§6.3　等比數(shù)列基礎篇【基礎集訓】考點一　等比數(shù)列的有關概念及運算1.Sn是正項等比數(shù)列{an}的前n項和,a3=18,S3=26,則a1=(　　)A.2　　B.3　　C.1　　D.6答案　A2.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=32n-1+r,則r的值為(　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　B3.已知{an}是等比數(shù)列,若a1=1,a6=8a3,數(shù)列的前n項和為Tn,則T5=(　　)A.　　B.31　　C.　　D.7答案　A4.已知正項等比數(shù)列{an}滿足log2an+2-log2an=2,且a3=8,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=　　　　.?答案　2n+1-25.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)設bn=an+1-2an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.6.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且2Sn=3an-2(n∈N*).(1)求an和Sn;(2)若bn=log3(Sn+1),求數(shù)列{b2n}的前n項和Tn. 7.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+λ(λ為常數(shù)).(1)試探究數(shù)列{an+λ}是不是等比數(shù)列,并求an;(2)當λ=1時,求數(shù)列{n(an+λ)}的前n項和Tn.考點二　等比數(shù)列的性質8.公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6+a4a7=18.若a1am=9,則m的值為(　　)A.8　　B.13　　C.10　　D.11答案　C9.在等比數(shù)列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,則的值為(　　)A.2　　B.-　　C.　　D.-或答案　D10.已知遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項和Sn<0,則(　　)A.a1<0,01C.a1>0,00,q>1答案　A[教師專用題組]【基礎集訓】考點一　等比數(shù)列的有關概念及運算1.在數(shù)列{an}中,滿足a1=2,=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn為{an}的前n項和,若a6=64,則S7的值為(　　)A.126　　B.256　　C.255　　D.254答案　D　數(shù)列{an}中,滿足=an-1an+1(n≥2),則數(shù)列{an}為等比數(shù)列,設其公比為q,又由 a1=2,a6=64,得q5==32,則q=2,則S7==28-2=254,故選D.2.已知{an}是等比數(shù)列,若a1=1,a6=8a3,數(shù)列的前n項和為Tn,則T5=(　　)A.　　B.31　　C.　　D.7答案　A　設等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a6=8a3,∴q3=8,解得q=2.∴an=2n-1.∴=.∴數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,則T5==.故選A.考點二　等比數(shù)列的性質1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1a13+2=4π,則tan(a2a12)的值為(　　)A.　　B.-　　C.±　　D.-答案　A　∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,∴a1a13==a2a12.再由a1a13+2=4π,可得a2a12=,∴tan(a2a12)=tan=tan=.2.(2020河北邯鄲檢測,8)已知{an}是首項為1的等比數(shù)列,若4an,2an+1,an+2成等差數(shù)列,則an=　　　　.?答案　2n-1解析　設等比數(shù)列的公比為q,由題意得4an+1=4an+an+2,故有4q=4+q2,∴q=2,∴an=2n-1.3.(2020浙江鎮(zhèn)海中學期中,15)已知{an}是等比數(shù)列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a4的最大值為　　　　.?答案　解析　本題考查等比數(shù)列的概念、性質以及基本不等式的應用;考查學生運算求解的能力;考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).∵25=a2a4+2a3a5+a4a6=2+a4(a2+a6)≥2+2=4, ∴≤.∵a4>0,∴00,所以an+1=3an,所以{an}是公比為3的等比數(shù)列,所以==q2=9.4.(2020山東菏澤一中2月自測,18)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1,n∈N*.(1)證明:{Sn+1}為等比數(shù)列,求出{an}的通項公式;(2)若bn=,求{bn}的前n項和Tn,并判斷是否存在正整數(shù)n使得Tn·2n-1=n+50成立.若存在,求出所有n的值;若不存在,說明理由.解析　(1)∵Sn+1-2Sn=1,∴Sn+1+1=2(Sn+1),n∈N*,∴{Sn+1}為等比數(shù)列,且公比為2,又∵S1+1=2,∴Sn+1=2n,∴Sn=2n-1,∴當n≥2時,Sn-1=2n-1-1,則an=Sn-Sn-1=2n-1,a1=1也滿足此式,∴an=2n-1,n∈N*.(2)由(1)得bn==,則Tn=++…+,Tn=++…+,兩式相減得:Tn=++…+-=2-,∴Tn=4-,代入Tn·2n-1=n+50得2n-n-26=0.令f(x)=2x-x-26(x≥1),則f'(x)=2xln2-1>0在x∈[1,+∞)上恒成立,∴f(x)=2x-x-26在x∈[1,+∞)上為增函數(shù),又有f(5)·f(4)<0,∴不存在正整數(shù)n,使得Tn·2n-1=n+50成立.