§6.2　等差數(shù)列基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一　等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.若{an}為等差數(shù)列,且a7-2a4=-1,a3=0,則公差d等于(　　)A.-2　　B.-　　C.　　D.2答案　B2.已知在等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+…+an,且Sk=66,則k的值為　(　　)A.9　　B.11　　C.10　　D.12答案　B3.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15,且a1>0,Sn為其前n項和,則數(shù)列{Sn}的最大項為(　　)A.S23　　B.S24　　C.S25　　D.S26答案　C4.已知數(shù)列{an}滿足a1=,且an+1=.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)若bn=anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.考點二　等差數(shù)列的性質(zhì)5.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若=,則=(　　)A.1　　B.-1　　C.2　　D.答案　A 6.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a3=,S9=9,則a7=(　　)A.　　B.1　　C.-　　D.2答案　C7.已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若-=100,則d的值為(　　)A.　　B.　　C.10　　D.20答案　B8.在等差數(shù)列{an}中,a3+a7=37,則a2+a4+a6+a8=　　　　.?答案　749.已知An及Bn是等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和,且=,則=　　　　.?答案　10.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(1)前四項和為21,末四項和為67,且各項和為286,求項數(shù);(2)項數(shù)為奇數(shù),奇數(shù)項和為44,偶數(shù)項和為33.求數(shù)列的中間項和項數(shù).[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一　等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.已知等差數(shù)列{an}中,a2=1,前5項和S5=-15,則數(shù)列{an}的公差為(　　)A.-3　　B.-　　C.-2　　D.-4答案　D　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因為所以解得d=-4,故選D.2.(2019福建龍巖新羅模擬,12)已知等差數(shù)列{an}的公差為-2,前n項和為Sn,a3,a4,a5為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為120°,若Sn≤Sm對任意的n∈N*恒成立,則實數(shù)m=(　　)A.7　　B.6　　C.5　　D.4答案　B　∵等差數(shù)列{an}的公差為-2,又a3,a4,a5為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為120°,∴=+-2a4·a5cos120°,即(a4+2)2=+(a4-2)2+2a4(a4-2)×,整理為-5a4=0,又a4≠0,∴a4=5,∴a3=7,a5=3,a6=1,a7=-1.∵Sn≤Sm對任意的n∈N*恒成立,∴實數(shù)m=6.故選B.3.(2020浙江慈溪期中,11)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),若a1=3,a5=-11,則a3=　　　　,S5=　　　　.?答案　-4;-20解析　本題考查等差數(shù)列的前n項和、通項公式及性質(zhì);考查學(xué)生運算求解的能力;考查了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).解法一:由2a3=a1+a5,得a3==-4.S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=-20.解法二:設(shè)等數(shù)列{an}的公差為d,由得所以a3=a1+2d=-4,S5=5a1+d=-20. 考點二　等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用　(2018河北唐山第二次模擬,7)設(shè){an}是任意等差數(shù)列,它的前n項和、前2n項和與前4n項和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是(　　)A.2X+Z=3Y　　B.4X+Z=4YC.2X+3Z=7Y　　D.8X+Z=6Y答案　D　設(shè)數(shù)列{an}的前3n項和為R,則由等差數(shù)列的性質(zhì)得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差數(shù)列,所以2(Y-X)=X+R-Y,得R=3Y-3X,又因為2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故選D.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一　等差數(shù)列的判定與證明1.(2019河北冀州模擬,9)已知{an},{bn}均為等差數(shù)列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{an},{bn}的公共項組成新數(shù)列{cn},則c10=(　　)A.18　　B.24　　C.30　　D.36答案　C2.(2021屆湖北宜昌葛洲壩中學(xué)9月月考)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,(n+2)an+1=(n+3)an+n2+5n+6(n∈N*).(1)證明:為等差數(shù)列;(2)設(shè)bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 考法二　等差數(shù)列前n項和及性質(zhì)問題3.(2020福建泉州畢業(yè)班適應(yīng)性線上測試)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列.若a1,a2,a4成等比數(shù)列,則{an}的前10項和S10=(　　)A.165　　B.138　　C.60　　D.30答案　A4.(2020浙江高中發(fā)展共同體期末)已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,前n項和是Sn,若S90,S17>0　　B.d<0,S17<0C.d>0,S18<0　　D.d>0,S18>0答案　D5.(2021屆江蘇啟東中學(xué)檢測,19)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a1,a4,a8成等比數(shù)列.(1)已知數(shù)列{an}的前10項和為45,求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=,且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若Tn=-,求數(shù)列{an}的公差.6.(2020河北邯鄲空中課堂備考檢測,17)數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,若a4=2a2,且4,a4,a8成等比數(shù)列.(1)證明:4是數(shù)列{an}中的一項;(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,求數(shù)列的前n項和Tn.[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一　等差數(shù)列的判定與證明1.(2019廣東珠海3月聯(lián)考,5)已知數(shù)列{an}中,a1=1,=,則數(shù)列{an}(　　)A.既非等差數(shù)列,又非等比數(shù)列 B.既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列C.僅為等差數(shù)列D.僅為等比數(shù)列答案　B　根據(jù)題意,數(shù)列{an}中,=,則=(n≥2),則Sn=××…××S1=××…××1=n(n≥2),當(dāng)n=1時,S1=a1=1符合,則當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=1,當(dāng)n=1時,a1=1符合,故an=1(n∈N*),則數(shù)列{an}為非零的常數(shù)列,它既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,故選B.2.(20205·3原創(chuàng)題)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=.(1)求證:是等差數(shù)列;(2)求an.解析　(1)證明:-=-=-=-=2,因此是等差數(shù)列.(2)由(1)知,是以=1為首項,2為公差的等差數(shù)列,故=2n-1,解得an=.3.(2018山東濟南一中1月檢測,18)各項均不為0的數(shù)列{an}滿足=an+2an,且a3=2a8=.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}的通項公式為bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解析　(1)依題意,an+1an+an+2an+1=2an+2an,兩邊同時除以anan+1an+2,可得+=,故數(shù)列 是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公差為d.因為a3=2a8=,所以=5,=10,所以-=5=5d,即d=1,故=+(n-3)d=5+(n-3)×1=n+2,故an=.(2)由(1)可知bn==·=,故Sn==.4.(2019浙江金麗衢聯(lián)考,20)已知數(shù)列{an},a1=2,a2=6,且滿足=2(n≥2且n∈N*).(1)求證:{an+1-an}為等差數(shù)列;(2)令bn=-,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求{S2n-Sn}的最大值.解析　(1)證明:由=2得an+1+an-1=2an+2,則(an+1-an)-(an-an-1)=2.又a2-a1=4,所以{an+1-an}是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.(5分)(2)當(dāng)n≥2時,由(1)知an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=2n+…+4+2=2·=n(n+1).當(dāng)n=1時,a1=2滿足an=n(n+1),故an=n(n+1).(8分)∴bn=-=-.∴Sn=10-,∴S2n=10-.設(shè)Mn=S2n-Sn=10-,(11分) ∴Mn+1=10-,∴Mn+1-Mn=10-=10-=-.當(dāng)n=1時,Mn+1-Mn=->0,即M1M3>M4>…,∴Mn的最大值為M2,M2=10×-1=,即{S2n-Sn}的最大值為S4-S2=.(15分)考法二　等差數(shù)列前n項和及性質(zhì)問題1.(2018廣東汕頭模擬,8)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=9,-=-4,則Sn取最大值時的n為(　　)A.4　　B.5　　C.6　　D.4或5答案　B　由{an}為等差數(shù)列,得-=a5-a3=2d=-4,即d=-2,由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11>0,得n<,所以Sn取最大值時的n為5,故選B.2.(2018廣東深圳期末,14)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當(dāng)Sn取最小值時,n=　　　　.?答案　6解析　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,∴d=2.∴Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36. ∴當(dāng)n=6時,Sn最小.3.(20205·3原創(chuàng)題)等差數(shù)列{an}中,an>0,若a1+a3+a5+…+a201=2020,則a2a200的最大值是　　　　.?答案　400解析　易知a1,a3,a5,…,a201成等差數(shù)列,且項數(shù)為101,由等差數(shù)列求和公式得=2020,故a1+a201=40,因為an>0,所以由基本不等式知a2a200≤==400.故a2a200的最大值是400.4.(2018山東青島調(diào)研,17)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,Sn=3×2n-3,其中n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,Tn為其前n項和,b2=a5,b11=S3,求Tn的最值.解析　(1)由Sn=3×2n-3,n∈N*,得(i)當(dāng)n=1時,a1=S1=3×21-3=3.(ii)當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3×2n-3)-(3×2n-1-3)=3×(2n-2n-1)=3×2n-1(*).又當(dāng)n=1時,a1=3也滿足(*)式.所以,對任意n∈N*,都有an=3×2n-1.(2)解法一:設(shè)等差數(shù)列{bn}的首項為b1,公差為d,由(1)得b2=a5=3×25-1=48,b11=S3=3×23-3=21.由等差數(shù)列的通項公式得解得所以bn=54-3n.∵bn+1-bn=-3<0,∴bn隨著n的增大而減小,令bn=0,解得n=18,∴當(dāng)n≤17的bn>0,當(dāng)n>19時,bn<0.所以Tn有最大值,無最小值,且T18(或T17)為Tn的最大值, T18==9×(51+0)=459.解法二:由解法一可知Tn=51n+×(-3)=-n2+n=-(n2-35n)=-=-+,∵n∈N*,∴當(dāng)n=17或18時,Tn有最大值,T17=T18=459.