§6.4　數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用專題檢測1.(2020百校聯(lián)盟普通高中教育教學質(zhì)量監(jiān)測)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn是其前n項和,an>0,a2+a3=4,a3+3a4=2,則S3=(　　)A.　　B.12　　C.　　D.13答案　D　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由即解得q=或q=-(舍),∴a2=3,∴a1=9,a3=1,∴S3=13.2.(2020廣東揭陽摸底,14)已知數(shù)列{an}滿足log2an=n+log23,則a2+a4+a6+…+a20的值為(　　)A.3×(211-4)　　B.3×(212-4)　　C.　　D.411-4答案　D　log2an=log22n+log23=log2(2n·3),故an=3·2n,a2n=3·22n=3·4n,所以a2+a4+a6+…+a20=3×(4+42+43+…+410)=3×=411-4,故選D.3.(2018江西南昌二中模擬,4)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則數(shù)列的前100項的和為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A　∵S4==10,∴a1+a4=5,∵a1+a4=a2+a3,a3=3,∴a2=2.∴等差數(shù)列{an}的公差d=a3-a2=1,∴a1=a2-d=1, ∴an=1+(n-1)·1=n,∴Sn=,∴==2.則數(shù)列的前100項的和為21-+-+…+-=2×=.故選A.4.(2020福建漳州第二次適應(yīng)性測試,3)下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列{an},{an}的前n項和為Sn,則下列說法中正確的是(　　)A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列B.數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列C.數(shù)列{an}的最大項是a11D.數(shù)列{Sn}的最大項是S11答案　C　因為1月28日新增確診人數(shù)小于1月27日新增確診人數(shù),即a7>a8,所以{an}不是遞增數(shù)列,所以選項A錯誤;因為2月23日新增確診病例數(shù)為0,所以S33=S34,所以數(shù)列{Sn}不是遞增數(shù)列,所以選項B錯誤;因為1月31日新增確診病例數(shù)最多,從1月21日算起,1月31日是第11天,所以數(shù)列{an}的最大項是a11,所以選項C正確,數(shù)列{Sn}的最大項是最后一項,所以選項D錯誤,故選C.5.(多選題)已知數(shù)列{an}:,+,++,……,++…+,……,若bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,則(　　) A.an=　　B.an=　　C.Sn=　　D.Sn=答案　BC　∵an==,∴bn===4,∴Sn=4=4=.6.(多選題)在數(shù)列{an}中,a1=2,其前n項和為Sn,若點在直線y=2x-1上,則有(　　)A.Sn=n(1+2n-1)　　B.an=(n+1)2n-2+1C.Sn=n(1+2n)　　D.數(shù)列是等比數(shù)列答案　ABD　由已知得=-1,則-1=2,又∵-1=a1-1=1,∴數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,∴-1=2n-1,∴Sn=n(1+2n-1),當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n+1)2n-2+1,當n=1時,(1+1)×21-2+1=2=a1,∴an=(n+1)2n-2+1,n∈N*,故選ABD.7.(2020浙江五校十月聯(lián)考,14)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=(-1)nan-(n∈N*),則 a3=　　　　,S7=　　　　.?答案　-;-解析　解法一:當n=1時,S1=-a1-,解得a1=-,當n≥2時,Sn=(-1)nan-,Sn-1=(-1)n-1an-1-,兩式相減得an=(-1)nan-(-1)n-1an-1+,即[1-(-1)n]an=(-1)nan-1+,當n為偶數(shù)時,an-1=-,即n為奇數(shù)時,an=-,所以a3=-=-,S7=(-1)7×-=-=-.解法二:當n=1時,S1=-a1-,解得a1=-,當n≥2時,Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)-,當n為偶數(shù)時,有Sn-1=-,即n為奇數(shù)時,Sn=-,所以S7=-=-,S3=-a3-,即a3=-S3-=-=-.8.(2018山西太原一模,15)在數(shù)列{an}中,a1=0,an-an-1-1=2(n-1)(n∈N*,n≥2),若數(shù)列{bn}滿足bn=n ×,則數(shù)列{bn}的最大項為第　　　　項.?答案　6解析　因為an-an-1-1=2(n-1)(n∈N*,n≥2),所以an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2),所以根據(jù)累加法得an=(2n-1)+(2n-3)+…+3+a1=n2-1(n≥2),又n=1時,a1=0滿足上式,所以an=n2-1(n∈N*),所以bn=n(n+1)×,因為=,所以當n≤5時,bn+1>bn,當n≥6時,bn+11,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n.(1)求q的值;(2)求數(shù)列{bn}的通項公式.解析　(1)由a4+2是a3,a5的等差中項得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.所以a3+a5=20.由a3+a5=20得8=20,解得q=2或q=,因為q>1,所以q=2.(2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{cn}的前n項和為Sn.則Sn=2n2+n,當n=1時,c1=S1=3,當n≥2時,cn=Sn-Sn-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1.當n=1時,c1=3符合上式,∴cn=4n-1,n∈N*.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)·,故bn-bn-1=(4n-5)·,n≥2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3.設(shè)Tn=3+7·+11·+…+(4n-5)·,n≥2,Tn=3·+7·+11·+…+(4n-9)·+(4n-5)·,所以Tn=3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·,因此Tn=14-(4n+3)·,n≥2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·.11.(2020天津楊村一中第一次月考,19)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;(3)記cn=3n-2·(-1)nλan(λ≠0),是否存在實數(shù)λ使得對任意的n∈N*,恒有cn+1>cn?若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,說明理由.解析　(1)當n=1時,a1=2a1-1,即a1=1,當n≥2時,Sn-1=2an-1-1,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即=2,∴數(shù)列{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,故an=2n-1.(2)由(1)得bn=nan=n·2n-1,可得Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,2Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,兩式相減得-Tn=20+21+22+…+2n-1-n·2n,∴Tn=(n-1)·2n+1.(3)存在.由(1)得cn=3n-2·(-1)nλan=3n-(-1)nλ·2n.假設(shè)存在實數(shù)λ使得對任意的n∈N*,恒有cn+1>cn,即cn+1-cn>0,則3n+1-(-2)n+1λ-3n+(-2)nλ>0,2·3n-(-2)n·(-2)λ+(-2)nλ>0,即(-2)nλ>-3n-1·2.當n為偶數(shù)時,2nλ>-3n-1·2,則λ>-,n∈N*,∴λ>-,當n為奇數(shù)時,-2nλ>-3n-1·2, λ<,n∈N*,∴λ<1.綜上所述,-<λ<1.