　解析　當(dāng)n≥2時(shí),由=1,得2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)·Sn-=-SnSn-1,所以-=1,又=2,所以是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以=n+1,故Sn=,則S2017=.3.(2018山東六校聯(lián)考,17)已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)和Sn=an.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.解析　(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由題設(shè)知,當(dāng)n≥2時(shí),有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得=,因此··…··=··…··,化簡(jiǎn)得an=·a1=,當(dāng)n=1時(shí),a1=1滿足上式,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈N*).4.(2020浙江新高考信息優(yōu)化卷二,20)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2=an+1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Bn,求Bn.解析　(1)由已知得4Sn=(an+1)2,①所以n≥2時(shí),4Sn-1=.②①-②得4an=+2an--2an-1,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因?yàn)閧an}為正項(xiàng)數(shù)列,所以an-an-1=2,即{an}是以2為公差的等差數(shù)列,由2=a1+1,S1=a1,得a1=1,所以an=2n-1.(2)因?yàn)閎n===,所以Bn=1-+-+…+-=.考法二　由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式1.(2018廣東深圳耀華實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中,11)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,則a17=(　　)A.-15×216　　B.15×217　　C.-16×216　　D.16×217答案　A　由題意可得=-,即-=-,據(jù)此可得,數(shù)列是首項(xiàng)為=,公差為-的等差數(shù)列,故=+(17-1)×=-,∴a17=-15×216.故選A.2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=,若an(an-1+2an+1)=3an-1an+1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　B　由an(an-1+2an+1)=3an-1an+1(n≥2,n∈N*), 可得-=2(n≥2),又-=3-1=2,∴數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,∴-=2n.∴=++…++=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.∴an=.故選B.考法三　數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)1.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷(三),10)設(shè)a>0,b>0,正項(xiàng)數(shù)列{xn}滿足xn=axn+1+bxn+2,若{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列,則(　　)A.a+b>1　　B.b>1　　C.a+b<1　　D.a>1答案　A　∵{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列,∴xn>xn+1對(duì)n∈N*恒成立.由xn=axn+1+bxn+2得axn+1+bxn+2>xn+1對(duì)n∈N*恒成立,整理得bxn+2>(1-a)xn+1(*).若a≥1,則(*)式恒成立,此時(shí)a+b>1;若0(1-a)xn+1>(1-a)xn+2,即有b>1-a,即a+b>1.綜上,a+b>1,故選A.2.(2020浙江浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考,10)已知數(shù)列{an}滿足an+1+=2an+(n∈N*),則(　　)A.當(dāng)0anB.當(dāng)an>1(n∈N*)時(shí),an+1 D.當(dāng)a1=2時(shí),an+1+<答案　C　對(duì)于A,取a1=,則a2+=1+2=3,解得a2=或a2=,若取a2=,則a2=<=a1,所以A錯(cuò);對(duì)于B,取a1=2,則a2+=4+=,解得a2=或a2=,若取a2=,則a2=>2=a1,所以B錯(cuò);對(duì)于C,由>+2,得>2n+>2n+4,所以C正確.對(duì)于D,當(dāng)a1=2時(shí),a2+=4+=,解得a2=或a2=,若取a2=,則a3+=a2+a2+=+>+=>,所以D錯(cuò).故選C.